Merge branch 'master' of github.com:AndreasFMueller/SeminarMatrizen

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diff --git a/buch/papers/ifs/images/koch0-eps-converted-to.pdf b/buch/papers/ifs/images/koch0-eps-converted-to.pdf
index 078c399..ea028b9 100644
--- a/buch/papers/ifs/images/koch0-eps-converted-to.pdf
+++ b/buch/papers/ifs/images/koch0-eps-converted-to.pdf
diff --git a/buch/papers/ifs/images/koch1-eps-converted-to.pdf b/buch/papers/ifs/images/koch1-eps-converted-to.pdf
index 81dcf18..c6a7f50 100644
--- a/buch/papers/ifs/images/koch1-eps-converted-to.pdf
+++ b/buch/papers/ifs/images/koch1-eps-converted-to.pdf
diff --git a/buch/papers/ifs/images/koch2-eps-converted-to.pdf b/buch/papers/ifs/images/koch2-eps-converted-to.pdf
index b7c7de7..f24673c 100644
--- a/buch/papers/ifs/images/koch2-eps-converted-to.pdf
+++ b/buch/papers/ifs/images/koch2-eps-converted-to.pdf
diff --git a/buch/papers/ifs/images/koch8-eps-converted-to.pdf b/buch/papers/ifs/images/koch8-eps-converted-to.pdf
index 0bafd03..f8c17c8 100644
--- a/buch/papers/ifs/images/koch8-eps-converted-to.pdf
+++ b/buch/papers/ifs/images/koch8-eps-converted-to.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/.gitignore b/buch/papers/punktgruppen/.gitignore
new file mode 100644
index 0000000..6827d9f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/.gitignore
@@ -0,0 +1 @@
+standalone
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/Makefile b/buch/papers/punktgruppen/Makefile
index 0274594..f92dc95 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/Makefile
+++ b/buch/papers/punktgruppen/Makefile
@@ -3,7 +3,39 @@
 #
 # (c) 2020 Prof Dr Andreas Mueller
 #
+SOURCES := \
+	crystals.tex \
+	intro.tex \
+	main.tex \
+	piezo.tex \
+	symmetry.tex
 
-images:
-	@echo "no images to be created in punktgruppen"
+TIKZFIGURES := \
+	tikz/combine-symmetries.tex \
+	tikz/lattice.tex \
+	tikz/piezo-atoms.tex \
+	tikz/piezo.tex \
+	tikz/projections.tex \
+	tikz/symmetric-shapes.tex
 
+FIGURES := $(patsubst tikz/%.tex, figures/%.pdf, $(TIKZFIGURES))
+
+.PHONY: images
+images: $(FIGURES)
+
+figures/%.pdf: tikz/%.tex
+	mkdir -p figures
+	pdflatex --output-directory=figures $<
+
+.PHONY: standalone
+standalone: standalone.tex $(SOURCES)
+	mkdir -p standalone
+	cd ../..; \
+		pdflatex \
+			--halt-on-error \
+			--shell-escape \
+			--output-directory=papers/punktgruppen/standalone \
+			papers/punktgruppen/standalone.tex;
+	cd standalone; \
+		bibtex standalone; \
+		makeindex standalone;
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc b/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
index b6a76c1..8cde9d7 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
@@ -10,5 +10,9 @@ dependencies-punktgruppen =	\
 	papers/punktgruppen/symmetry.tex \
 	papers/punktgruppen/crystals.tex \
 	papers/punktgruppen/piezo.tex \
-	papers/punktgruppen/references.bib
-
+	papers/punktgruppen/references.bib \
+    papers/punktgruppen/tikz/combine-symmetries.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/lattice.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/piezo-atoms.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/piezo.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/projections.tex
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 6de2bca..1aec16f 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -1,4 +1,5 @@
 \section{Kristalle}
+%einleitung sollte noch an das ende von der Symmetrie angepasst werden
 Unter dem Begriff Kristall sollte sich jeder ein Bild machen können. 
 Wir werden uns aber nicht auf sein Äusseres fokussieren, sondern was ihn im Inneren ausmacht.
 Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
@@ -6,11 +7,122 @@ Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
     Ein Kristall besteht aus Atomen, welche sich in einem Muster arrangieren, welches sich in drei Dimensionen periodisch wiederholt.
 \end{definition}
 
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/lattice}
+    \caption{
+        Zweidimensionales Kristallgitter.
+        \texttt{TODO: make wider and shorter}
+        \label{fig:punktgruppen:lattice}
+    }
+\end{figure}
+\subsection{Kristallgitter}
+Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice}.
+Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes gewählt und betrachten dies nur in Zwei Dimensionen.
+Die eingezeichneten Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
+Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt 
+und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, 
+endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
+Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor $\vec{c}$ also 
+\[
+    \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}   
+\]
+erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind.
+Sind die Vektoren  $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben ,
+ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind.
+
+\subsection{Translationssymmetrie}
+Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren.
+Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, 
+da die Umgebungen aller Punkte Identisch sind. 
+Mit anderen worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation 
+\[
+    Q_i(G) = G + \vec{a_i}
+\] wobei der Vektor $a_i$ ein Grundvektor sein muss.
+Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, 
+können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination 
+der Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. 
+Verschiebungen um $\vec{r}$ bewirken demnach keine Veränderungen, 
+solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
+
+\subsection{Limitierte Kristallsymmetrien}
+ Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet.
+ Was nicht direkt ersichtlich ist, ist das auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können, 
+ können nur Rotationssymmetrische Kristalle bestimmter Rotationswinkel erzeugt werden.
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries}
+    \caption{
+        Translations und Rotationssymmetrisches Kristallgitter
+        \texttt{TODO: make wider and change color (yellow)}
+    }
+    \label{fig:punktgruppen:rot-geometry}
+\end{figure}
+
+ \subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ in Kombination mit Rotationssymmetrie $C_\alpha$}     % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen
+ In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} Sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge.
+
+ \begin{itemize}
+     \item  $A$ ist unser erster Gitterpunkt. 
+
+     \item  $A'$ ist gegeben, weil wir $A$ mit der Translation $Q$ um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, 
+            dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der Verschobenen Stelle sein muss.
+     \item $B$ entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie $C_\alpha$ auf den Punkt $A$ anwenden.
+            Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel $\alpha$. 
+            Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt $A'$ abgedreht wird.
+            An der neuen Position von $A'$ muss also auch ein Punkt sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
+      \item $B$ ist unser Name für diesen neuen Punkt. 
+            Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir $C_\alpha$ auch auf $A'$ anwenden.
+            Also wenden wir $C_\alpha$ invertiert
+            \footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren. 
+            Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
+            auch auf $A'$ an. 
+            Dies dreht $A$ auf einen neuen Punkt.
+     \item $B'$ ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss.
+            Die Translationssymmetrie zwischen $B$ und $B'$ ist hier als $Q'$ bezeichnet.
+ \end{itemize}  
+ Mit den gegebenen Punkten lassen sich geometrische Folgerungen ziehen.
+ Wir beginnen, indem wir die Länge der Translation $Q$ mit jener von $Q'$ vergleichen.
+ Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass $|Q| = |Q'|+ 2x$.
+ Ist $Q$ ein Grundvektor so muss $|Q'|$ ein ganzes vielfaches von $|Q|$ sein. Also 
+ \[
+    |Q'| = n|Q| = |Q| + 2x
+ \]
+ Die Strecke $x$ lässt sich auch mit hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel $\alpha$ ausdrücken:
+ \[
+    n|Q| = |Q| + 2|Q|\sin(\alpha - \pi/2)
+ \]
+ Wir können mit $|Q|$ dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, 
+ was auch Sinn macht, da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangieren soll. 
+ Zusätzlich können wir den Sinusterm vereinfachen.
+ \[
+     n = 1 - 2\cos\alpha
+     \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1-n}{2}\right)
+ \]
+ Dies schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf 
+ \[
+     \alpha \in \left\{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\right\}
+ \]
+ein.
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/projections}
+    \caption{Kristallklassen mit zugehöriger Schönfliesnotation}
+    \label{fig:punktgruppen:Kristallkassen}
+\end{figure}
+
+\subsection{Kristallklassen}
+Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
+Mit weiteren ähnlichen überlegungen gezeigt werden kann, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum
+\footnote{Alle $17$ möglichen zweidimensionalen Symmetrien sind als Wandmustergruppen bekannt} 
+nur auf genau $32$ Arten punktsymmetrisch sein können.
+Diese $32$ möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
+Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nacht dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
+welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat.
+Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet.
+Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei $5$ Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht gezeichnet wurden.  
+
+
 
