phases, new slides

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diff --git a/vorlesungen/slides/3/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/3/Makefile.inc
index 3a55274..ca6da41 100644
--- a/vorlesungen/slides/3/Makefile.inc
+++ b/vorlesungen/slides/3/Makefile.inc
@@ -22,5 +22,6 @@ chapter3 =								\
 	../slides/3/drehfaktorisierung.tex				\
 	../slides/3/operatoren.tex					\
 	../slides/3/adjunktion.tex					\
+	../slides/3/adjalgebra.tex					\
 	../slides/3/chapter.tex
 
diff --git a/vorlesungen/slides/3/adjalgebra.tex b/vorlesungen/slides/3/adjalgebra.tex
new file mode 100644
index 0000000..e65b621
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/3/adjalgebra.tex
@@ -0,0 +1,43 @@
+%
+% adjalgebra.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Adjunktion einer Nullstelle, abstrakt}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+Sei $m(X)=m_0+m_1X+\dots + X^n\in \Bbbk[X]$ ein irreduzibles Polynom.
+
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Existenz}
+Es gibt ein ``Objekt'' $\alpha$ mit
+\(
+m(\alpha) = 0
+\)
+\end{block}}
+
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{Körpererweiterung}
+Der kleinste Körper, der $\Bbbk$ und $\alpha$ enthält ist
+\[
+\Bbbk(\alpha)
+=
+\left
+\{ p(\alpha)
+\;\left|\;
+\begin{minipage}{8cm}\raggedright
+$p\in\Bbbk[X]$ ein Polynom vom Grad
+$\deg p<\deg m$
+\end{minipage}
+\right.
+\right\}
+\]
+\uncover<4->{Das Polynom $m$ definiert, wie mit $\alpha$ gerechnet werden
+muss:
+\[
+\alpha^n = -m_0-m_1\alpha-m_2\alpha^2 - \dots - m_{n-1}\alpha^{n-1}
+\]}
+\end{block}}
+
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/adjunktion.tex b/vorlesungen/slides/3/adjunktion.tex
index 3b55ab0..a974a76 100644
--- a/vorlesungen/slides/3/adjunktion.tex
+++ b/vorlesungen/slides/3/adjunktion.tex
@@ -8,9 +8,12 @@
 \setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
 \setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
 Sei $m(X)=m_0+m_1X+\dots + X^n\in \Bbbk[X]$ ein irreduzibles Polynom.
+\uncover<2->{%
 \[
 X^n = -m_{n-1}X^{n-1} - \dots - m_1X - m_0
 \]
+}%
+\uncover<3->{%
 Nullstelle $W$ als Operator betrachten:
 \[
 W = \begin{pmatrix}
@@ -21,10 +24,12 @@ W = \begin{pmatrix}
 \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots& \vdots\\
      0&     0&     0&\dots &     1&-m_{n-1}
 \end{pmatrix}
-\]
+\]}
+\uncover<4->{%
 Man kann nachrechnen, dass immer $m(W)=0$.
+}
 \medskip
 
-$\Rightarrow \Bbbk(W) = \{p(W)\;|\;p\in\Bbbk[X], \deg p<\deg m\}$
-ist ein Körper, in dem $m(X)$ faktorisiert werden kann $m(X) = (X-W)q(X)$.
