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index da2ef2b..0000000
--- a/vorlesungen/slides/8/markov/pf.tex
+++ /dev/null
@@ -1,53 +0,0 @@
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-% pf.tex
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\begin{frame}[t]
-\frametitle{Perron-Frobenius-Theorie}
-\vspace{-20pt}
-\begin{columns}[t,onlytextwidth]
-\begin{column}{0.48\textwidth}
-\begin{block}{Positive Matrizen und Vektoren}
-$P\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ 
-\begin{itemize}
-\item<2->
-$P$ heisst positiv, $P>0$, wenn $p_{ij}>0\;\forall i,j$
-\item<3->
-$P\ge 0$, wenn $p_{ij}\ge 0\;\forall i,j$
-\end{itemize}
-\end{block}
-\uncover<4->{%
-\begin{block}{Beispiele}
-\begin{itemize}
-\item<5->
-Adjazenzmatrix $A(G)$
-\item<6->
-Gradmatrix $D(G)$
-\item<7->
-Wahrscheinlichkeitsmatrizen
-\end{itemize}
-\end{block}}
-\end{column}
-\begin{column}{0.48\textwidth}
-\uncover<8->{%
-\begin{block}{Satz}
-Es gibt einen positiven Eigenvektor $p$ von $P$ zum Eigenwert $1$
-\end{block}}
-\uncover<9->{%
-\begin{block}{Satz}
-$P$ irreduzible Matrix, $P\ge 0$, hat einen Eigenvektor $p$, $p\ge 0$,
-zum Eigenwert $1$
-\end{block}}
-\uncover<10->{%
-\begin{block}{Potenzmethode}
-Falls $P\ge 0$ einen eindeutigen Eigenvektor $p$ hat\uncover<11->{,
-dann konveriert die rekursiv definierte Folge
-\[
-p_{n+1}=\frac{Pp_n}{\|Pp_n\|}, p_0 \ge 0, p_0\ne 0
-\]}%
-\uncover<12->{$\displaystyle\lim_{n\to\infty} p_n = p$}
-\end{block}}
-\end{column}
-\end{columns}
-\end{frame}