-Ein Zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattce-grid}.
-Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Muster eines einzelnen XgrauenX Punktes gewählt in nur Zwei Dimensionen.
-Die eingezeichneten Vektoren a und b sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
-Dadurch können von einem einzelnen XGrauenX Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattce-grid} können mit einer ganzzahligen Linearkombination von a und b alle anderen Gitterpunkte des Kristalles erreicht werden.
-Ein Kristallgitter kann eindeutig mit a und b und deren winkeln beschrieben werden weswegen a und b auch Gitterparameter genannt werden.
-Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor also FRMEL FÜR TRANSLATIONSVEKTOR  erreicht werden.
-Da sich das Ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch die Eigenschaften eines Gitterpunktes Periodisch mit eiem
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries.pdf
new file mode 100644
index 0000000..13f7330
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/lattice.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/lattice.pdf
new file mode 100644
index 0000000..6565be5
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/lattice.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo-atoms.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo-atoms.pdf
new file mode 100644
index 0000000..63da7a9
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo-atoms.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo.pdf
new file mode 100644
index 0000000..ca6192b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/projections.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/projections.pdf
new file mode 100644
index 0000000..c9369b2
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/projections.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes.pdf
new file mode 100644
index 0000000..0b3ba54
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/intro.tex b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex
index 10dea79..24212e7 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/intro.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex
@@ -1,10 +1,14 @@
 \section{Einleitung}
-Es gibt viele möglichkeiten sich in Kristallen zu verlieren.
-Auch wen man nur die Mathematischen möglichkeiten in betracht zieht, hat man noch viel zu viele Möglichkeiten sich mit kristallen zu beschäftigen.
-In diesem Articel ist daher der Fokus "nur" auf die Symmetrie gelegt.
-Im Abschitt über Symmetrien werden wir sehen, wie eine Symmetrie eines Objektes weit 
-2.ter versuch:
-Die Kristallographie ist ein grosses Thema, Symmetrien auch. 
-Für beide bestehen schon bewährte Mathematische Modelle und Definitionen.
-Die
+Es gibt viele Möglichkeiten sich in Kristallen zu verlieren.
+Auch wen man nur die mathematischen Betrachtunngsweisen berüksichtigt, hat man noch viel zu viele Optionen sich mit Kristallen zu beschäftigen.
+In diesem Kapitel ist daher der Fokus ``nur'' auf die Symmetrie gelegt.
+Zu beginn werden wir zeigen was eine Symmetrie ausmacht und dass sie noch weit mehr in sich verbirgt als nur schön auszusehen.
+Die vorgestellten Symmetrien sind äusserst gut geeignet um die Grundeigenschaften eines Kristalles zu Beschreiben.
+Mit etwas kiffligen geometrischen Überlegungen kann man zeigen wass in der Welt der Kristallographie alles möglich ist oder nicht.
+Die Einschränkungen sind durchaus wilkommen, dank ihnen halten sich die möglichen Kristallgitter in Grenzen und Lassen sich Kategorisieren.
+Kategorien sind nicht nur für einen besseren Überblich nützlich, sondern kann man aus ihnen auch auf Physikalische Eigenschaften schliessen, als spannendes Beispiel: Die Piezoelektrizität.
+Die Piezoelektrizität ist vielleicht noch nicht jedem bekannt, sie versteckt sich aber in diversen Altagsgegenständen zum Beispiel sorgen sie in den meisten Feuerzeugen für die Zündung.
+Ein Funken Interesse ist hoffentlich geweckt um sich mit dem scheinbar trivialen thema der Symmetrie auseinander zu setzten.
+
+
 
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/main.tex b/buch/papers/punktgruppen/main.tex
index 04feb25..a6e246c 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/main.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/main.tex
@@ -3,12 +3,12 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-%\chapter{Crystal M\rotatebox[origin=c]{180}{a}th\label{chapter:punktgruppen}}
-%\lhead{Crystal M\rotatebox[origin=c]{180}{a}th}
-\chapter{Crystal Math\label{chapter:punktgruppen}}
-\lhead{Crystal Math}
+\newcommand{\flippedA}{\raisebox{\fontcharht\font`a}{\scalebox{-1}[-1]{a}}}
+
+\chapter[Crystal Math]{Crystal M\flippedA{}th\label{chapter:punktgruppen}}
+\lhead{Crystal M\flippedA{}th}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Tim T\"onz, Naoki Pross}
+\chapterauthor{Naoki Pross, Tim T\"onz}
 