+\uncover<5->{$\Rightarrow \Bbbk(W) = \{p(W)\;|\;p\in\Bbbk[X], \deg p<\deg m\}$
+ist ein Körper, in dem $m(X)$ faktorisiert werden kann $m(X) = (X-W)q(X)$.}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/chapter.tex b/vorlesungen/slides/3/chapter.tex
index e63002c..2663bec 100644
--- a/vorlesungen/slides/3/chapter.tex
+++ b/vorlesungen/slides/3/chapter.tex
@@ -20,3 +20,4 @@
 \folie{3/drehfaktorisierung.tex}
 \folie{3/operatoren.tex}
 \folie{3/adjunktion.tex}
+\folie{3/adjalgebra.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/drehfaktorisierung.tex b/vorlesungen/slides/3/drehfaktorisierung.tex
index b44ca35..569f6e5 100644
--- a/vorlesungen/slides/3/drehfaktorisierung.tex
+++ b/vorlesungen/slides/3/drehfaktorisierung.tex
@@ -9,7 +9,8 @@
 \frametitle{Faktorisierung von $X^2+X+1$}
 \vspace{-3pt}
 $X^2+X+1$ kann faktorisiert werden, wenn man $i\sqrt{3}$
-hinzufügt
+hinzufügt:
+\uncover<2->{%
 \[
 \biggl(X+\frac12+\frac{i\sqrt{3}}2\biggr)
 \biggl(X+\frac12-\frac{i\sqrt{3}}2\biggr)
@@ -17,54 +18,58 @@ hinzufügt
 X^2+X+\frac14
 +
 \frac34
-=
-X^2+X+1
-\]
+\uncover<3->{=
+X^2+X+1}
+\]}
 \vspace{-10pt}
+\uncover<4->{%
 \begin{block}{Was ist $i\sqrt{3}$?}
 Matrix mit Minimalpolynom $X^2+3$:
 \[
 W=\begin{pmatrix}0&-3\\1&0\end{pmatrix}
+\uncover<5->{%
 \qquad\Rightarrow\qquad
-W^2=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix} = -3I
+W^2=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix} = -3I}
+\uncover<6->{%
 \qquad\Rightarrow\qquad
-W^2+3I=0
+W^2+3I=0}
 \]
-\end{block}
+\end{block}}
 \vspace{-10pt}
+\uncover<7->{%
 \begin{block}{Faktorisierung von $X^2+X+1$}
 \vspace{-10pt}
 \begin{align*}
-B_\pm
+\uncover<8->{B_\pm
 &=
--\frac12I\pm\frac12W
+-\frac12I\pm\frac12W}
 &
-&\Rightarrow
+&\uncover<10->{\Rightarrow
 &
-(X+B_+)(X+B-)
-&=
+(X+B_+)(X+B-)}
+&\uncover<11->{=
 (X+\frac12I+\frac12W)
-(X+\frac12I-\frac12W)
+(X+\frac12I-\frac12W)}
 \\
-&=
+&\uncover<9->{=
 \smash{
 {\textstyle\begin{pmatrix}-\frac12&-\frac32\\\frac12&-\frac12\end{pmatrix}}
-}
+}}
 &
 &
 &
-&=
-X^2+X + \frac14I - \frac14W^2
+&\uncover<12->{=
+X^2+X + \frac14I - \frac14W^2}
 \\
 &
 &
 &%\Rightarrow
 &
-&=
-X^2+X + \frac14I + \frac34I
-=
-X^2+X+I
+&\uncover<13->{=
+X^2+X + \frac14I + \frac34I}
+\uncover<14->{=
+X^2+X+I}
 \end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
 
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/drehmatrix.tex b/vorlesungen/slides/3/drehmatrix.tex
index bed0628..9e5eb65 100644
--- a/vorlesungen/slides/3/drehmatrix.tex
+++ b/vorlesungen/slides/3/drehmatrix.tex
@@ -5,19 +5,23 @@
 %
 \begin{frame}[t]
 \frametitle{Analyse einer Drehung um $120^\circ$}
-$D$ eine Drehung um $120^\circ$
+$D$ eine Drehung des $\mathbb{R}^3$ um $120^\circ$
 \begin{enumerate}
-\item
+\item<2->
 Drehwinkel = $120^\circ\quad\Rightarrow\quad D^3 = I$
-\item
+\uncover<3->{
+$\quad\Rightarrow\quad \chi_D(X)=X^3-1$
+}
+\item<4->
 $m_D(X)=X^3-1$
-\item 
+\item<5->
 $m_D$ ist nicht irreduzibel, weil $m_D(1)=0$:
 $
 m_D(X) = (X-1)(X^2+X+1)
 $
-\item
-Welche Matrix hat $X^2+X+1$ als Minimalpolynom
+\item<6->
+Welche Matrix hat $X^2+X+1$ als Minimalpolynom?
