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diff --git a/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex b/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex
index 78f9cfb..e27c42e 100644
--- a/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex
+++ b/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex
@@ -22,22 +22,24 @@
 
 \section{Riesz-Darstellungssatz}
 % XXX Was sagt der Satz
-% XXX \folie{2/hilbertraum/riesz.tex}
-% XXX Warum ist das ein Problem für unendlichdimensionale Vektorräume
-% XXX \folie{2/hilbertraum/rieszproblem.tex}
+\folie{2/hilbertraum/riesz.tex}
+\folie{2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex}
 % XXX Beweisidee
 % XXX \folie{2/hilbertraum/rieszbeweis.tex}
 
 \section{$A^*$}
-% XXX Definition als Awnendung des Satzes von Riesz
-% XXX \folie{2/hilbertraum/adjungiert.tex}
+% XXX Definition als Anwendung des Satzes von Riesz
+\folie{2/hilbertraum/adjungiert.tex}
 % XXX Spektraltheorie
-% XXX \folie{2/hilbertraum/spektraltheorie.tex}
+\folie{2/hilbertraum/spektral.tex}
 
 \section{PDE und Hilbertraum}
 % XXX Der Operator D^2 + p(x) auf [0,1]
-% XXX \folie{2/hilbertraum/sturm.tex}
+\folie{2/hilbertraum/sturm.tex}
 % XXX Laplace-Operator und L^2
-% XXX \folie{2/hilbertraum/laplace.tex}
+\folie{2/hilbertraum/laplace.tex}
+\folie{2/hilbertraum/qm.tex}
+\folie{2/hilbertraum/energie.tex}
+\folie{2/hilbertraum/sobolev.tex}
 
 
diff --git a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc
index b2af216..cbd4dfe 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc
+++ b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc
@@ -22,5 +22,14 @@ chapter2 =								\
 	../slides/2/hilbertraum/basis.tex				\
 	../slides/2/hilbertraum/plancherel.tex				\
 	../slides/2/hilbertraum/l2.tex					\
+	../slides/2/hilbertraum/riesz.tex				\
+	../slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex			\
+	../slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex				\
+	../slides/2/hilbertraum/spektral.tex				\
+	../slides/2/hilbertraum/sturm.tex				\
+	../slides/2/hilbertraum/laplace.tex				\
+	../slides/2/hilbertraum/qm.tex					\
+	../slides/2/hilbertraum/energie.tex				\
+	../slides/2/hilbertraum/sobolev.tex				\
 	../slides/2/chapter.tex
 