 \input{papers/punktgruppen/intro}
 \input{papers/punktgruppen/symmetry}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
index 7ee4174..e6b595a 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
@@ -1 +1,74 @@
-\section{Piezoelektrizit\"at}
+\section{Piezoelektrizität}
+Die Piezoelektrizität ist per Definition spannend.
+Sie beschreibt die Eigenschaft, dass gewisse Kristalle eine elektrische Spannung erzeugen, wenn machanischer Druck auf sie ausgeübt wird.
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/piezo} %das Efeld mit Naoki disskutieren, müssen sicher gehen, dass es mit jenen in Abbildung Piezo aufbau übereinstimmt
+    \caption{Piezoelektrisches Material in Ruhe und unter Druck}
+    \label{fig:punktgruppen:basicPiezo}
+\end{figure}
+
+\subsection{Polarisierung}
+Piezoelektrizität basiert darauf, dass zwischen den Oberflächen des Kristalles ein Ladungsungleichgewicht entsteht siehe Abbildung\ref{fig:punktgruppen:basicPiezo}.
+Dieses Ungleichgewicht resultiert, 
+weil durch den mechanischen Druck auf der einen Oberfläche des Kristalles positiv Ione näher an die Oberfläche gelangen,
+wärend auf der gegenüberliegenden Oberfläche sich mehr negative Ionen Sammeln.
+Das sich die atomare Struktur eines Kristalles unter Druck genau so verformt ist nicht bei jedem Kristall gegeben.
+Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles sind daher relevant für die Entstehung dieses Effektes.
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/piezo-atoms} 
+    \caption{
+        Kristallstrukturen mit und ohne piezoelektrischer Eigenschaft.
+        \texttt{TODO: adapt figure for paper with subfigure markers.}
+    }
+    \label{fig:punktgruppen:atomPiezo}
+\end{figure}
+
+\subsection{Atomarer Aufbau}
+Die Polarisation resultiert über eine gesamte Oberfläche eines Kristalles, entscheidend ist aber der atomare Aufbau.
+Wir wollen dazu die verschiedenen Kristallstrukturen auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} diskutieren.
+In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} gilt für alle Strukturen, dass rote Kreise Positive Ionen und blaue negative Ionen repräsentieren. 
+%liste oder anderes format?..
+Struktur$(a)$ zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. Struktur $(b)$ ist dasselbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. 
+Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld, welches entsteht, weil mitlleren Ladungsträger weiter auseinander gerdrückt werden.
+Als hilfe zur Vorstellung kann man $(b)$ zwischen zwei leitende Platten setzen, 
+so wird ersichtlich, dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird,
+während sich die positiven Ionen weiter entfernen. 
+$(d)$ ist nicht piezoelektrisch.
+Dies wird ersichtlich, wenn man $(d)$ unterdruck setzt und sich die Struktur zu $(e)$ verformt.
+Setzt man  $(e)$ gedanklich auch zwischen zwei leitende Platten scheint es als würden rechts mehr Positive Ionen in die Platte gedrückt werden 
+und links umgekehrt.
+Dies ist aber nicht mehr der Fall, wenn der Kristall nach oben und periodisch wiederholt.
+Struktur $(c)$ zeigt $(a)$ in unter horizontaler Belastung. 
+Was in zwischen $(b)$ und $(c)$ zu beobachten ist, ist dass das entstandene Ladungsdifferenz orthogonal zu der angelegten Kraft entsteht,
+im Gegensatz zu $(b)$.
+Daraus kann man schlissen, dass $(a)$ keine Rotationssymmetrie von $90^\circ$ besitzen kann, weil die Eigenschaften ändern bei einer $90^\circ$ Drehung. 
+Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie kann mit betrachten von $(a)$ bestätigt werden. 
+
+\subsection{Punktsymmetrie}\footnote{In der Literatur wird ein Punktsymmetrisches Kristallgitter oft als Kristallgitter mit Inversionszentrum bezeichnet.}
+Piezoelektrische Kristalle können nicht Punktsymmetrisch sein.
+Kristallgitter, bei welchen eine Punktspiegelung eine symmetrische Operation ist, können keine piezoelektrische Kristalle bilden.
+Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst $(a)$ ein nicht Punktsymmetrischer Kristall mit einem Punktsymmetrischen $(d)$ verglichen worden.
+Als vereinfachte Erklärung kann mann sich wieder das Bild vor augen führen, eines Kristalles, 
+welcher unter Druck auf der einen Seite negative und der anderen Seite positive Ionen an seine Oberfläche verdrängt.
+Spiegelt man nun den Kristall um den Gitterpunkt in der mitte des Kristalles, so würden die negativen Ionen auf den Positiven auf der anderen seite landen,
+was der Definition einer Symmetrie deutlich widerspricht.
+
+\subsection{Vom Kristall zum Feuer}
+Piezoelektrizität hat durchaus nutzen im Alltag.
+Feuerzeuge welche nicht auf dem Prinzip beruhen einen Zündstein abzuschleifen, 
+sonder ohne Verschleiss auf Knopfdruck einen Zündfunken erzeugen, basieren auf dem Prinzip der Piezoelektrizität.
+Drückt der Nutzende auf den Zündknopf spannt sich eine Feder bis zu einer Konfigurierten Spannung.
+Wird vom Nutzenden weiter gedrückt entspannt sich die Feder schlagartig und beschleunigt mit der gespeicherten Energie ein Hammer,
+welcher auf das Piezoelement aufschlägt.
+Der augenblicklich hohe Druck sorgt an den Piezokontakten für eine eben so Kurze aber hohe elekrische Spannung.
+Die Spannung reicht aus, um eine Funkenstrecke zu überwinden und so eine entflammbares Gas zu entzünden.
+Sollten Sie also eines Tages in die Situation geraten, in welcher Sie zwei verschiedene Kristalle vor sich haben
+und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen müssen,
+wobei Sie aber wissen, dass einer eine Punktsymmetrie aufweist,
+versuche sie es mit dem anderen.
+Ich muss aber anmerken, dass aus den $21$ möglichen Kristallsymmetrien ohne Punktsymmetrie einer nicht piezoelektrisch ist.
+ein wenig glück brauchen Sie also immer noch.
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/standalone.tex b/buch/papers/punktgruppen/standalone.tex
new file mode 100644
index 0000000..3317318
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/standalone.tex
@@ -0,0 +1,30 @@
+\documentclass{book}
+
+\input{common/packages.tex}
+
+% additional packages used by the individual papers, add a line for
+% each paper
+\input{papers/common/addpackages.tex}
+
+% workaround for biblatex bug
+\makeatletter
+\def\blx@maxline{77}
+\makeatother
+\addbibresource{chapters/references.bib}
+
+% Bibresources for each article
+\input{papers/common/addbibresources.tex}
+
+% make sure the last index starts on an odd page
+\AtEndDocument{\clearpage\ifodd\value{page}\else\null\clearpage\fi}
+\makeindex
+
+%\pgfplotsset{compat=1.12}
+\setlength{\headheight}{15pt} % fix headheight warning
+\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
+
+\begin{document}
+	\input{common/macros.tex}
+	\def\chapterauthor#1{{\large #1}\bigskip\bigskip}
+	\input{papers/punktgruppen/main.tex}
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index db05ff5..1dc6f98 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -1,8 +1,8 @@
 \section{Symmetrie}
 Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
 ursprünglichen griechischen Wort
-\(\mathrm{\sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
-\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
+\(\mathrm{\Sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
+\footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
 verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
 locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
 präzise Bedeutung.
@@ -10,99 +10,85 @@ präzise Bedeutung.
 	Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer
 	bestimmten Operation invariant ist.
 \end{definition}
+Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit
+einigen geometrischen Beispielen beginnen. Wie wir jedoch später sehen werden,
+ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.  
 