+\uncover<7->{%
 \[
 \arraycolsep=1.4pt
 W
@@ -43,20 +47,20 @@ W^2+W+I
 1&0\\0&1
 \end{array}\biggr)
 =0
-\]
-\item In einer geeigneten Basis hat $D$ die Form
+\]}
+\item<8-> In einer geeigneten Basis hat $D$ die Form
 \[
 D=\begin{pmatrix}
 1&0&0\\
 0&-\frac12 & -\frac{\sqrt{3}}2 \\
 0&\frac{\sqrt{3}}2 & -\frac12
 \end{pmatrix}
-=
+\uncover<9->{=
 \begin{pmatrix}
 1&0&0\\
 0&\cos 120^\circ & -\sin 120^\circ\\
 0&\sin 120^\circ & \cos 120^\circ
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}}
 \]
 \end{enumerate}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/einsetzen.tex b/vorlesungen/slides/3/einsetzen.tex
index 936100d..7f54abb 100644
--- a/vorlesungen/slides/3/einsetzen.tex
+++ b/vorlesungen/slides/3/einsetzen.tex
@@ -9,41 +9,45 @@
 \[
 \begin{array}{rcrcrcrcrcrcr}
 p(X)&=&a_nX^n&+&a_{n-1}X^{n-1}&+&\dots&+&a_2X^2&+&a_1X&+&a_0\phantom{I}\\
-\bigg\downarrow\hspace*{4pt}      & &
-\bigg\downarrow\hspace*{4pt}      & &
-\bigg\downarrow\hspace*{10pt}                   & &     & &
-\bigg\downarrow\hspace*{4pt}           & &
-\bigg\downarrow\hspace*{2pt}         & &
-\bigg\downarrow\hspace*{0pt}                   \\
-p(A)&=&a_nA^n&+&a_{n-1}A^{n-1}&+&\dots&+&a_2A^2&+&a_1A&+&a_0         I
+\uncover<2->{\bigg\downarrow\hspace*{4pt}}  & &
+\uncover<3->{\bigg\downarrow\hspace*{4pt}}  & &
+\uncover<4->{\bigg\downarrow\hspace*{10pt}} & &     & &
+\uncover<5->{\bigg\downarrow\hspace*{4pt}}  & &
+\uncover<6->{\bigg\downarrow\hspace*{2pt}}  & &
+\uncover<7->{\bigg\downarrow\hspace*{0pt}}  \\
+\uncover<2->{p(A)}&\uncover<3->{=&a_nA^n}&\uncover<4->{+&a_{n-1}A^{n-1}}&\uncover<5->{+&\dots&+&a_2A^2}&\uncover<6->{+&a_1A}&\uncover<7->{+&a_0         I}
 \end{array}
 \]
 \vspace{-10pt}
 \begin{columns}[t,onlytextwidth]
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<8->{%
 \begin{block}{Nilpotente Matrizen}
 $p(X) = (X-a)^n$
 \[
-p(A) = 0
+\uncover<9->{p(A) = 0}
+\uncover<10->{
 \quad\Rightarrow\quad
-\text{$A$ ist nilpotent}
+\text{$A-aI$ ist nilpotent}}
 \]
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<11->{%
 \begin{block}{Eigenwerte}
 $p(X) = (X-\lambda_1)(X-\lambda_2)$,\\
 $A$ eine $2\times 2$-Matrix
 \[
-p(A)=0\quad\Rightarrow\quad
+\uncover<12->{p(A)=0}
+\uncover<13->{\quad\Rightarrow\quad
 \left\{
 \begin{aligned}
 &\text{$A-\lambda_1I$ ist singulär}\\
 &\text{$A-\lambda_2I$ ist singulär}
 \end{aligned}
-\right.
+\right.}
 \]
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 
diff --git a/vorlesungen/slides/3/faktorisierung.tex b/vorlesungen/slides/3/faktorisierung.tex
index cbf7004..b4ea1d5 100644
--- a/vorlesungen/slides/3/faktorisierung.tex
+++ b/vorlesungen/slides/3/faktorisierung.tex
@@ -11,32 +11,37 @@
 Eine Zahl $p\in\mathbb{Z}$, $p>1$ heisst Primzahl, wenn sie nicht als Produkt
 $p=ab$ mit $a,b\in\mathbb{Z},a>1, b>1$ geschrieben werden kann.
 \begin{align*}
-p&=7
+\uncover<2->{p&=7}
 \\
-2021 &= 43 \cdot 47
+\uncover<3->{2021 &= 43 \cdot 47}
 \\
-4095667&=2021\cdot 2027
+\uncover<4->{2048 &= 2^{11}}
 \\
-p&=43, 47, 1291, 2017, 2027
+\uncover<5->{4095667&=2021\cdot 2027}
+\\
+\uncover<6->{p&=43, 47, 1291, 2017, 2027}
 \end{align*}
 \end{block}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<7->{%
 \begin{block}{Irreduzible Polynome in $\mathbb{Q}[X]$}
 Ein Polynome $p\in\mathbb{Q}[X]$, $\deg p>0$ wenn es nicht als Produkt
 $p=ab$ mit $a,b\in\mathbb{Q}[X]$, $\deg a>0$, $\deg b>0$ geschrieben
 werden kann.
