Some corrections on the symmetry section

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@@ -1,7 +1,7 @@
 \section{Symmetrie}
 Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
 ursprünglichen griechischen Wort
-\(\mathrm{\Sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
+\(\mathrm{\Sigma\upsilon\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
 \footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
 verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
 locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
@@ -33,9 +33,7 @@ Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um
 einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert
 lässt.  Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche
 Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für
-\(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.  Dies ist
-hoffentlich ausreichend, um die Bedeutung hinter der Notation zu verstehen, die
-nun eingeführt wird.
+\(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.
 
 % Vieleicht eine kurze Einführung in für die Definition, ich habe das gefühl, dass in der Definition die Symmetrie-Operation und die Gruppe auf einmal erklährt wird 
 \subsubsection{Symetriegruppe}
@@ -46,39 +44,40 @@ nicht nur um $\sigma$ sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um $90^\circ$
 Fässt man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
-	Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
-	Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die Komposition \(h\circ g\)
-	als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter
-	Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
+	Sei \(g\) eine umkehrbare Operation, die ein mathematisches Objekt
+	unverändert lässt.  Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die
+	Komposition \(h\circ g\) als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle
+	Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt
+	wird.
 \end{definition} % ich lese diese  Definition ein wenig holprig, vieleicht können wir sie zusammen anschauen
 
 % Nach meinem Geschmack könne es hier auch eine einleitung wie mein Beispiel geben dammit man den Text flüssiger lesen kann 
 \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger]
 	Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen
 	Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische
-	Untergruppe von \(G\), und \(g\) wird ihr Erzeuger genannt. Die erzeugte
-	Untergruppe \(\langle g \rangle\) wird mit spitzen Klammern um den Erzeuger
-	bezeichnet.
+	Untergruppe von \(G\), und \(g\) wird ihr Erzeuger genannt. Die von \(g\)
+	erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z}
+	\right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet.
 \end{definition}
 
-Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren.
+Damit können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren.
 Bezeichnen wir mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\)
 um einen Punkt.  Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
 \[
 	C_n = \langle r \rangle
 		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
 \]
-der Drehungen eines \(n\)-Gons zu definieren. Das liegt daran,
-dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen, der
-die Rotationssymmetrie bewahrt. Hier die Potenzen von \(r\) sind als
-wiederholte Komposition gemeint, dass heisst \(r^n = r\circ r \circ \cdots
-r\circ r\).  Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem
-Erzeugendensystemen komplexere Strukturen aufbauen.
+der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen. Das liegt daran, dass wir durch die
+mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die
+Rotationssymmetrie bewahrt. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
+Komposition gemeint, dass heisst \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\).
+Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem Erzeugendensystemen
+komplexere Strukturen aufbauen.
 
 \begin{definition}[Erzeugendensysteme]
 	% please fix this unreadable mess
-	Jede Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
-	Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer
+	Jede disktrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert
+	werden.  Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer
 	Symmetriegruppe sein.  Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die
 	sogenannte Definitionsgleichungen gegeben werden, die die
 	Multiplikationstabelle vollständig definieren. Die Gleichungen sind ebenfalls