-Wenn der Leser noch nicht mit der Gruppentheorie in Berührung gekommen ist, ist
-vielleicht nicht ganz klar, was eine Operation ist, aber die Definition sollte
-trotzdem Sinn machen. Die Formalisierung dieser Idee wird bald kommen, aber
-zunächst wollen wir eine Intuition aufbauen.
-
-\begin{figure}[h]
+\begin{figure}
 	\centering
-	\begin{tikzpicture}[
-			node distance = 2cm,
-			shapetheme/.style = {
-				very thick, draw = black, fill = magenta!20!white,
-				minimum size = 2cm,
-			},
-			line/.style = {thick, draw = darkgray},
-			axis/.style = {line, dashed},
-			dot/.style = {
-				circle, draw = darkgray, fill = darkgray,
-				minimum size = 1mm, inner sep = 0, outer sep = 0,
-			},
-		]
-
-		\node[
-			shapetheme,
-			rectangle
-		] (R) {};
-		\node[dot] at (R) {};
-		\draw[axis] (R) ++(-1.5, 0) to ++(3, 0) node[right] {\(\sigma\)};
-
-		\node[
-			shapetheme,
-			regular polygon,
-			regular polygon sides = 5,
-			right = of R,
-		] (Ps) {};
-		\node[dot] (P) at (Ps) {};
-		\draw[line, dotted] (P) to ++(18:1.5);
-		\draw[line, dotted] (P) to ++(90:1.5);
-		\draw[line, ->] (P) ++(18:1.2) 
-			arc (18:90:1.2) node[midway, above right] {\(r, 72^\circ\)};
-
-		\node[
-			shapetheme,
-			circle, right = of P
-		] (Cs) {};
-		\node[dot] (C) at (Cs) {};
-		\draw[line, dotted] (C) to ++(1.5,0);
-		\draw[line, dotted] (C) to ++(60:1.5);
-		\draw[line, ->] (C) ++(1.2,0)
-			arc (0:60:1.2) node[midway, above right] {\(r, \alpha\)};
-
-	\end{tikzpicture}
+	\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes}
 	\caption{
 		Beispiele für geometrisch symmetrische Formen.
 		\label{fig:punktgruppen:geometry-example}
 	}
 \end{figure}
 
-Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit
-einigen geometrischen Beispielen beginnen. Wie wir jedoch später sehen werden,
-ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.  In Abbildung
-\ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die
-offensichtlich symmetrisch sind.  Zum Beispiel hat ein Quadrat viele Achsen, um
-die es gedreht werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.  Regelmässige
-Polygone mit \(n\) Seiten sind gute Beispiele, um eine diskrete
+\subsection{Geometrische Symmetrien}
+
+In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen,
+die offensichtlich symmetrisch sind.  Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an
+deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.  Regelmässige
+Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete
 Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um
-einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) sie unverändert lässt.
-Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche
+einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert
+lässt.  Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche
 Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für
 \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.  Dies ist
 hoffentlich ausreichend, um die Bedeutung hinter der Notation zu verstehen, die
 nun eingeführt wird.
 
+% Vieleicht eine kurze Einführung in für die Definition, ich habe das gefühl, dass in der Definition die Symmetrie-Operation und die Gruppe auf einmal erklährt wird 
+\subsubsection{Symetriegruppe}
+\texttt{TODO: review this paragraph, explain what is \(\mathds{1}\).}
+Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.
+Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example}
+nicht nur um $\sigma$ sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um $90^\circ$ gedreht werden.
+Fässt man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
+
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
 	Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
 	Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die Komposition \(h\circ g\)
 	als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter
 	Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
+\end{definition} % ich lese diese  Definition ein wenig holprig, vieleicht können wir sie zusammen anschauen
+
+% Nach meinem Geschmack könne es hier auch eine einleitung wie mein Beispiel geben dammit man den Text flüssiger lesen kann 
+\begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger]
+	Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen
+	Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische
+	Untergruppe von \(G\), und \(g\) wird ihr Erzeuger genannt. Die erzeugte
+	Untergruppe \(\langle g \rangle\) wird mit spitzen Klammern um den Erzeuger
+	bezeichnet.
 \end{definition}
 
-Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. Wenn wir
-\(r\) eine Drehung von \(2\pi/n\) sein lassen, gibt es eine wohlbekannte Symmetriegruppe
+Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren.
+Bezeichnen wir mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\)
+um einen Punkt.  Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
 \[
 	C_n = \langle r \rangle
 		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
-		= \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},
 \]
-die Zyklische Gruppe heisst. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
-Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\).  Die
-Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet.
-Das liegt daran, dass alle Elemente der Symmetriegruppe aus Kombinationen einer
-Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet werden.  Die
-Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur
+der Drehungen eines \(n\)-Gons zu definieren. Das liegt daran,
+dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen, der
+die Rotationssymmetrie bewahrt. Hier die Potenzen von \(r\) sind als
+wiederholte Komposition gemeint, dass heisst \(r^n = r\circ r \circ \cdots
+r\circ r\).  Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem
+Erzeugendensystemen komplexere Strukturen aufbauen.
+
+\begin{definition}[Erzeugendensysteme]
+	% please fix this unreadable mess
+	Jede Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
+	Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer
+	Symmetriegruppe sein.  Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die
+	sogenannte Definitionsgleichungen gegeben werden, die die
+	Multiplikationstabelle vollständig definieren. Die Gleichungen sind ebenfalls
+	in den Klammern angegeben. Die erzeugende Elementen zusammen mit der
+	Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme.
+\end{definition}
+
+\texttt{TODO: should put examples for generators?} \\
+
+Die Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur
 \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit
 der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
 \[
@@ -111,22 +97,48 @@ der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
 				\mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
 		\right\}.
 \]
-Diesmal muss die Generator-Notation die Beziehungen zwischen den beiden
-Operationen beinhalten. Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die
-letzte empfehlen wir, sie an einem 2D-Quadrat auszuprobieren.
 
+Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer
+mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird. Im
+Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei der Spiegelung die Punkte der
+Spiegelachse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine Symmetrie, da es
+Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt verschieben können.
+Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
+Punktsymmetrie.
+\begin{definition}[Punktgruppe]
+	Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens
+	einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine
+	Punktgruppe ist.
+\end{definition}
+
+\subsection{Algebraische Symmetrien}
 Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
-möglich ist, eine nicht kommutative Algebra zu erstellen. Die naheliegende
-Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?
-Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
-\begin{definition}[Darstellung einer Gruppe, Gruppenhomomorphismus]
+möglich ist, Gleichungen zu schreiben. Die naheliegende Frage ist dann, könnte
+es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?  Natürlich, ja.
+Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
+\begin{definition}[Gruppenhomomorphismus]
 	Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
 	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
 	Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist
 	eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt
 	\(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man sagt, dass der Homomorphismus
-	\(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass \(H\) eine Darstellung von
-	\(G\) ist.
+	\(f\) \(G\) in \(H\) transformiert.
+\end{definition}
+\begin{beispiel}
+	Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
+	Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem
+	komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\)
+	ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
+\end{beispiel}
+
+\begin{definition}[Darstellung einer Gruppe]
+	Die Darstellung einer Gruppe ist ein Homomorphismus, der eine Symmetriegruppe
+	auf eine Menge von Matrizen abbildet.
+	\[
+		\Phi: G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}).
+	\]
+	Äquivalent kann man sagen, dass ein Element aus der Symmetriegruppe auf einen
+	Vektorraum \(V\) wirkt, indem man definiert \(\Phi : G \times V \to V\).
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
 	Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
@@ -142,40 +154,21 @@ Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
 	die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2
 	\circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
 \end{beispiel}
-\begin{beispiel}
-	Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
-	Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem
-	komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\)
-	ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
-\end{beispiel}
 
-Die Symmetrien, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens
-einen Punkt unbesetzt gelassen. Im Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei
-der Spiegelung die Achse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine
-Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt
-verschieben können. Ein aufmerksamer Leser wird bemerken, dass die
-unveränderten Punkte zum Eigenraum\footnote{Zur Erinnerung \(E_\lambda =
-\mathrm{null}(\Phi - \lambda I)\), \(\vec{v}\in E_\lambda \implies \Phi \vec{v}
-= \lambda\vec{v}\)} der Matrixdarstellung der Symmetrieoperation gehören.
-Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
-Punktsymmetrie.
-\begin{definition}[Punktgruppe]
-	Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens
-	einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine
-	Punktgruppe ist.
-\end{definition}
-Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
-eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
-nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie.  Von einem mathematischen
-Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\)
-hat, wenn es die Gleichung 
-\[
-	U(x) = U(Q(x)) = U(x + a),
-\]
-für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
-Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
-zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
-dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).
+\texttt{TODO: rewrite section on translational symmetry.}
+%% TODO: title / fix continuity
+% Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
+% eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
+% nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie.  Von einem mathematischen
+% Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\)
+% hat, wenn es die Gleichung 
+% \[
+% 	U(x) = U(Q(x)) = U(x + a),
+% \]
+% für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
+% Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
+% zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
+% dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).
 