 \begin{align*}
-p&=X-9
+\uncover<8->{p&=X-9}
 \\
-X^2-1&= (X+1)(X-1)
+\uncover<9->{X^2-1&= (X+1)(X-1)}
 \\
-X^2-2&\text{\; irreduzibel}
+\uncover<10->{X^2-2&\text{\; irreduzibel}}
 \\
-X^2-2&=(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})
+\uncover<11->{X^2-2&=(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})}
 \end{align*}
+\uncover<12->{%
 aber: $X\pm\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}[X]$
-\end{block}
+}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/faktorzerlegung.tex b/vorlesungen/slides/3/faktorzerlegung.tex
index 0e5a95b..eb44cf3 100644
--- a/vorlesungen/slides/3/faktorzerlegung.tex
+++ b/vorlesungen/slides/3/faktorzerlegung.tex
@@ -17,6 +17,7 @@ z = p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2} \cdot\dots\cdot p_k^{n_k}
 \end{block}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{in $\mathbb{Q}[X]$}
 Jedes Polynom $p\in\mathbb{Q}[X]$
 kann eindeutig faktorisiert werden in irreduzible, normierte Polynome
@@ -32,27 +33,30 @@ p_2^{n_2}
 \cdot
 p_k^{n_k}
 \]
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
-\begin{block}{Polynomfaktorisierung hängt von den Koeffizienten ab}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{Polynomfaktorisierung hängt vom Koeffizientenring ab}
 Ist $X^2-2$ irreduzibel?
 \vspace{-5pt}
 \begin{columns}[t,onlytextwidth]
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<4->{%
 \begin{block}{in $\mathbb{Q}[X]$}
 \[
 X^2-2\quad\text{ist irreduzibel}
 \]
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<5->{%
 \begin{block}{in $\mathbb{R}[X]$}
 \[
 X^2-2 = (X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})
 \]
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/maximalergrad.tex b/vorlesungen/slides/3/maximalergrad.tex
index 3d7e1a4..d33ddc0 100644
--- a/vorlesungen/slides/3/maximalergrad.tex
+++ b/vorlesungen/slides/3/maximalergrad.tex
@@ -13,55 +13,60 @@ Der Ring $M_{n}(\Bbbk)$ ist ein $n^2$-dimensionaler Vektorraum mit
 Basis
 {\tiny
 \begin{align*}
-&\begin{pmatrix}
+&\uncover<2->{\begin{pmatrix}
 1&0&\dots&0\\
 0&0&\dots&0\\
 \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}}
 &
-&\begin{pmatrix}
+&\uncover<3->{\begin{pmatrix}
 0&1&\dots&0\\
 0&0&\dots&0\\
 \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}}
 &
-&\dots
+&\uncover<4->{\dots}
 &
-&\begin{pmatrix}
+&\uncover<5->{\begin{pmatrix}
 0&0&\dots&1\\
 0&0&\dots&0\\
 \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}}
 \\
-&\begin{pmatrix}
+&\uncover<6->{\begin{pmatrix}
 0&0&\dots&0\\
 1&0&\dots&0\\
 \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}}
 &
-&\begin{pmatrix}
+&\uncover<7->{\begin{pmatrix}
 0&0&\dots&0\\
 0&1&\dots&0\\
 \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}}
 &
-&\dots
+&\uncover<8->{\dots}
 &
-&\begin{pmatrix}
+&\uncover<9->{\begin{pmatrix}
 0&0&\dots&0\\
 0&0&\dots&1\\
 \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}}
 \end{align*}}
 \end{block}
 \vspace{-10pt}
+\uncover<10->{%
 \begin{block}{Potenzen von $A$}
 Die $n^2+1$ Matrizen $I,A,A^2,\dots,A^{n^2-1},A^{n^2}$ müssen linear abhängig
 sein:
 \[
+\uncover<11->{
 a_0I+a_1A+a_2A^2+\dots+a_{n^2-1}A^{n^2-1}+a_{n^2}A^{n^2} = 0
+}
 \]
-d.~h.~$p(X) = a_0+a_1X+a_2X^2+\dots +a_{n^2-1}X^{n^2-1}+a_{n^2}A^{n^2}\in\Bbbk[X]$ ist ein Polynom mit $p(A)=0$.
