algebranormen

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diff --git a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc
index 774a440..34dadf6 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc
+++ b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc
@@ -9,7 +9,10 @@ chapter2 =								\
 	../slides/2/skalarprodukt.tex					\
 	../slides/2/cauchyschwarz.tex					\
 	../slides/2/polarformel.tex					\
+	../slides/2/funktionenraum.tex					\
 	../slides/2/operatornorm.tex					\
+	../slides/2/linearformnormen.tex				\
+	../slides/2/funktionenalgebra.tex				\
 	../slides/2/frobeniusnorm.tex					\
 	../slides/2/frobeniusanwendung.tex				\
 	../slides/2/chapter.tex
diff --git a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex
index 78b9519..38eb21f 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex
@@ -7,6 +7,9 @@
 \folie{2/skalarprodukt.tex}
 \folie{2/cauchyschwarz.tex}
 \folie{2/polarformel.tex}
+\folie{2/funktionenraum.tex}
 \folie{2/operatornorm.tex}
+\folie{2/linearformnormen.tex}
+\folie{2/funktionenalgebra.tex}
 \folie{2/frobeniusnorm.tex}
 \folie{2/frobeniusanwendung.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/funktionenalgebra.tex b/vorlesungen/slides/2/funktionenalgebra.tex
new file mode 100644
index 0000000..e3339c3
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/funktionenalgebra.tex
@@ -0,0 +1,88 @@
+%
+% funktionenalgebra.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Funktionenalgebra}
+\vspace{-17pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Algebra $C([0,1])$}
+Funktionenraum
+\[
+C([0,1])
+=
+\{f\colon[0,1]\to\mathbb{C}\;|\;\text{$f$ stetig}\}
+\]
+mit Supremum-Norm\uncover<2->{ und punktweisem Produkt
+\[
+(f\cdot g)(x)
+=
+f(x)\cdot g(x)
+\]}
+\end{block}
+\vspace{-8pt}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{Algebranorm}
+\vspace{-12pt}
+\begin{align*}
+\|f\cdot g\|_\infty
+&=
+\sup_{x\in[0,1]} f(x)g(x)
+\\
+\uncover<4->{
+&\le
+\sup_{x\in[0,1]}f(x)
+\sup_{y\in[0,1]}g(y)
+}
+\\
+\uncover<5->{
+&=
+\|f\|_\infty \cdot \|g\|_\infty
+}
+\end{align*}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<6->{%
+\begin{block}{Faltungs-Algebra $L^2([0,1])$}
+Funktionenraum
+\[
+L^2=\{f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{C}\;|\;\text{$f$ $1$-periodisch}\}
+\]
+mit $L^2$-Skalarprodukt\uncover<7->{ und Faltungsprodukt
+\[
+f*g(x)
+=
+\int_0^1
+\underbrace{f(x-t)}_{(=\gamma_x\check{f})(t)} g(t)\,dx
+\]}
+\end{block}}
+\vspace{-21pt}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Norm}
+\vspace{-12pt}
+\begin{align*}
+\|f*g\|_2^2
+&\uncover<9->{=\int_0^1 |
+\langle \gamma_x\check{f},g\rangle
+|^2\,dx}
+\\
+\uncover<10->{
+&\le
+\int_0^1
+\|\gamma_t\check{f}\|_2^2
+\|g\|_2^2
+\,dx}
+\\
+\uncover<11->{
+&=\|f\|_2^2\cdot \|g\|_2^2
+}
+\end{align*}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/funktionenraum.tex b/vorlesungen/slides/2/funktionenraum.tex
new file mode 100644
index 0000000..f7733cc
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/funktionenraum.tex
@@ -0,0 +1,70 @@
+%
+% funktionenraum.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Funktionenraum}
+\vspace{-15pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Supremum-Norm}
+Vektorraum
+\[
+C([a,b])
+=
+\{f\colon[a,b]\to\mathbb{R}\;|\; \text{$f$ stetig}\}
+\]
+\only<2->{wird Banachraum }%
+mit der Norm
+\(\displaystyle
+\|f\|
+=
+\|f\|_{\infty}
+=
+\sup_{x\in[a,b]} |f(x)|
+\)
+\end{block}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{$L^1$-Norm}
+Vektorraum
+\[
+L^1([a,b])
+=
+\{f\colon[a,b]\;|\;\text{$f$ integrierbar}\}
+\]
+\only<4->{wird Banachraum }%
+mit der Norm
+\[
+\|f\|_1
+=
+\int_a^b |f(x)|\,dx
+\]
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<5->{%
+\begin{block}{$L^2$-Norm}
+Vektorraum
+\[
+L^2([a,b])
+=
+\{f\colon[a,b]\to\mathbb{R}\;|\; \|f\|_2^2<\infty\}
+\]
+mit Skalarprodukt
+\begin{align*}
+\langle f,g\rangle
+&=
+\int_a^b \overline{f}(x)g(x)\,dx
+\\
+\|f\|_2^2
+&=
+\int_a^b |f(x)|^2\,dx
+\end{align*}
+\uncover<6->{ist ein Banachraum}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/linearformnormen.tex b/vorlesungen/slides/2/linearformnormen.tex
new file mode 100644
index 0000000..8993f66
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/linearformnormen.tex
@@ -0,0 +1,76 @@
+%
+% linearformnormen.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Linearformen}
+\vspace{-15pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Linearformen $\varphi\colon L^1\to\mathbb{R}$}
+Beispiel: $g\in C([a,b])$
+\[
+\varphi(f)
+=
+\int_a^b g(x)f(x)\,dx
+\]
+\uncover<2->{%
+erfüllt
+\begin{align*}
+|\varphi(f)|
+&=
+\biggl|\int_a^b g(x)f(x)\,dx\biggr|
+\\
+\uncover<3->{
+&\le \|g\|_\infty\cdot \|f\|_1
+}
+\end{align*}}
+\uncover<4->{%
+und hat daher die Operatornorm
+\[
+\|\varphi\|_{C([a,b])^*}
+=
+\|g\|_\infty
+\]}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Linearformen $\varphi\colon L^2\to\mathbb{R}$}
+\uncover<5->{%
+Darstellungssatz von Riesz: $\exists g\in L^2$
+\[
+\varphi(f) = \langle g,f\rangle
+\]}
+\uncover<6->{%
+erfüllt Cauchy-Schwarz}
+\begin{align*}
+\uncover<7->{
+|\varphi(f)|
+&=
+|\langle g,f\rangle|}
+\\
+\uncover<8->{
+&\le
+\|g\|_2 \cdot \|f\|_2
+}
+\end{align*}
+\uncover<9->{%
+und hat daher die Operatornorm
+\[
+\|\varphi\|_{L^2([a,b])^*}
+= \|g\|_2
+\]}
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+
+\vspace{8pt}
+{\usebeamercolor[fg]{title}
+\uncover<10->{%
+$\Rightarrow$
+Operatornorm hängt von den Vektorraumnormen ab}
+}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc
index 617e09f..1b13fb0 100644
--- a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc
+++ b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc
@@ -21,5 +21,7 @@ chapter5 =								\
 	../slides/5/jordan.tex						\
 	../slides/5/reellenormalform.tex				\
 	../slides/5/cayleyhamilton.tex					\
+									\
+	../slides/5/stoneweierstrass.tex				\
 	../slides/5/chapter.tex
 