 % \subsection{Sch\"onflies notation} 
 
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/combine-symmetries.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/combine-symmetries.tex
new file mode 100644
index 0000000..84e0a76
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/combine-symmetries.tex
@@ -0,0 +1,56 @@
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{math}
+\usetikzlibrary{positioning}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{shapes.misc}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\begin{document}
+\begin{tikzpicture}[
+    dot/.style = {
+      draw, circle, thick, black, fill = gray!40!white,
+      minimum size = 2mm,
+      inner sep = 0pt,
+      outer sep = 1mm,
+    },
+  ]
+
+  \node[dot] (A1) at (0,0) {};
+  \node[below left] at (A1) {\(A\)};
+
+  \node[dot] (A2) at (2.5,0) {};
+  \node[below right] at (A2) {\(A'\)};
+
+  \draw[red!80!black, thick, ->] 
+    (A1) to node[midway, below] {\(\vec{Q}\)} (A2);
+
+  \node[dot] (B1) at (120:2.5) {};
+  \node[above left] at (B1) {\(B\)};
+
+  \draw[green!70!black, thick, ->]
+    (A1) ++(.5,0) arc (0:120:.5)
+    node[midway, above, xshift=1mm] {\(C_n\)};
+  \draw[red!80!black, dashed, thick, ->] (A1) to (B1);
+
+  \node[dot] (B2) at ($(A2)+(60:2.5)$) {};
+  \node[above right] at (B2) {\(B'\)};
+
+  \draw[green!70!black, thick, dashed, ->]
+    (A2) ++(-.5,0) arc (180:60:.5);
+  \draw[red!80!black, dashed, thick, ->] (A2) to (B2);
+
+  \draw[yellow!50!orange, thick, ->]
+    (B1) to node[above, midway] {\(\vec{Q}'\)} (B2);
+
+  \draw[gray, dashed, thick] (A1) to (A1 |- B1) node (Xl) {};
+  \draw[gray, dashed, thick] (A2) to (A2 |- B2) node (Xr) {};
+  \node[above left, xshift=-2mm] at (Xl) {\(x\)};
+  \node[above right, xshift= 2mm] at (Xr) {\(x\)};
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/lattice.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/lattice.tex
new file mode 100644
index 0000000..9c05af3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/lattice.tex
@@ -0,0 +1,39 @@
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{math}
+\usetikzlibrary{positioning}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{shapes.misc}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\begin{document}
+\begin{tikzpicture}[
+	dot/.style = {
+	  draw, circle, thick, black, fill = gray!40!white,
+	  minimum size = 2mm,
+	  inner sep = 0pt,
+	  outer sep = 1mm,
+	},
+  ]
+
+  \begin{scope}
+	\clip (-2,-2) rectangle (3,4);
+	\foreach \y in {-7,-6,...,7} {
+	  \foreach \x in {-7,-6,...,7} {
+		\node[dot, xshift=3mm*\y] (N\x\y) at (\x, \y) {};
+	  }
+	}
+  \end{scope}
+  \draw[black, thick] (-2, -2) rectangle (3,4);
+
+  \draw[red!80!black, thick, ->] 
+	(N00) to node[midway, below] {\(\vec{a}_1\)} (N10);
+  \draw[cyan!80!black, thick, ->]
+	(N00) to node[midway, left] {\(\vec{a}_2\)} (N01);
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo-atoms.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo-atoms.tex
new file mode 100644
index 0000000..82a2710
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo-atoms.tex
@@ -0,0 +1,121 @@
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{math}
+\usetikzlibrary{positioning}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{shapes.misc}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\begin{document}
+  \begin{tikzpicture}[
+      node distance = 2mm,
+      charge/.style = {
+        circle, draw = black, thick,
+        minimum size = 5mm
+      },
+      positive/.style = { fill = red!50 },
+      negative/.style = { fill = blue!50 },
+    ]
+
+    \node[font = {\large\bfseries}, align = center] (title) at (5.5,0) {Mit und Ohne\\ Symmetriezentrum};
+
+    \begin{scope}
+      \matrix[nodes = { charge }, row sep = 8mm, column sep = 8mm] {
+        \node[positive] {}; & \node[negative] (N) {}; & \node [positive] {}; \\
+        \node[negative] (W) {}; & \node[positive] {}; & \node [negative] (E) {}; \\
+        \node[positive] {}; & \node[negative] (S) {}; & \node [positive] {}; \\
+      };
+      \draw[gray, dashed] (W) to (N) to (E) to (S) to (W);
+    \end{scope}
+
+    \begin{scope}[xshift=11cm]
+      \foreach \x/\t [count=\i] in {60/positive, 120/negative, 180/positive, 240/negative, 300/positive, 360/negative} {
+        \node[charge, \t] (C\i) at (\x:1.5cm) {};
+      }
+
+      \draw[black] (C1) to (C2) to (C3) to (C4) to (C5) to (C6) to (C1);
+      \node[circle, draw=gray, fill=gray, outer sep = 0, inner sep = 0, minimum size = 3mm] {};
+      % \draw[gray, dashed] (C2) to (C4) to (C6) to (C2);
+    \end{scope}
+
+	%% 
+    \node[below = of title] {Polarisation Feld \(\vec{E}_p\)};
+
+	%% hex with vertical pressure
+    \begin{scope}[xshift=11cm, yshift=-4.5cm]
+      \node[charge, positive, yshift=-2.5mm] (C1) at ( 60:1.5cm) {};
+      \node[charge, negative, yshift=-2.5mm] (C2) at (120:1.5cm) {};
+      \node[charge, positive, xshift=-2.5mm] (C3) at (180:1.5cm) {};
+      \node[charge, negative, yshift= 2.5mm] (C4) at (240:1.5cm) {};
+      \node[charge, positive, yshift= 2.5mm] (C5) at (300:1.5cm) {};
+      \node[charge, negative, xshift= 2.5mm] (C6) at (360:1.5cm) {};
+
+      \draw[black] (C1) to (C2) to (C3) to (C4) to (C5) to (C6) to (C1);
+      % \draw[gray, dashed] (C2) to (C4) to (C6) to (C2);
+
+      \foreach \d in {C1, C2} {
+        \draw[orange, very thick, <-] (\d) to ++(0,.7);
+      }
+
+      \foreach \d in {C4, C5} {
+        \draw[orange, very thick, <-] (\d) to ++(0,-.7);
+      }
+
+      \node[black] (E) {\(\vec{E}_p\)};
+      \begin{scope}[node distance = .5mm]
+        \node[red!50, right = of E] {\(+\)};
+        \node[blue!50, left = of E] {\(-\)};
+      \end{scope}
+      % \draw[gray, thick, dotted] (E) to ++(0,2);
+      % \draw[gray, thick, dotted] (E) to ++(0,-2);
+    \end{scope}
+
+	%% square with vertical pressure 
+    \begin{scope}[yshift=-4.5cm]
+      \matrix[nodes = { charge }, row sep = 5mm, column sep = 1cm] {
+        \node[positive] (NW) {}; & \node[negative] (N) {}; & \node [positive] (NE) {}; \\
+        \node[negative] (W) {}; & \node[positive] {}; & \node [negative] (E) {}; \\
+        \node[positive] (SW) {}; & \node[negative] (S) {}; & \node [positive] (SE) {}; \\
+      };
+
+      \foreach \d in {NW, N, NE} {
+        \draw[orange, very thick, <-] (\d) to ++(0,.7);
+      }
+
