Illustrationen Markov-Ketten

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diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
index 2cbd004..3be5d60 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
@@ -784,6 +784,9 @@ Jetzt muss der Quotient $f:r_0$ berechnet werden:
       & &  & &6\rlap{$\mathstrut=r_1$}& & & &  & & & &
 \end{array}
 \]
+Da der Rest $r_1\in\mathbb{F}_7^*$ liegt, gibt die nächste Division
+natürlich den Rest $0$ und der letzte nicht verschwindende Rest ist
+$r_{1}=6$:
 \[
 \arraycolsep=1.4pt
 \begin{array}{rcrcrcrcr}
@@ -794,13 +797,16 @@ Jetzt muss der Quotient $f:r_0$ berechnet werden:
   & &0\rlap{$\mathstrut=r_2$}& & & &  & &
 \end{array}
 \]
-Die nächste Division ergibt natürlich den Rest $0$ und
-der letzte nicht verschwindende Rest ist $r_{1}=6$.
+Damit ist der euklidische Algorithmus abgeschlossen.
 
-Durch Ausmultiplizieren der Matrizen können wir jetzt auch die 
-Faktoren $a$ und $b$ finden.
+Durch Ausmultiplizieren der Matrizen $Q(-q_i)$ können wir jetzt auch die 
+Faktoren $s$ und $t$ finden.
 \begin{align*}
-Q&= Q(q_2)Q(q_1)Q(q_0)
+Q=\begin{pmatrix}
+s&t\\
+*&*
+\end{pmatrix}
+&= Q(q_2)Q(q_1)Q(q_0)
 =
 \begin{pmatrix}0&1\\1&-q_2\end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}0&1\\1&-q_1\end{pmatrix}
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/google.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/google.tex
index 42cd0a1..3616760 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/google.tex
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/google.tex
@@ -6,57 +6,6 @@
 \section{Google-Matrix
 \label{buch:section:google-matrix}}
 \rhead{Google-Matrix}
-
-%
-% Ein Modell für Webseitenbesucher
-%
-\subsection{Ein Modell für Webseitenbesucher
-\label{buch:subsection:modell-fuer-webseitenbesucher}}
-\begin{figure}
-\centering
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
-\foreach \x in {0,3,6,9}{
-	\foreach \y in {0,3}{
-		\fill[color=white] ({\x},{\y}) circle[radius=0.3];
-		\draw ({\x},{\y}) circle[radius=0.3];
-	}
-}
-\node at (0,3) {$1$};
-\node at (0,0) {$2$};
-\node at (3,3) {$3$};
-\node at (3,0) {$4$};
-\node at (6,3) {$5$};
-\node at (6,0) {$6$};
-\node at (9,3) {$7$};
-\node at (9,0) {$8$};
-% 1
-\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (0,3) -- (3,3);
-\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (0,3) -- (0,0);
-% 2
-\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (0,0) to[out=-20,in=-160] (3,0);
-% 3
-\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,3) -- (6,3);
-\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,3) -- (0,0);
-% 4
-\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,0) -- (6,3);
-\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,0) -- (6,0);
-\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,0) to[out=160,in=20] (0,0);
-% 5
-\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (6,3) -- (9,3);
-\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (6,3) -- (9,0);
-\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (6,3) -- (6,0);
-% 6
-\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (6,0) to[out=20,in=160] (9,0);
-% 7
-\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (9,3) .. controls (7.5,4) .. (6,4) -- (3,4) .. controls (1.5,4) .. (0,3);
-\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (9,3) to[out=-110,in=110] (9,0);
-% 8
-\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (9,0) to[out=-160,in=-20] (6,0);
-\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (9,0) to[out=70,in=-70] (9,3);
-\end{tikzpicture}
-\caption{Modell-Internet als Beispiel für die Link-Matrix und die Google-Matrix.
-\label{buch:figure:modellinternet}}
-\end{figure}
 Das Internet besteht aus einer grossen Zahl von Websites, etwa 400~Millionen
 aktiven Websites, jede besteht aus vielen einzelnen Seiten.
 Es ist daher angemessen von $N\approx 10^9$ verschiedenen Seiten auszugehen.
@@ -84,6 +33,58 @@ bedeutet aber auch, dass nach Synonymen oder alternative Formen eines
 Wortes separat gesucht werden muss, was die Übersichtlichkeit wieder
 zerstört.