diff --git a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex
index 2fe48c1..d3714c3 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex
@@ -20,3 +20,12 @@
 \folie{2/hilbertraum/basis.tex}
 \folie{2/hilbertraum/plancherel.tex}
 \folie{2/hilbertraum/l2.tex}
+\folie{2/hilbertraum/riesz.tex}
+\folie{2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex}
+\folie{2/hilbertraum/adjungiert.tex}
+\folie{2/hilbertraum/spektral.tex}
+\folie{2/hilbertraum/sturm.tex}
+\folie{2/hilbertraum/laplace.tex}
+\folie{2/hilbertraum/qm.tex}
+\folie{2/hilbertraum/energie.tex}
+\folie{2/hilbertraum/sobolev.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex
new file mode 100644
index 0000000..afafab8
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex
@@ -0,0 +1,79 @@
+%
+% adjungiert.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Adjungierter Operator}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Definition}
+\begin{itemize}
+\item
+$A\colon H\to L$ lineare Abbildung zwischen Hilberträumen, $y\in L$
+\item
+\[
+H\to\mathbb{C}
+:
+x\mapsto \langle y, Ax\rangle_L
+\]
+ist eine lineare Abbildung $H\to\mathbb{C}$
+\item
+Nach dem Darstellungssatz gibt es $v\in H$ mit
+\[
+\langle y,Ax\rangle_L = \langle v,x\rangle_H
+\quad 
+\forall x\in H
+\]
+\end{itemize}
+Die Abbildung 
+\[
+L\to H
+:
+y\mapsto v =: A^*y
+\]
+heisst {\em adjungierte Abbildung}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Endlichdimensional (Matrizen)}
+\[
+A^* = \overline{A}^t
+\]
+\end{block}
+\vspace{-8pt}
+\begin{block}{Selbstabbildungen}
+Für Operatoren $A\colon H\to H$ ist $A^*\colon H\to H$
+\[
+\langle x,Ay\rangle
+=
+\langle A^*x, y\rangle
+\quad
+\forall x,y\in H
+\]
+\end{block}
+\vspace{-8pt}
+\begin{block}{Selbstadjungierte Operatoren}
+\[
+A=A^*
+\;\Leftrightarrow\;
+\langle x,Ay \rangle
+=
+\langle A^*x,y \rangle
+=
+\langle Ax,y \rangle
+\]
+Matrizen:
+\begin{itemize}
+\item hermitesch
+\item für reelle Hilberträume: symmetrisch
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex
new file mode 100644
index 0000000..7868cb4
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex
@@ -0,0 +1,62 @@
+%
+% energie.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Energie --- Zeitentwicklung --- Schrödinger}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.30\textwidth}
+\begin{block}{Totale Energie}
+Hamilton-Funktion
+\begin{align*}
+H
+&=
+\frac12mv^2 + V(x)
+\\
+&=
+\frac{p^2}{2m} + V(x)
+\end{align*}
+\end{block}
+\begin{block}{Quantisierungsregel}
+\begin{align*}
+\text{Variable}&\to \text{Operator}
+\\
+x_k & \to x_k
+\\
+p_k & \to \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_k}
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.66\textwidth}
+\begin{block}{Energie-Operator}
+\[
+H
+=
+-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(x)
+\]
+\end{block}
+\begin{block}{Eigenwertgleichung}
+\[
+-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(x,t) + V(x)\psi(x,t) = E\psi(x,t)
+\]
+Zeitunabhängige Schrödingergleichung
+\end{block}
+\begin{block}{Zeitabhängigkeit = Schrödingergleichung}
+\[
+-\frac{\hbar}{i}
+\frac{\partial}{\partial t}
+\psi(x,t)
+=
+-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(x,t) + V(x)\psi(x,t)
+\]
+Eigenwertgleichung durch Separation von $t$
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex
index 2991aca..e2f2262 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex
@@ -31,6 +31,8 @@ Norm:
 \|f\|^2 = \int_a^b |f(x)|^2\,dx
 \]
 \item Vollständigkeit?
+$\rightarrow$
+Lebesgue Konvergenz-Satz
 \end{itemize}
 \end{block}
 \end{column}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex
index 29a1822..c030eb7 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex
@@ -7,22 +7,73 @@
 \begin{frame}[t]
 \setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
 \setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
-\frametitle{Beispiel: $l^2$}
+\frametitle{Beispiele: $\mathbb{R},\mathbb{R}^2,\dots,\mathbb{R}^n,\dots,l^2$}
 \vspace{-20pt}
 \begin{columns}[t,onlytextwidth]
 \begin{column}{0.48\textwidth}
 \begin{block}{Definition}
 \begin{itemize}
-\item Folgen von komplexen Zahlen
+\item Quadratsummierbare Folgen von komplexen Zahlen
 \[
 l^2
 =
-\{(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,|\, x_k \in\mathbb{C}\}
+\biggl\{
+(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,\bigg|\, \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 < \infty
+\biggr\}
+\]
+\item Skalarprodukt:
+\begin{align*}
+\langle x,y\rangle
+&=
+\sum_{k=0}^\infty \overline{x}_ky_k,
+&
+\|x\|^2 = \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2
+\end{align*}
+\item Vollständigkeit,
+Konvergenz: Cauchy-Schwarz-Ungleichung
+\[
+\biggl|
+\sum_{k=0}^\infty \overline{x}_ky_k
+\biggr|
+\le
+\sum_{k=0}^\infty |x_k|^2
+\sum_{l=0}^\infty |y_l|^2
 \]
 \end{itemize}
 \end{block}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Standardbasisvektoren}
+\begin{align*}
+e_i
+&=
+(0,\dots,0,\underset{\underset{\textstyle i}{\textstyle\uparrow}}{1},0,\dots)
+\\
+(e_i)_k &= \delta_{ik}
+\end{align*}
+sind orthonormiert:
+\begin{align*}
+\langle e_i,e_j\rangle
+&=