+      \foreach \d in {SW, S, SE} {
+        \draw[orange, very thick, <-] (\d) to ++(0,-.7);
+      }
+
+      \draw[gray, dashed] (W) to (N) to (E) to (S) to (W);
+    \end{scope}
+
+	%% hex with horizontal pressure
+    \begin{scope}[xshift=5.5cm, yshift=-4.5cm]
+      \node[charge, positive, yshift= 2.5mm] (C1) at ( 60:1.5cm) {};
+      \node[charge, negative, yshift= 2.5mm] (C2) at (120:1.5cm) {};
+      \node[charge, positive, xshift= 2.5mm] (C3) at (180:1.5cm) {};
+      \node[charge, negative, yshift=-2.5mm] (C4) at (240:1.5cm) {};
+      \node[charge, positive, yshift=-2.5mm] (C5) at (300:1.5cm) {};
+      \node[charge, negative, xshift=-2.5mm] (C6) at (360:1.5cm) {};
+
+      \draw[black] (C1) to (C2) to (C3) to (C4) to (C5) to (C6) to (C1);
+      % \draw[gray, dashed] (C2) to (C4) to (C6) to (C2);
+
+      \draw[orange, very thick, <-] (C6) to ++(.7,0);
+      \draw[orange, very thick, <-] (C3) to ++(-.7,0);
+
+      \node[black] (E) {\(\vec{E}_p\)};
+      \begin{scope}[node distance = .5mm]
+        \node[blue!50, right = of E] {\(-\)};
+        \node[red!50, left = of E] {\(+\)};
+      \end{scope}
+      % \draw[gray, thick, dotted] (E) to ++(0,2);
+      % \draw[gray, thick, dotted] (E) to ++(0,-2);
+    \end{scope}
+  \end{tikzpicture}
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo.tex
new file mode 100644
index 0000000..1d16ab7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo.tex
@@ -0,0 +1,71 @@
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{math}
+\usetikzlibrary{positioning}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{shapes.misc}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\begin{document}
+\begin{tikzpicture}
+  \begin{scope}[
+        node distance = 0cm
+    ]
+    \node[
+        rectangle, fill = gray!60!white,
+        minimum width = 3cm, minimum height = 2cm,
+    ] (body) {\(\vec{E}_p = \vec{0}\)};
+
+    \node[
+        draw, rectangle, thick, black, fill = red!50,
+        minimum width = 3cm, minimum height = 1mm,
+        above = of body
+    ] (pos) {};
+
+    \node[
+        draw, rectangle, thick, black, fill = blue!50,
+        minimum width = 3cm, minimum height = 1mm,
+        below = of body
+    ] (neg) {};
+
+    \draw[black, very thick, -Circle] (pos.east) to ++ (1,0) node (p) {};
+    \draw[black, very thick, -Circle] (neg.east) to ++ (1,0) node (n) {};
+
+    \draw[black, thick, ->] (p) to[out = -70, in = 70] node[midway, right] {\(U = 0\)} (n);
+  \end{scope}
+  \begin{scope}[
+        node distance = 0cm,
+        xshift = 7cm
+    ]
+    \node[
+        rectangle, fill = gray!40!white,
+        minimum width = 3cm, minimum height = 1.5cm,
+    ] (body) {\(\vec{E}_p = \vec{0}\)};
+
+    \node[
+        draw, rectangle, thick, black, fill = red!50,
+        minimum width = 3cm, minimum height = 1mm,
+        above = of body
+    ] (pos) {};
+
+    \node[
+        draw, rectangle, thick, black, fill = blue!50,
+        minimum width = 3cm, minimum height = 1mm,
+        below = of body
+    ] (neg) {};
+
+    \draw[orange, very thick, <-] (pos.north) to node[near end, right] {\(\vec{F}\)} ++(0,1);
+    \draw[orange, very thick, <-] (neg.south) to node[near end, right] {\(\vec{F}\)} ++(0,-1);
+
+    \draw[black, very thick, -Circle] (pos.east) to ++ (1,0) node (p) {};
+    \draw[black, very thick, -Circle] (neg.east) to ++ (1,0) node (n) {};
+
+    \draw[black, thick, ->] (p) to[out = -70, in = 70] node[midway, right] {\(U > 0\)} (n);
+  \end{scope}
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/projections.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/projections.tex
new file mode 100644
index 0000000..a763e77
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/projections.tex
@@ -0,0 +1,257 @@
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{math}
+\usetikzlibrary{positioning}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{shapes.misc}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\begin{document}
+\begin{tikzpicture}[
+    classcirc/.style = {
+      draw = gray, thick, circle,
+      minimum size = 12mm,
+      inner sep = 0pt, outer sep = 0pt,
+    },
+    classlabel/.style = {
+      below right = 5mm
+    },
+    round/.style = {
+      draw = orange, thick, circle,
+      minimum size = 1mm,
+      inner sep = 0pt, outer sep = 0pt,
+    },
+    cross/.style = {
+      cross out, draw = magenta, thick,
+      minimum size = 1mm, 
+      inner sep = 0pt, outer sep = 0pt
+    },
+  ]
+  \matrix [row sep = 3mm, column sep = 0mm] {
+    \node[classcirc] (C1)  {} node[classlabel] {\(C_{1}\)};  & 
+    \node[classcirc] (C2)  {} node[classlabel] {\(C_{2}\)};  &
+    \node[classcirc] (C3)  {} node[classlabel] {\(C_{3}\)};  &
+    \node[classcirc] (Ci)  {} node[classlabel] {\(C_{i}\)};  &
+
+    \node[classcirc] (Cs)  {} node[classlabel] {\(C_{s}\)};  &
+    \node[classcirc] (C3i) {} node[classlabel] {\(C_{3i}\)}; &
+    \node[classcirc] (C2h) {} node[classlabel] {\(C_{2h}\)}; &
+    \node[classcirc] (D2)  {} node[classlabel] {\(D_{2}\)};  \\
+
+    \node[classcirc] (D3d) {} node[classlabel] {\(D_{3d}\)}; &
+    \node[classcirc] (C2v) {} node[classlabel] {\(C_{2v}\)}; & 
+    \node[classcirc] (D2h) {} node[classlabel] {\(D_{2h}\)}; & 
+    \node[classcirc] (D3)  {} node[classlabel] {\(D_{3}\)};  &
+
+    \node[classcirc] (C4)  {} node[classlabel] {\(C_{4}\)};  &
+    \node[classcirc] (C6)  {} node[classlabel] {\(C_{6}\)};  &
+    \node[classcirc] (D3dP) {} node[classlabel] {\(D_{3d}\)}; &
+    \node[classcirc] (S4)  {} node[classlabel] {\(S_{4}\)};  \\
+
+    \node[classcirc] (S3)  {} node[classlabel] {\(S_{3}\)};  &
+    \node[classcirc, dashed] (T)   {} node[classlabel] {\(T_{}\)};   &
+    \node[classcirc] (C4h) {} node[classlabel] {\(C_{4h}\)}; &
+    \node[classcirc] (C6h) {} node[classlabel] {\(C_{6h}\)}; &
+
+    \node[classcirc, dashed] (Th)  {} node[classlabel] {\(T_{h}\)};  &
+    \node[classcirc] (C4v) {} node[classlabel] {\(C_{4v}\)}; &
+    \node[classcirc] (C6v) {} node[classlabel] {\(C_{6v}\)}; &
+    \node[classcirc, dashed] (Td)  {} node[classlabel] {\(T_{d}\)};  \\
+    
+    \node[classcirc] (D2d) {} node[classlabel] {\(D_{2d}\)}; &
+    \node[classcirc] (D3h) {} node[classlabel] {\(D_{3h}\)}; &
+    \node[classcirc, dashed] (O)   {} node[classlabel] {\(O_{}\)};   &
+    \node[classcirc] (D4)  {} node[classlabel] {\(D_{4}\)};  &