 
+%
+% Ein Modell für Webseitenbesucher
+%
+\subsection{Ein Modell für Webseitenbesucher
+\label{buch:subsection:modell-fuer-webseitenbesucher}}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/internet.pdf}
+%\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+%\foreach \x in {0,3,6,9}{
+%	\foreach \y in {0,3}{
+%		\fill[color=white] ({\x},{\y}) circle[radius=0.3];
+%		\draw ({\x},{\y}) circle[radius=0.3];
+%	}
+%}
+%\node at (0,3) {$1$};
+%\node at (0,0) {$2$};
+%\node at (3,3) {$3$};
+%\node at (3,0) {$4$};
+%\node at (6,3) {$5$};
+%\node at (6,0) {$6$};
+%\node at (9,3) {$7$};
+%\node at (9,0) {$8$};
+%% 1
+%\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (0,3) -- (3,3);
+%\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (0,3) -- (0,0);
+%% 2
+%\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (0,0) to[out=-20,in=-160] (3,0);
+%% 3
+%\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,3) -- (6,3);
+%\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,3) -- (0,0);
+%% 4
+%\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,0) -- (6,3);
+%\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,0) -- (6,0);
+%\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,0) to[out=160,in=20] (0,0);
+%% 5
+%\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (6,3) -- (9,3);
+%\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (6,3) -- (9,0);
+%\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (6,3) -- (6,0);
+%% 6
+%\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (6,0) to[out=20,in=160] (9,0);
+%% 7
+%\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (9,3) .. controls (7.5,4) .. (6,4) -- (3,4) .. controls (1.5,4) .. (0,3);
+%\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (9,3) to[out=-110,in=110] (9,0);
+%% 8
+%\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (9,0) to[out=-160,in=-20] (6,0);
+%\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (9,0) to[out=70,in=-70] (9,3);
+%\end{tikzpicture}
+\caption{Modell-Internet als Beispiel für die Link-Matrix und die Google-Matrix.
+\label{buch:figure:modellinternet}}
+\end{figure}
+
 Das kombinierte Vorkommen von Wörtern oder Begriffen alleine kann also 
 nicht ausreichen, um die Seiten zum Beispiel einem Fachgebiet zuzuordnen.
 Dazu muss eine externe Informationsquelle angezapft werden.
@@ -389,7 +390,7 @@ Im Fall $q=\frac1NU$ kann dies zu
 \[
 A
 =
-\frac1N uU^t
+\frac1N UU^t
 =
 \frac1N
 \begin{pmatrix}
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/Makefile b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/Makefile
index 24c0631..b04f6ff 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/Makefile
@@ -5,7 +5,7 @@
 #
 all:	dreieck.pdf trenn.pdf vergleich.pdf vergleich.jpg \
 	positiv.pdf positiv.jpg diffusion.png diffusion.pdf \
-	konvex.pdf
+	konvex.pdf internet.pdf markov.pdf markov2.pdf markov3.pdf
 
 # Visualisierung diffusion in einer primitiven Matrix
 diffusion.pdf:	diffusion.tex diffusion.jpg
@@ -58,3 +58,16 @@ drei.inc:	dreieck.m
 # Konvex
 konvex.pdf:	konvex.tex
 	pdflatex konvex.tex
+
+internet.pdf:	internet.tex
+	pdflatex internet.tex
+
+markov.pdf:	markov.tex
+	pdflatex markov.tex
+
+markov2.pdf:	markov2.tex
+	pdflatex markov2.tex
+
+markov3.pdf:	markov3.tex
+	pdflatex markov3.tex
+
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/internet.pdf b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/internet.pdf
new file mode 100644
index 0000000..12eaf1e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/internet.pdf
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/internet.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/internet.tex
new file mode 100644
index 0000000..1b384ad
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/internet.tex
@@ -0,0 +1,58 @@
+%
+% internet.tex -- Modellinternet
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\foreach \x in {0,3,6,9}{
+	\foreach \y in {0,3}{
+		\fill[color=white] ({\x},{\y}) circle[radius=0.3];
+		\draw ({\x},{\y}) circle[radius=0.3];
+	}
+}
+\node at (0,3) {$1$};
+\node at (0,0) {$2$};
+\node at (3,3) {$3$};
+\node at (3,0) {$4$};
+\node at (6,3) {$5$};
+\node at (6,0) {$6$};
+\node at (9,3) {$7$};
+\node at (9,0) {$8$};
+% 1
+\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (0,3) -- (3,3);
+\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (0,3) -- (0,0);
+% 2
+\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (0,0) to[out=-20,in=-160] (3,0);
+% 3
+\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,3) -- (6,3);
+\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,3) -- (0,0);
+% 4
+\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,0) -- (6,3);
+\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,0) -- (6,0);
+\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,0) to[out=160,in=20] (0,0);
+% 5
+\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (6,3) -- (9,3);
+\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (6,3) -- (9,0);
+\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (6,3) -- (6,0);
+% 6
+\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (6,0) to[out=20,in=160] (9,0);
+% 7
+\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (9,3) .. controls (7.5,4) .. (6,4) -- (3,4) .. controls (1.5,4) .. (0,3);
+\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (9,3) to[out=-110,in=110] (9,0);
+% 8
+\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (9,0) to[out=-160,in=-20] (6,0);
+\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (9,0) to[out=70,in=-70] (9,3);
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov.pdf b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov.pdf
new file mode 100644
index 0000000..fba9489
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov.pdf
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov.tex
new file mode 100644
index 0000000..72f3b85
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov.tex
@@ -0,0 +1,99 @@
+%
+% markov2.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\punkt#1#2#3{
+	\fill[color=white] #1 circle[radius=0.10];
+	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.13];
+	\node[color=white] at #1 {$\scriptstyle #3$};
+}
+
+\def\xs{2.5}
+\def\ys{1}
+
+\foreach \x in {0,...,5}{
+	\draw[color=red,line width=0.5pt] 
+		({\x*\xs},{-0.7*\ys}) -- ({\x*\xs},{-6.5*\ys});
+}
+
+\def\dotradius{0.04}
+
+\def\dotrow#1#2{
+	\punkt{({#1*\xs},{-1*\ys})}{#2}{1}
+	\punkt{({#1*\xs},{-2*\ys})}{#2}{2}
+	\punkt{({#1*\xs},{-3*\ys})}{#2}{3}
+	\punkt{({#1*\xs},{-4*\ys})}{#2}{4}
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-5*\ys-0.3}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-5*\ys-0.15}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-5*\ys}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-5*\ys+0.15}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-5*\ys+0.3}) circle[radius=\dotradius];
+	\punkt{({#1*\xs},{-6*\ys})}{#2}{s}
+}
+
+\def\fan#1#2{
+	\foreach \x in {1,2,3,4,6}{
+		\foreach \y in {1,2,3,4,6}{
+			\draw[->,shorten >= 2mm,shorten <= 2mm,color=#2]
+				({#1*\xs},{-\x*\ys})
+				--
+				({(#1+1)*\xs},{-\y*\ys});
+		}
+	}
+}
+
+\begin{scope}
+\clip (-0.5,{-6.5*\ys}) rectangle ({5*\xs+0.5},-0.5);
+\fan{-1}{gray}
+\fan{0}{gray}
+\fan{1}{gray}
+\fan{2}{black}
+\fan{3}{gray}
+\fan{4}{gray}
+\fan{5}{gray}
+\end{scope}
+
+\dotrow{0}{gray}
+\dotrow{1}{gray}
+\dotrow{2}{black}
+\dotrow{3}{black}
+\dotrow{4}{gray}
+\dotrow{5}{gray}
+
+\def\ty{-0.5}
+\node[color=gray] at ({0.5*\xs},{\ty*\ys}) {$T(n-1,n-2)$};
+\node[color=gray] at ({1.5*\xs},{\ty*\ys}) {$T(n,n-1)$};
+\node[color=black] at ({2.5*\xs},{\ty*\ys}) {$T(n+1,n)$};
+\node[color=gray] at ({3.5*\xs},{\ty*\ys}) {$T(n+2,n+1)$};
+\node[color=gray] at ({4.5*\xs},{\ty*\ys}) {$T(n+3,n+2)$};
+
+\draw[->,color=red] (-0.7,{-6.5*\ys}) -- ({5*\xs+0.7},{-6.5*\ys}) coordinate[label={$t$}];
+
+\foreach \x in {0,...,5}{
+	\draw[color=red]
+		({\x*\xs},{-6.5*\ys-0.05})
+		--
+		({\x*\xs},{-6.5*\ys+0.05});
+}
+\node[color=red] at ({0*\xs},{-6.5*\ys}) [below] {$n-2\mathstrut$};
+\node[color=red] at ({1*\xs},{-6.5*\ys}) [below] {$n-1\mathstrut$};
+\node[color=red] at ({2*\xs},{-6.5*\ys}) [below] {$n\mathstrut$};
+\node[color=red] at ({3*\xs},{-6.5*\ys}) [below] {$n+1\mathstrut$};
+\node[color=red] at ({4*\xs},{-6.5*\ys}) [below] {$n+2\mathstrut$};
+\node[color=red] at ({5*\xs},{-6.5*\ys}) [below] {$n+3\mathstrut$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov2.pdf b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..d534c8f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov2.pdf
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov2.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov2.tex
new file mode 100644
index 0000000..c2fab2e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov2.tex
@@ -0,0 +1,113 @@
+%
+% markov.tex -- Illustration markov-Kette
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\punkt#1#2#3{
+	\fill[color=white] #1 circle[radius=0.10];
+	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.13];
+	\node[color=white] at #1 {$\scriptstyle #3$};
+}
+
+\def\xs{2.5}
+\def\ys{1}
+
+\foreach \x in {0,...,5}{
+	\draw[color=red,line width=0.5pt] 
+		({\x*\xs},{-0.7*\ys}) -- ({\x*\xs},{-8.5*\ys});
+}
+
+\def\dotradius{0.04}
+
+\def\dotrow#1#2{
+	\punkt{({#1*\xs},{-1*\ys})}{#2}{1}
+	\punkt{({#1*\xs},{-2*\ys})}{#2}{2}
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-3*\ys-0.3}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-3*\ys-0.15}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-3*\ys}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-3*\ys+0.15}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-3*\ys+0.3}) circle[radius=\dotradius];
+	\punkt{({#1*\xs},{-4*\ys})}{#2}{7}
+	\punkt{({#1*\xs},{-5*\ys})}{#2}{8}
+	\punkt{({#1*\xs},{-6*\ys})}{#2}{9}
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-7*\ys-0.3}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-7*\ys-0.15}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-7*\ys}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-7*\ys+0.15}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-7*\ys+0.3}) circle[radius=\dotradius];
+	\punkt{({#1*\xs},{-8*\ys})}{#2}{s}
+}
+
+\def\fan#1#2{
+	\foreach \x in {1,2,4}{
+		\foreach \y in {1,2,4}{
+			\draw[->,shorten >= 2mm,shorten <= 2mm,color=#2]
+				({#1*\xs},{-\x*\ys})
+				--
+				({(#1+1)*\xs},{-\y*\ys});
+		}
+	}
+	\foreach \x in {5,6,8}{
+		\foreach \y in {5,6,8}{
+			\draw[->,shorten >= 2mm,shorten <= 2mm,color=#2]
+				({#1*\xs},{-\x*\ys})
+				--
+				({(#1+1)*\xs},{-\y*\ys});
+		}
+	}
+}
+
+\begin{scope}
+\clip (-0.5,{-8.5*\ys}) rectangle ({5*\xs+0.5},-0.5);
+\fan{-1}{gray}
+\fan{0}{gray}
+\fan{1}{gray}
+\fan{2}{black}
+\fan{3}{gray}
+\fan{4}{gray}
+\fan{5}{gray}
+\end{scope}
+
+\dotrow{0}{gray}
+\dotrow{1}{gray}
+\dotrow{2}{black}
+\dotrow{3}{black}
+\dotrow{4}{gray}
+\dotrow{5}{gray}
+
+\def\ty{-0.5}
+\node[color=gray] at ({0.5*\xs},{\ty*\ys}) {$T(n-1,n-2)$};
+\node[color=gray] at ({1.5*\xs},{\ty*\ys}) {$T(n,n-1)$};
+\node[color=black] at ({2.5*\xs},{\ty*\ys}) {$T(n+1,n)$};
+\node[color=gray] at ({3.5*\xs},{\ty*\ys}) {$T(n+2,n+1)$};
+\node[color=gray] at ({4.5*\xs},{\ty*\ys}) {$T(n+3,n+2)$};
+
+\draw[->,color=red] (-0.7,{-8.5*\ys}) -- ({5*\xs+0.7},{-8.5*\ys}) coordinate[label={$t$}];
+
+\foreach \x in {0,...,5}{
+	\draw[color=red]
+		({\x*\xs},{-8.5*\ys-0.05})
+		--
+		({\x*\xs},{-8.5*\ys+0.05});
+}
+\node[color=red] at ({0*\xs},{-8.5*\ys}) [below] {$n-2\mathstrut$};
+\node[color=red] at ({1*\xs},{-8.5*\ys}) [below] {$n-1\mathstrut$};
+\node[color=red] at ({2*\xs},{-8.5*\ys}) [below] {$n\mathstrut$};
+\node[color=red] at ({3*\xs},{-8.5*\ys}) [below] {$n+1\mathstrut$};
+\node[color=red] at ({4*\xs},{-8.5*\ys}) [below] {$n+2\mathstrut$};
