typos spannung

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index 17e1d21..f708055 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil0.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil0.tex
@@ -72,7 +72,8 @@ Es ist praktisch, die relative Dehnung $\varepsilon$ anzugeben und nicht eine ab
 	\caption{1D Spannungszustand aus einer quaderförmigen Bodenprobe}
 	\label{fig:Bild1}
 \end{figure}
-Mithilfe vom Elastizitätsmodul $E$ als Proportionalitätskonstante lässt sich der eindimensionale Fall mit
+Mithilfe vom Elastizitätsmodul $E$ (auch Youngscher Modul) als Proportionalitätskonstante lässt sich der eindimensionale Fall mit
+\index{Youngscher Modul}
 \[
 \sigma
 =
diff --git a/buch/papers/spannung/teil1.tex b/buch/papers/spannung/teil1.tex
index 76a0437..552c1cf 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil1.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil1.tex
@@ -1,15 +1,15 @@
 \section{Skalare, Vektoren, Matrizen und Tensoren\label{spannung:section:Skalare,_Vektoren,_Matrizen_und_Tensoren}}
 \rhead{Skalare, Vektoren, Matrizen und Tensoren}
-Der Begriff Tensor kann als Überbegriff der mathematischen Objekte Skalar, Vektor und Matrix, betrachtet werden.
+Der Begriff Tensor kann als Überbegriff der mathematischen Objekte Skalar, Vektor und Matrix betrachtet werden.
 \index{Tensor}%
 Allerdings sind noch höhere Stufen dieser Objekte beinhaltet.
 Skalare, Vektoren oder Matrizen sind daher auch Tensoren.
 Ein Skalar ist ein Tensor 0. Stufe.
 \index{Stufe}%
 Mit einem Vektor können mehrere Skalare auf einmal beschrieben werden.
-Ein Vektor hat daher die Stufe 1 und ist höherstufig als ein Skalar.
+Ein Vektor hat daher die Stufe 1 und ist höherstufiger als ein Skalar.
 Mit einer Matrix können wiederum mehrere Vektoren auf einmal beschrieben werden.
-Eine Matrix hat daher die Stufe 2 und ist noch höherstufig als ein Vektor.
+Eine Matrix hat daher die Stufe 2 und ist noch höherstufiger als ein Vektor.
 Versteht man diese Stufen, so versteht man den Sinn des Begriffs Tensor.
 
 Jede Stufe von Tensoren verlangt andere Rechenregeln.
diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex
index ddd591f..fec0120 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil2.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex
@@ -8,13 +8,13 @@ Durch komplexe Spannungsausbreitungen im Boden entstehen im 3D-Spannungszustand
 	\label{fig:infinitesimalerWuerfel}
 \end{figure}
 Ein Tensor 0.~Stufe, sprich ein Skalar, kann lediglich den 1D-Spannungszustand beschreiben.
-Um den 3D-Spannungszustandes als ein mathematisches Objekt darstellen zu können, wird ein Tensor 2.~Stufe, sprich eine Matrix, eingesetzt.
+Um den 3D-Spannungszustand als ein mathematisches Objekt darstellen zu können, wird ein Tensor 2.~Stufe, sprich eine Matrix, eingesetzt.
 Die Spannungen sind durch die zwei Indizes
 \(
 i, j\in\left\{1, 2, 3\right\}
 \)
 definiert.
-Daher ergeben sich die neun Spannungen.
+Daher ergeben sich die $9$ Spannungen.
 Die nachfolgenden Zusammenhänge sind in \cite{spannung:Voigtsche-Notation} beschrieben.
 Dieser Spannungstensor kann schliesslich mit $3^2$ Einträgen als $3\times3$ Matrix mit
 \[
@@ -48,7 +48,7 @@ Der Dehnungstensor ist ebenfalls ein Tensor 2.~Stufe und kann somit auch als $3\
 \]
 dargestellt werden und beschreibt den gesamten Dehnungszustand.
 
-Der Spannungs- und Dehnungstensor 2.~Stufe kann je in einen Tensor 1.~Stufe überführt werden, welches ein Spaltenvektor ist.
+Der Spannungs- und Dehnungstensor 2.~Stufe kann je in einen Tensor 1.~Stufe überführt werden, welcher ein Spaltenvektor ist.
 Man darf Zeile um Zeile in eine Spalte notieren, sodass es einen Spaltenvektor ergibt.
 So ergibt sich der Spannungsvektor
 
@@ -114,8 +114,8 @@ Dieser ist im 1D-Spannungszustand ein Tensor 0.~Stufe und somit ein Skalar, der
 
 Dieser Elastizitätstensor 4.~Stufe kann als Tensor 2.~Stufe, sprich als Matrix, dargestellt werden.
 So wird die Spannungsgleichung stark vereinfacht, da nun eine Matrix auf einen Vektor operiert.
-Dieser Tensor muss für eine Spannung jeden Einfluss aus allen neun Dehnungen mit Konstanten erfassen.
-Dies bedeutet um eine von neun Spannungen berechnen zu können müssen alle neun Dehnung mit unterschiedlichen Faktoren summiert werden.
+Dieser Tensor muss für eine Spannung jeden Einfluss aus allen $9$ Dehnungen mit Konstanten erfassen.
+Dies bedeutet um eine von $9$ Spannungen berechnen zu können müssen alle $9$ Dehnung mit unterschiedlichen Faktoren summiert werden.
 Es ergeben sich $9^2$ Einträge, welches mit den vier Indizes
 \(
 i, j, k, l\in\left\{1, 2, 3\right\}
@@ -354,14 +354,19 @@ beziehungsweise
 	\sigma_{12}
 \end{pmatrix}
 =
+%\left(
+%\begin{array}{ccc|ccc}
 \begin{pmatrix}
 	C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} \\
 	C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} \\
 	C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} \\
+%\hline
 	C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} \\
 	C_{1311} & C_{1322} & C_{1333} & C_{1323} & C_{1313} & C_{1312} \\
 	C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1213} & C_{1212}
 \end{pmatrix}
+%\end{array}
+%\right)
 \begin{pmatrix}
 	\varepsilon_{11} \\
 	\varepsilon_{22} \\
@@ -417,14 +422,19 @@ Dies ergibt die Spannungsgleichung, welche weit möglichst vereinfacht ist:
 \end{pmatrix}
 =
 \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
-\begin{pmatrix}
+\left(
+\begin{array}{ccc|ccc}
+%\begin{pmatrix}
 	1- 2\nu & \nu     & \nu     & 0           & 0           & 0\\
 	    \nu & 1- 2\nu & \nu     & 0           & 0           & 0\\
         \nu & \nu     & 1- 2\nu & 0           & 0           & 0\\
+\hline
           0 & 0       & 0       & \frac{1}{2} & 0           & 0\\
           0 & 0       & 0       & 0           & \frac{1}{2} & 0\\
           0 & 0       & 0       & 0           & 0           & \frac{1}{2}
-\end{pmatrix}
+%\end{pmatrix}
+\end{array}
+\right)
 \begin{pmatrix}
 	\varepsilon_{11}\\
 	\varepsilon_{22}\\
@@ -468,14 +478,19 @@ Durch einige Berechnungsschritte erhält man die Dehnungsgleichung:
 \end{pmatrix}
 =
 \frac{1}{E}
-\begin{pmatrix}
+\left(
+\begin{array}{ccc|ccc}
+%\begin{pmatrix}
 	   1 & -\nu & -\nu & 0      & 0      & 0     \\
 	-\nu &    1 & -\nu & 0      & 0      & 0     \\
 	-\nu & -\nu &    1 & 0      & 0      & 0     \\
+\hline
  	   0 &    0 &    0 & 2+2\nu & 0      & 0     \\
 	   0 &    0 &    0 &      0 & 2+2\nu & 0     \\
 	   0 &    0 &    0 &      0 & 0      & 2+2\nu
-\end{pmatrix}
+%\end{pmatrix}
+\end{array}
+\right)
 \begin{pmatrix}
 	\sigma_{11}\\
 	\sigma_{22}\\
diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index c68c0d1..147fe01 100644
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+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -13,7 +13,7 @@ Folglich gilt:
 \]
 Dadurch wird der Spannungszustand vereinfacht.
 Diesen vereinfachten Spannungszustand kann man mit den zwei geotechnischen Invarianten abbilden.
-Die erste Invariante ist die volumetrische Spannung
+Die erste Invariante ist die volumetrische oder auch hydrostatische Spannung
 \begin{equation}
 p
 =
@@ -76,8 +76,8 @@ Die Faktoren mit den Dehnungskomponenten können so als
 \]
 eingeführt werden, mit
 \begin{align*}
-	\varepsilon_{v} &= \text{Hydrostatische Dehnung [-]} \\
-	\varepsilon_{s} &= \text{Deviatorische Dehnung [-].}
+	\varepsilon_{v} &= \text{hydrostatische Dehnung [-]} \\
+	\varepsilon_{s} &= \text{deviatorische Dehnung [-].}
 \end{align*}
 Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression und
 die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$  mit einer Verzerrung verglichen werden.
@@ -105,6 +105,7 @@ vereinfachen.
 Diese Spannungsgleichung mit den zwei Einträgen ($p$ und $q$) ist gleichwertig
 wie die ursprüngliche Spannungsgleichung mit den neun Einträgen
 ($\sigma_{11}$, $\sigma_{12}$, $\sigma_{13}$, $\sigma_{21}$, $\sigma_{22}$, $\sigma_{23}$, $\sigma_{31}$, $\sigma_{32}$, $\sigma_{33}$).
-Mit dieser Formel \eqref{spannung:Matrixschreibweise} lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
+Mit dieser Formel \eqref{spannung:Matrixschreibweise} lassen sich Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
 Ein solcher Versuch, der oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
-Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
+In Abschnitt~\ref{spannung:section:Oedometrischer Elastizitätsmodul}
+wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex
index 2e0de45..06d67c9 100644
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@@ -78,5 +78,5 @@ Mit diesen Gleichungen hat man das Gleichungssystem um $E_{\text{OED}}$ und $\si
 Die Poisson-Zahl muss als Kennwert gemäss der Bodenklasse gewählt werden.
 Den Versuch kann man auf einem $\sigma$-$\varepsilon$-Diagramm abtragen (siehe Abbildung~\ref{fig:DiagrammOedometer-Versuch}).
 Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark.
-Mit diesem ermittelten $E_{\text{OED}}$ kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen.
+Mit diesem ermittelten $E_{\text{OED}}$ kann man nun weitere Berechnungen in der Geotechnik durchführen.