diff --git a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex
index 1ce9d26..1ee570c 100644
--- a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex
+++ b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex
@@ -3,19 +3,21 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswi
 %
-folie{5/motivation.tex}
-folie{5/charpoly.tex}
-folie{5/kernbild.tex}
-folie{5/ketten.tex}
-folie{5/dimension.tex}
-folie{5/folgerungen.tex}
-folie{5/injektiv.tex}
-folie{5/nilpotent.tex}
-folie{5/eigenraeume.tex}
-folie{5/zerlegung.tex}
-folie{5/normalnilp.tex}
-folie{5/bloecke.tex}
-folie{5/jordanblock.tex}
-folie{5/jordan.tex}
-folie{5/reellenormalform.tex}
-folie{5/cayleyhamilton.tex}
+\folie{5/motivation.tex}
+\folie{5/charpoly.tex}
+\folie{5/kernbild.tex}
+\folie{5/ketten.tex}
+\folie{5/dimension.tex}
+\folie{5/folgerungen.tex}
+\folie{5/injektiv.tex}
+\folie{5/nilpotent.tex}
+\folie{5/eigenraeume.tex}
+\folie{5/zerlegung.tex}
+\folie{5/normalnilp.tex}
+\folie{5/bloecke.tex}
+\folie{5/jordanblock.tex}
+\folie{5/jordan.tex}
+\folie{5/reellenormalform.tex}
+\folie{5/cayleyhamilton.tex}
+
+\folie{5/stoneweierstrass.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/5/stoneweierstrass.tex b/vorlesungen/slides/5/stoneweierstrass.tex
new file mode 100644
index 0000000..3f9cab5
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/5/stoneweierstrass.tex
@@ -0,0 +1,11 @@
+%
+% stoneweierstrass.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Stone-Weierstrass}
+
+TODO XXX
+
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex
index a556570..fb0333e 100644
--- a/vorlesungen/slides/test.tex
+++ b/vorlesungen/slides/test.tex
@@ -82,13 +82,16 @@
 %\folie{2/skalarprodukt.tex}
 % XXX Cauchy-Schwarz-Ungleichung
 %\folie{2/cauchyschwarz.tex}
+\folie{2/funktionenraum.tex}
 % XXX Polarformel
 %\folie{2/polarformel.tex}
 % XXX Normen, die sich aus der Vektornorm ableiten lassen
 %\folie{2/operatornorm.tex}
+\folie{2/funktionenalgebra.tex}
+\folie{2/linearformnormen.tex}
 % XXX Frobenius-Norm 
-\folie{2/frobeniusnorm.tex}
-\folie{2/frobeniusanwendung.tex}
+%\folie{2/frobeniusnorm.tex}
+%\folie{2/frobeniusanwendung.tex}
 
 \section{Approximation mit Polynomen}
 % XXX Stone-Weierstrass