+
+    \node[classcirc] (D6)  {} node[classlabel] {\(D_{6}\)};  &
+    \node[classcirc, dashed] (Oh)  {} node[classlabel] {\(O_{h}\)};  &
+    \node[classcirc] (D4h) {} node[classlabel] {\(D_{4h}\)}; &
+    \node[classcirc] (D6h) {} node[classlabel] {\(D_{6h}\)}; \\
+  };
+
+
+  \node[cross] at ($(C1)+(4mm,0)$) {};
+
+  
+  \node[cross] at ($(C2)+(4mm,0)$) {};
+  \node[cross] at ($(C2)-(4mm,0)$) {};
+
+
+  \node[cross] at ($(C3)+(  0:4mm)$) {};
+  \node[cross] at ($(C3)+(120:4mm)$) {};
+  \node[cross] at ($(C3)+(240:4mm)$) {};
+
+
+  \node[cross] at ($(Ci)+(4mm,0)$) {};
+  \node[round] at ($(Ci)-(4mm,0)$) {};
+
+
+  \node[cross] at ($(Cs)+(4mm,0)$) {};
+  \node[round] at ($(Cs)+(4mm,0)$) {};
+
+
+  \node[cross] at ($(C3i)+(  0:4mm)$) {};
+  \node[cross] at ($(C3i)+(120:4mm)$) {};
+  \node[cross] at ($(C3i)+(240:4mm)$) {};
+  \node[round] at ($(C3i)+( 60:4mm)$) {};
+  \node[round] at ($(C3i)+(180:4mm)$) {};
+  \node[round] at ($(C3i)+(300:4mm)$) {};
+
+
+  \node[cross] at ($(C2h)+(4mm,0)$) {};
+  \node[cross] at ($(C2h)-(4mm,0)$) {};
+  \node[round] at ($(C2h)+(4mm,0)$) {};
+  \node[round] at ($(C2h)-(4mm,0)$) {};
+
+
+  \node[cross] at ($(D2)+( 20:4mm)$) {};
+  \node[cross] at ($(D2)+(200:4mm)$) {};
+  \node[round] at ($(D2)+(160:4mm)$) {};
+  \node[round] at ($(D2)+(340:4mm)$) {};
+
+
+  \foreach \x in {0, 120, 240} {
+    \node[cross] at ($(D3d)+({\x+15}:4mm)$) {};
+    \node[cross] at ($(D3d)+({\x-15}:4mm)$) {};
+  }
+
+
+  \foreach \x in {0, 180} {
+    \node[cross] at ($(C2v)+({\x+15}:4mm)$) {};
+    \node[cross] at ($(C2v)+({\x-15}:4mm)$) {};
+  }
+
+
+  \foreach \x in {0, 180} {
+    \node[cross] at ($(D2h)+({\x+15}:4mm)$) {};
+    \node[cross] at ($(D2h)+({\x-15}:4mm)$) {};
+    \node[round] at ($(D2h)+({\x+15}:4mm)$) {};
+    \node[round] at ($(D2h)+({\x-15}:4mm)$) {};
+  }
+
+
+  \foreach \x in {0, 120, 240} {
+    \node[cross] at ($(D3)+({\x+15}:4mm)$) {};
+    \node[round] at ($(D3)+({\x-15}:4mm)$) {};
+  }
+
+
+  \foreach \x in {0, 90, 180, 270} {
+    \node[cross] at ($(C4)+(\x:4mm)$) {};
+  }
+
+
+  \foreach \x in {0, 60, 120, 180, 240, 300} {
+    \node[cross] at ($(C6)+(\x:4mm)$) {};
+  }
+
+
+  \foreach \x in {0, 120, 240} {
+    \node[cross] at ($(D3dP)+({\x+15}:4mm)$) {};
+    \node[cross] at ($(D3dP)+({\x-15}:4mm)$) {};
+    \node[round] at ($(D3dP)+({\x+15+60}:4mm)$) {};
+    \node[round] at ($(D3dP)+({\x-15+60}:4mm)$) {};
+  }
+
+
+  \node[cross] at ($(S4)+(4mm,0)$) {};
+  \node[cross] at ($(S4)-(4mm,0)$) {};
+  \node[round] at ($(S4)+(0,4mm)$) {};
+  \node[round] at ($(S4)-(0,4mm)$) {};
+
+
+  \foreach \x in {0, 120, 240} {
+    \node[cross] at ($(S3)+(\x:4mm)$) {};
+    \node[round] at ($(S3)+(\x:4mm)$) {};
+  }
+
+
+  %% TODO: T
+
+
+  \foreach \x in {0, 90, 180, 270} {
+    \node[cross] at ($(C4h)+(\x:4mm)$) {};
+    \node[round] at ($(C4h)+(\x:4mm)$) {};
+  }
+
+
+  \foreach \x in {0, 60, 120, 180, 240, 300} {
+    \node[cross] at ($(C6h)+(\x:4mm)$) {};
+    \node[round] at ($(C6h)+(\x:4mm)$) {};
+  }
+
+
+  %% TODO: Th
+
+
+  \foreach \x in {0, 90, 180, 270} {
+    \node[cross] at ($(C4v)+(\x+15:4mm)$) {};
+    \node[cross] at ($(C4v)+(\x-15:4mm)$) {};
+  }
+
+
+
+  \foreach \x in {0, 60, 120, 180, 240, 300} {
+    \node[cross] at ($(C6v)+(\x+10:4mm)$) {};
+    \node[cross] at ($(C6v)+(\x-10:4mm)$) {};
+  }
+
+
+  %% TODO: Td
+
+
+  \foreach \x in {0, 180} {
+    \node[cross] at ($(D2d)+({\x+15}:4mm)$) {};
+    \node[round] at ($(D2d)+({\x-15}:4mm)$) {};
+
+    \node[round] at ($(D2d)+({\x+15+90}:4mm)$) {};
+    \node[cross] at ($(D2d)+({\x-15+90}:4mm)$) {};
+  }
+
+
+  \foreach \x in {0, 120, 240} {
+    \node[cross] at ($(D3h)+({\x+15}:4mm)$) {};
+    \node[cross] at ($(D3h)+({\x-15}:4mm)$) {};
+    \node[round] at ($(D3h)+({\x+15}:4mm)$) {};
+    \node[round] at ($(D3h)+({\x-15}:4mm)$) {};
+  }
+
+
+  %% TODO: O
+
+
+  \foreach \x in {0, 90, 180, 270} {
+    \node[cross] at ($(D4)+({\x+15}:4mm)$) {};
+    \node[round] at ($(D4)+({\x-15}:4mm)$) {};
+  }
+
+  \foreach \x in {0, 60, 120, 180, 240, 300} {
+    \node[cross] at ($(D6)+({\x+10}:4mm)$) {};
+    \node[round] at ($(D6)+({\x-10}:4mm)$) {};
+  }
+
+
+  % TODO Oh
+
+
+  \foreach \x in {0, 90, 180, 270} {
+    \node[cross] at ($(D4h)+(\x+15:4mm)$) {};
+    \node[cross] at ($(D4h)+(\x-15:4mm)$) {};
+    \node[round] at ($(D4h)+(\x+15:4mm)$) {};
+    \node[round] at ($(D4h)+(\x-15:4mm)$) {};
+  }
+
+
+  \foreach \x in {0, 60, 120, 180, 240, 300} {
+    \node[cross] at ($(D6h)+({\x+10}:4mm)$) {};
+    \node[cross] at ($(D6h)+({\x-10}:4mm)$) {};
+    \node[round] at ($(D6h)+({\x+10}:4mm)$) {};
+    \node[round] at ($(D6h)+({\x-10}:4mm)$) {};
+  }
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/symmetric-shapes.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/symmetric-shapes.tex
new file mode 100644
index 0000000..b2c051f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/symmetric-shapes.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{shapes.geometric}
+\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{math}
+\usetikzlibrary{positioning}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{shapes.misc}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\begin{document}
+	\begin{tikzpicture}[
+			node distance = 2cm,
+			shapetheme/.style = {
+				very thick, draw = black, fill = magenta!20!white,
+				minimum size = 2cm,
+			},
+			line/.style = {thick, draw = darkgray},
+			axis/.style = {line, dashed},
+			dot/.style = {
+				circle, draw = darkgray, fill = darkgray,
+				minimum size = 1mm, inner sep = 0, outer sep = 0,
+			},
+		]
+
+		\node[
+			shapetheme, rectangle
+		] (R) {};
+		\node[dot] at (R) {};
+		\draw[axis] (R) ++(-1.5, 0) to ++(3, 0) node[right] {\(\sigma\)};
+
+		\node[
+			shapetheme,
+			regular polygon,
+			regular polygon sides = 5,
+			right = of R,
+		] (Ps) {};
+		\node[dot] (P) at (Ps) {};
+		\draw[line, dotted] (P) to ++(18:1.5);
+		\draw[line, dotted] (P) to ++(90:1.5);
+		\draw[line, ->] (P) ++(18:1.2) 
+			arc (18:90:1.2) node[midway, above right] {\(r, 72^\circ\)};
+
+		\node[
+			shapetheme,
+			circle, right = of P
+		] (Cs) {};
+		\node[dot] (C) at (Cs) {};
+		\draw[line, dotted] (C) to ++(1.5,0);
+		\draw[line, dotted] (C) to ++(60:1.5);
+		\draw[line, ->] (C) ++(1.2,0)
+			arc (0:60:1.2) node[midway, above right] {\(r, \alpha\)};
+
+	\end{tikzpicture}
+\end{document}