+\node[color=red] at ({5*\xs},{-8.5*\ys}) [below] {$n+3\mathstrut$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov3.pdf b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov3.pdf
new file mode 100644
index 0000000..61f4fe7
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov3.pdf
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov3.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov3.tex
new file mode 100644
index 0000000..0b99ef3
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov3.tex
@@ -0,0 +1,113 @@
+%
+% markov2.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\punkt#1#2#3{
+	\fill[color=white] #1 circle[radius=0.10];
+	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.13];
+	\node[color=white] at #1 {$\scriptstyle #3$};
+}
+
+\def\xs{2.5}
+\def\ys{1}
+
+\fill[color=blue!20]
+	(-0.5,{-3.3*\ys}) rectangle ({5*\xs+0.5},{-0.7*\ys});
+
+\foreach \x in {0,...,5}{
+	\draw[color=red,line width=0.5pt] 
+		({\x*\xs},{-0.7*\ys}) -- ({\x*\xs},{-7.5*\ys});
+}
+
+\def\dotradius{0.04}
+
+\def\dotrow#1#2{
+	\punkt{({#1*\xs},{-1*\ys})}{#2}{1}
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-2*\ys-0.3}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-2*\ys-0.15}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-2*\ys}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-2*\ys+0.15}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-2*\ys+0.3}) circle[radius=\dotradius];
+	\punkt{({#1*\xs},{-3*\ys})}{#2}{7}
+	\punkt{({#1*\xs},{-4*\ys})}{#2}{8}
+	\punkt{({#1*\xs},{-5*\ys})}{#2}{9}
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-6*\ys-0.3}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-6*\ys-0.15}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-6*\ys}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-6*\ys+0.15}) circle[radius=\dotradius];
+	\fill[color=#2] ({#1*\xs},{-6*\ys+0.3}) circle[radius=\dotradius];
+	\punkt{({#1*\xs},{-7*\ys})}{#2}{s}
+}
+
+\def\fan#1#2{
+	\foreach \x in {1,3}{
+		\draw[->,shorten >= 2mm,shorten <= 2mm,color=#2,line width=2pt]
+			({#1*\xs},{-\x*\ys})
+			--
+			({(#1+1)*\xs},{-\x*\ys});
+	}
+	\foreach \x in {4,5,7}{
+		\foreach \y in {1,3,4,5,7}{
+			\draw[->,shorten >= 2mm,shorten <= 2mm,color=#2]
+				({#1*\xs},{-\x*\ys})
+				--
+				({(#1+1)*\xs},{-\y*\ys});
+		}
+	}
+}
+
+\begin{scope}
+\clip (-0.5,{-7.5*\ys}) rectangle ({5*\xs+0.5},-0.5);
+\fan{-1}{gray}
+\fan{0}{gray}
+\fan{1}{gray}
+\fan{2}{black}
+\fan{3}{gray}
+\fan{4}{gray}
+\fan{5}{gray}
+\end{scope}
+
+\dotrow{0}{gray}
+\dotrow{1}{gray}
+\dotrow{2}{black}
+\dotrow{3}{black}
+\dotrow{4}{gray}
+\dotrow{5}{gray}
+
+\def\ty{-0.5}
+\node[color=gray] at ({0.5*\xs},{\ty*\ys}) {$T(n-1,n-2)$};
+\node[color=gray] at ({1.5*\xs},{\ty*\ys}) {$T(n,n-1)$};
+\node[color=black] at ({2.5*\xs},{\ty*\ys}) {$T(n+1,n)$};
+\node[color=gray] at ({3.5*\xs},{\ty*\ys}) {$T(n+2,n+1)$};
+\node[color=gray] at ({4.5*\xs},{\ty*\ys}) {$T(n+3,n+2)$};
+
+\draw[->,color=red] (-0.7,{-7.5*\ys}) -- ({5*\xs+0.7},{-7.5*\ys}) coordinate[label={$t$}];
+
+\foreach \x in {0,...,5}{
+	\draw[color=red]
+		({\x*\xs},{-7.5*\ys-0.05})
+		--
+		({\x*\xs},{-7.5*\ys+0.05});
+}
+\node[color=red] at ({0*\xs},{-7.5*\ys}) [below] {$n-2\mathstrut$};
+\node[color=red] at ({1*\xs},{-7.5*\ys}) [below] {$n-1\mathstrut$};
+\node[color=red] at ({2*\xs},{-7.5*\ys}) [below] {$n\mathstrut$};
+\node[color=red] at ({3*\xs},{-7.5*\ys}) [below] {$n+1\mathstrut$};
+\node[color=red] at ({4*\xs},{-7.5*\ys}) [below] {$n+2\mathstrut$};
+\node[color=red] at ({5*\xs},{-7.5*\ys}) [below] {$n+3\mathstrut$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf
index f065f76..c6173ce 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/markov.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/markov.tex
index 9df7e89..0485714 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/markov.tex
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/markov.tex
@@ -171,6 +171,9 @@ heisst die {\em Pfadwahrscheinlichkeit} für genannten Pfad.
