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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-04-22 13:33:34 +0200 |
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committer | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-04-22 13:33:34 +0200 |
commit | 78fa573298102c41674453affbbf97f71f5de358 (patch) | |
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-rw-r--r-- | vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex | 76 |
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diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex new file mode 100644 index 0000000..b8636be --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex @@ -0,0 +1,76 @@ +% +% semidirekt.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Semidirektes Produkt} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Gegeben $H$ eine Gruppe, eine abelsche Gruppe $A$, +$\vartheta\colon H\to\operatorname{Aut}(A)$. +\[ +G += +G\ltimes A += +\{(h,a) \;|\; h\in H,a\in A\} +\] +heisst {\em semidirektes Produkt}. +\begin{itemize} +\item +Neutrales Element: $(e,0)$ +\item +Gruppenoperation +\[ +(h_1,a_1)\cdot(h_2,a_2) += +(h_1h_2, a_1 + \vartheta(h_1)a_2) +\] +\item +Inverse: +$(h,a)^{-1} += +(h^{-1},-\vartheta(h)^{-1}a) +$ +Kontrolle: +\begin{align*} +&\phantom{\mathstrut=\mathstrut} +(h,a)\cdot (h^{-1},-\vartheta(h)^{-1}a) +\\ +&=(hh^{-1},a-\vartheta(h)\vartheta(h)^{-1}a) +=(e,0) +\end{align*} +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Drehungen und Spiegelungen von $\mathbb{R}^2$} +Spiegelung: $C_2$ +Drehungen der: $\operatorname{SO}(2)$ +Drehungen und Spiegelungen: +$C_2\ltimes \operatorname{SO}(2)=O(2)$ +\end{block} +\begin{block}{Drehungen und Translationen} +Drehungen: $H=\operatorname{SO}(2)$ +\\ +Translationen: $A=\mathbb{R}^2$ +\\ +Bewegungen der Ebene: $\operatorname{SO}(2)\ltimes \mathbb{R}^2$ +\end{block} +\begin{block}{Dopplereffekt und Laufzeit} +Dopplereffekt: $\mathbb{R}^+$ (Skalierung) +\\ +Laufzeit: $\mathbb{R}$ (Verschiebung) +\\ +Skalierung und Verschiebung: $\mathbb{R}^+\ltimes \mathbb{R}$ +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup |