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--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/3/maximalergrad.tex
@@ -0,0 +1,72 @@
+%
+% maximalergrad.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Jede Matrix hat eine Polynomrelation}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\vspace{-5pt}
+\begin{block}{Dimension des Matrizenrings}
+Der Ring $M_{n}(\Bbbk)$ ist ein $n^2$-dimensionaler Vektorraum mit
+Basis
+{\tiny
+\begin{align*}
+&\uncover<2->{\begin{pmatrix}
+1&0&\dots&0\\
+0&0&\dots&0\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+\end{pmatrix}}
+&
+&\uncover<3->{\begin{pmatrix}
+0&1&\dots&0\\
+0&0&\dots&0\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+\end{pmatrix}}
+&
+&\uncover<4->{\dots}
+&
+&\uncover<5->{\begin{pmatrix}
+0&0&\dots&1\\
+0&0&\dots&0\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+\end{pmatrix}}
+\\
+&\uncover<6->{\begin{pmatrix}
+0&0&\dots&0\\
+1&0&\dots&0\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+\end{pmatrix}}
+&
+&\uncover<7->{\begin{pmatrix}
+0&0&\dots&0\\
+0&1&\dots&0\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+\end{pmatrix}}
+&
+&\uncover<8->{\dots}
+&
+&\uncover<9->{\begin{pmatrix}
+0&0&\dots&0\\
+0&0&\dots&1\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+\end{pmatrix}}
+\end{align*}}
+\end{block}
+\vspace{-10pt}
+\uncover<10->{%
+\begin{block}{Potenzen von $A$}
+Die $n^2+1$ Matrizen $I,A,A^2,\dots,A^{n^2-1},A^{n^2}$ müssen linear abhängig
+sein:
+\[
+\uncover<11->{
+a_0I+a_1A+a_2A^2+\dots+a_{n^2-1}A^{n^2-1}+a_{n^2}A^{n^2} = 0
+}
+\]
+\uncover<12->{d.~h.~$p(X) = a_0+a_1X+a_2X^2+\dots +a_{n^2-1}X^{n^2-1}+a_{n^2}A^{n^2}\in\Bbbk[X]$ ist ein Polynom mit $p(A)=0$.}
+\end{block}}
+\uncover<13->{%
+$\Rightarrow$ $A$ über die Eigenschaften (Faktorisierung) von $p$ studieren
+}
+\end{frame}