-\end{block}
+\uncover<12->{d.~h.~$p(X) = a_0+a_1X+a_2X^2+\dots +a_{n^2-1}X^{n^2-1}+a_{n^2}A^{n^2}\in\Bbbk[X]$ ist ein Polynom mit $p(A)=0$.}
+\end{block}}
+\uncover<13->{%
 $\Rightarrow$ $A$ über die Eigenschaften (Faktorisierung) von $p$ studieren
+}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/minimalbeispiel.tex b/vorlesungen/slides/3/minimalbeispiel.tex
index 03909de..f94cf8d 100644
--- a/vorlesungen/slides/3/minimalbeispiel.tex
+++ b/vorlesungen/slides/3/minimalbeispiel.tex
@@ -12,12 +12,13 @@
 \[
 I  ={\tiny\begin{pmatrix}  1 &  0 \\  0 &  1 \end{pmatrix}},\quad
 A  ={\tiny\begin{pmatrix}  3 &  2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}},\quad
-A^2={\tiny\begin{pmatrix}  7 &  2 \\ -1 &  2 \end{pmatrix}},\quad
-A^3={\tiny\begin{pmatrix} 19 & 10 \\ -5 & -6 \end{pmatrix}},\quad
-A^4={\tiny\begin{pmatrix} 47 & 18 \\ -9 &  2 \end{pmatrix}}
+\uncover<2->{A^2={\tiny\begin{pmatrix}  7 &  2 \\ -1 &  2 \end{pmatrix}}}
+\uncover<3->{,\quad A^3={\tiny\begin{pmatrix} 19 & 10 \\ -5 & -6 \end{pmatrix}}}
+\uncover<4->{,\quad A^4={\tiny\begin{pmatrix} 47 & 18 \\ -9 &  2 \end{pmatrix}}}
 \]
 \end{block}
 \vspace{-5pt}
+\uncover<5->{%
 \begin{block}{linear abhängig}
 Bereits die ersten $3$ sind linear abhängig:
 \[
@@ -29,6 +30,7 @@ Bereits die ersten $3$ sind linear abhängig:
 = 
 \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
 \]
-$p(X) = X^2 - X - 4 \in \mathbb{Q}[X]$ hat die Eigenschaft $p(A)=0$
-\end{block}
+\uncover<6->{$p(X) = X^2 - X - 4 \in \mathbb{Q}[X]$ hat die Eigenschaft
+$p(A)=0$}
+\end{block}}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/minimalpolynom.tex b/vorlesungen/slides/3/minimalpolynom.tex
index 60d15f0..2b36a65 100644
--- a/vorlesungen/slides/3/minimalpolynom.tex
+++ b/vorlesungen/slides/3/minimalpolynom.tex
@@ -10,18 +10,21 @@ Zu jeder $n\times n$-Matrix $A$
 gibt es ein Polynom $m_A(X)\in\Bbbk[X]$ minimalen Grades $\deg m_A\le n^2$
 derart, dass $m_A(A)=0$.
 \end{block}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{Strategie}
 Das Minimalpolynom ist eine ``Invariante'' der Matrix $A$
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<3->{%
 \begin{block}{Satz von Cayley-Hamilton}
 Für jede $n\times n$-Matrix $A\in M_n(\Bbbk)$ gilt $\chi_A(A)=0$
+\uncover<4->{%
 \[
 \Downarrow
 \]
 Das Minimalpolynom $m_A\in \Bbbk[X]$ ist ein Teiler
-des charakteristischen Polynoms $\chi_A\in \Bbbk[X]$
+des charakteristischen Polynoms $\chi_A\in \Bbbk[X]$}
 \\
-$\Rightarrow $
-Faktorzerlegung on $\chi_A(X)$ ermitteln!