 \index{Pfadwahrscheinlichkeit}%
 \end{definition}
 
+%
+% Diskrete Markov-Kette
+%
 \subsection{Diskrete Markov-Kette}
 % XXX Diskrete Zeit, Endliche Zustandsmenge
 Die Markov-Eigenschaft besagt, dass man keine Information verliert,
@@ -195,9 +198,18 @@ P(X_{n+1}=x_{n+1}|X_n=x_n)
 hat.
 \end{definition}
 
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov.pdf}
+\caption{Diskrete Markovkette mit Zuständen $\mathcal{S}=\{1,2,3,\dots,s\}$
+und Übergangsmatrizen $T(n+1,n)$.
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:fig:diskretemarkovkette}}
+\end{figure}
+
 Die transienten Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen aufeinanderfolgenden
 Zeitpunkten stellen jetzt die vollständige Information über die
-zeitliche Entwicklung dar.
+zeitliche Entwicklung dar
+(Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:diskretemarkovkette}).
 Aus der Matrix
 \[
 T(n+1,n)
@@ -384,12 +396,28 @@ kommunizieren.
 \index{irreduzible Markov-Kette}
 \end{definition}
 
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov2.pdf}
+\caption{Diese Markov-Kette zerfällt in verschiedene irreduzible
+Markov-Ketten, dere Zustandsmengen nicht miteinander kommunizieren.
+Solche Markov-Ketten können unabhängig voneinander studiert werden.
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:fig:markovzerfall}}
+\end{figure}
+
 Die Bedingung der Irreduzibilität ist gleichbedeutend damit,
 dass für genügend grosses $n$ alle Matrixelemente von $T^n$ positiv sind.
 Solche Matrizen nennt man positiv, 
 in Abschnitt~\ref{buch:section:positive-vektoren-und-matrizen}
 wird gezeigt, dass positive Matrizen immer eine eindeutige
 stationäre Verteilung haben.
+In Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:markovzerfall}
+ist eine reduzible Markov-Kette dargestellt, die Zustandsmenge
+zerfällt in zwei Teilmengen von Zuständen, die nicht miteinander
+kommunizieren.
+Ein irreduzible Markov-Kette liegt vor, wenn sich ähnlich wie
+in Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:diskretemarkovkette}
+jeder Zustand von jedem anderen aus erreichen lässt.
 
 Wenn sich der Vektorraum $\mathbb{R}^n$ in zwei unter $T$ invariante
 Unterräme zerlegen lässt, dann hat nach Wahl von Basen in den Unterräumen
@@ -671,7 +699,17 @@ Nicht absorbierende Zustände heissen {\em transient}
 \index{transienter Zustand}%
 \end{definition}
 
-Eine Markov-Kette kann mehrere absorbierende Zustände haben.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov3.pdf}
+\caption{Markov-Kette mit absorbierenden Zuständen (blau hinterlegt).
+Erreicht die Markov-Kette einen absorbierenden Zustand, dann verbleibt
+sie für alle zukünftigen Zustände in diesem Zustand.
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:fig:abs}}
+\end{figure}
+
+Eine Markov-Kette kann mehrere absorbierende Zustände haben, wie in
+Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:abs} dargestellt.
 Indem man die absorbierenden Zustände zuerst auflistet, bekommt die 
 Übergangsmatrix die Form
 \[