-\end{block}
+\uncover<5->{$\Rightarrow $
+Faktorzerlegung on $\chi_A(X)$ ermitteln!}
+\end{block}}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/operatoren.tex b/vorlesungen/slides/3/operatoren.tex
index 161c330..d646353 100644
--- a/vorlesungen/slides/3/operatoren.tex
+++ b/vorlesungen/slides/3/operatoren.tex
@@ -9,40 +9,43 @@
 \begin{column}{0.38\textwidth}
 \begin{block}{Polynome}
 $a(X)=a_0+a_1X+\dots+a_nX^n$
+\uncover<2->{%
 \[
 a(X)
 =
 \begin{pmatrix}
 a_0\\a_1\\a_2\\a_3\\\vdots\\a_n
 \end{pmatrix}
-\]
+\]}
 \end{block}
 \end{column}
 \begin{column}{0.58\textwidth}
+\uncover<3->{%
 \begin{block}{Multiplikation mit $X$}
 \strut
 \[
 \begin{pmatrix}
 1\\0\\0\\0\\\vdots\\0
 \end{pmatrix}
-\mapsto
+\uncover<4->{\overset{\cdot X}{\mapsto}
 \begin{pmatrix}
 0\\1\\0\\0\\\vdots\\0
-\end{pmatrix}
-\mapsto
+\end{pmatrix}}
+\uncover<5->{\overset{\cdot X}{\mapsto}
 \begin{pmatrix}
 0\\0\\1\\0\\\vdots\\0
-\end{pmatrix}
-\mapsto
+\end{pmatrix}}
+\uncover<6->{\overset{\cdot X}{\mapsto}
 \begin{pmatrix}
 0\\0\\0\\1\\\vdots\\0
-\end{pmatrix}
-\mapsto\dots\mapsto
+\end{pmatrix}}
+\uncover<7->{\overset{\cdot X}{\mapsto}\dots}
+\uncover<8->{\overset{\cdot X}{\mapsto}
 \begin{pmatrix}
 0\\0\\0\\0\\\vdots\\1
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}}
 \]
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/teilbarkeit.tex b/vorlesungen/slides/3/teilbarkeit.tex
index 25e4fa6..a5ea9b9 100644
--- a/vorlesungen/slides/3/teilbarkeit.tex
+++ b/vorlesungen/slides/3/teilbarkeit.tex
@@ -9,29 +9,32 @@
 \begin{columns}[t,onlytextwidth]
 \begin{column}{0.48\textwidth}
 \begin{block}{Teilen in $\mathbb{Z}$}
-Zu zwei Zahlen $a,b\in \mathbb{Z}$, $a>b$ gibt es
-immer genau ein Paar $q,r\in\mathbb{Z}$ derart, dass
+Zu zwei Zahlen $a,b\in \mathbb{Z}$, \only<3->{{\color<3-4>{red}$a>b$}, }gibt es
+immer \only<3->{{\color<3-4>{red}genau}} ein Paar $q,r\in\mathbb{Z}$ derart, dass
 \begin{align*}
 a&=bq+r
 \\
-r&< b
+\uncover<3->{{\color<3-4>{red}r}&{\color<3-4>{red}< b}}
 \end{align*}
 \end{block}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{Teilen in $\mathbb{Q}[X]$}
-Zu zwei Polynomen $a,b\in\mathbb{Q}[X]$, $\deg a > \deg b$
+Zu zwei Polynomen $a,b\in\mathbb{Q}[X]$, \only<4->{{\color<4>{red}$\deg a > \deg b$},}
 gibt es 
-immer genau ein Paar $q,r\in\mathbb{Q}[X]$ derart, dass
+immer \only<4->{{\color<4>{red}bis auf eine Einheit genau }}%
+ein Paar $q,r\in\mathbb{Q}[X]$ derart, dass
 \begin{align*}
 a&=bq+r
 \\
-\deg r&< \deg b
+\uncover<4->{{\color<4>{red}\deg r}&{\color<4>{red}< \deg b}}
 \end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
-\begin{block}{Allgmein: euklidischer Ring}
+\uncover<5->{%
+\begin{block}{Allgemein: euklidischer Ring}
 Nullteilerfreier Ring $R$ mit einer Funktion
 $d\colon R\setminus{0}\to\mathbb{N}$ mit
 \begin{itemize}
@@ -40,5 +43,5 @@ $d\colon R\setminus{0}\to\mathbb{N}$ mit
 $x=qy +r$ mit $d(y)>d(r)$
 \end{itemize}
 Euklidische Ringe haben ähnliche Eigenschaften wie Polynomringe
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{frame}