+\sum_k \overline{\delta}_{ik}\delta_{jk}
+=
+\delta_{ij}
+\end{align*}
+\end{block}
+\vspace{-16pt}
+\begin{block}{Analyse}
+$x_k$ kann mit Skalarprodukten gefunden werden:
+\begin{align*}
+\hat{x}_i
+=
+\langle e_i,x\rangle
+&=
+\sum_{k=0}^\infty \overline{\delta}_{ik}  x_k
+=
+x_i
+\end{align*}
+(Fourier-Koeffizienten)
+\end{block}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex
new file mode 100644
index 0000000..5e0bba9
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex
@@ -0,0 +1,62 @@
+%
+% laplace.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Höhere Dimension}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.44\textwidth}
+\begin{block}{Problem}
+Gegeben: $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ein Gebiet
+\\
+Gesucht: Lösungen von $\Delta u=0$ mit $u_{|\partial\Omega}=0$
+\end{block}
+\begin{block}{Funktionen}
+Hilbertraum $H$ der Funktionen $f:\overline{\Omega}\to\mathbb{C}$
+mit $f_{|\partial\Omega}=0$
+\end{block}
+\begin{block}{Skalarprodukt}
+\[
+\langle f,g\rangle
+=
+\int_{\Omega} \overline{f}(x) g(x)\,d\mu(x)
+\]
+\end{block}
+\begin{block}{Laplace-Operator}
+\[
+\Delta \psi = \operatorname{div}\operatorname{grad}\psi
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.52\textwidth}
+\begin{block}{Selbstadjungiert}
+\begin{align*}
+\langle f,\Delta g\rangle
+&=
+\int_{\Omega} \overline{f}(x)\operatorname{div}\operatorname{grad}g(x)\,d\mu(x)
+\\
+&=
+\int_{\partial\Omega}
+\underbrace{\overline{f}(x)}_{\displaystyle=0}\operatorname{grad}g(x)\,d\nu(x)
+\\
+&\qquad
+-
+\int_{\Omega}
+\operatorname{grad}\overline{f}(x)\cdot \operatorname{grad}g(x)
+\,d\mu(x)
+\\
+&=\int_{\Omega}\operatorname{div}\operatorname{grad}\overline{f}(x)g(x)\,d\mu(x)
+\\
+&=
+\langle \Delta f,g\rangle
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex
index 3caa54d..eaf8aaa 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex
@@ -17,9 +17,12 @@ $\mathcal{B}=\{b_k\;|\; k>0\}$, $x\in H$
 \end{block}
 \begin{block}{Analyse: Fourier-Koeffizienten}
 \begin{align*}
-a_k &= \hat{x}_k=\langle b_k, x\rangle
+a_k = \hat{x}_k &=\langle b_k, x\rangle
+\\
+\hat{x}&=\mathcal{F}x
 \end{align*}
 \end{block}
+\vspace{-10pt}
 \begin{block}{Synthese: Fourier-Reihe}
 \begin{align*}
 \tilde{x}
@@ -29,6 +32,7 @@ a_k &= \hat{x}_k=\langle b_k, x\rangle
 \sum_k \langle x,b_k\rangle b_k
 \end{align*}
 \end{block}
+\vspace{-6pt}
 \begin{block}{Analyse von $\tilde{x}$}
 \begin{align*}
 \langle b_l,\tilde{x}\rangle
@@ -67,7 +71,24 @@ b_l,\sum_{k}\langle b_k,x\rangle b_k
 \|\tilde{x}\|^2
 &=
 \sum_k |\hat{x}_k|^2
+=
+\|\hat{x}\|_{l^2}^2
+=
+\|\mathcal{F}x\|_{l^2}^2
+\end{align*}
+\end{block}
+\vspace{-12pt}
+\begin{block}{Isometrie}
+\begin{align*}
+\mathcal{F}
+\colon
+H \to l^2
+\colon
+x\mapsto \hat{x}
 \end{align*}
+Alle separablen Hilberträume sind isometrisch zu $l^2$ via
+%Fourier-Transformation
+$\mathcal{F}$
 \end{block}
 \end{column}
 \end{columns}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex
new file mode 100644
index 0000000..1a2bbbc
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex
@@ -0,0 +1,82 @@
+%
+% qm.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Anwendung: Quantenmechanik}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Zustände (Wellenfunktion)}
+$L^2$-Funktionen auf $\mathbb{R}^3$
+\[
+\psi\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{C}
+\]
+\end{block}
+\vspace{-6pt}
+\begin{block}{Wahrscheinlichkeitsinterpretation}
+\[
+|\psi(x)|^2 = \left\{
+\begin{minipage}{4.6cm}\raggedright
+Wahrscheinlichkeitsdichte für Position $x$ des Teilchens
+\end{minipage}\right.
+\]
+\end{block}
+\vspace{-6pt}
+\begin{block}{Skalarprodukt}
+\[
+\langle\psi,\psi\rangle
+=
+\int_{\mathbb{R}^3} |\psi(x)|^2\,dx = 1
+\]
+\end{block}
+\vspace{-6pt}
+\begin{block}{Messgrösse $A$}
+Selbstadjungierter Operator $A$
+\\
+$\rightarrow$
+Hilbertbasis $|i\rangle$ von EV von $A$
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Überlagerung}
+\begin{align*}
+|\psi\rangle
+&=
+\sum_i
+w_i|i\rangle
+\\
+\langle \psi|\psi\rangle
+&=
+\sum_i |w_i|^2 \qquad\text{(Plancherel)}
+\end{align*}
+$|w_i|^2=|\langle \psi|i\rangle|^2$ Wahrscheinlichkeit für Zustand $|i\rangle$
+\end{block}
+\begin{block}{Erwartungswert}
+\begin{align*}
+E(A)
+&=
+\sum_i |w_i|^2 \alpha_i
+=
+\sum_i \overline{w}_i\alpha_i w_i 
+\\
+&=
+\sum_{i,j} \overline{w}_j\alpha_i w_i \langle j|i\rangle
+=
+\sum_{i} \overline{w}_j\langle j| \sum_i \alpha_i w_i |i\rangle
+\\
+&=
+\sum_{i,j} \overline{w}_j w_i \langle j|
+A|i\rangle
+=
+\langle \psi| A |\psi\rangle
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex
new file mode 100644
index 0000000..88c456c
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex
@@ -0,0 +1,66 @@
+%
+% riesz.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Darstellungssatz von Riesz}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Dualraum}
+$V$ ein Vektorraum, $V^*$ der Raum aller Linearformen
+\[
+f\colon V\to \mathbb{C}
+\]
+\end{block}
+\begin{block}{Beispiel: $l^\infty$}
+$l^\infty=\text{beschränkte Folgen in $\mathbb{C}$}$,
+Linearformen:
+\begin{align*}
+f(x)
+&=
+\sum_{i=0}^\infty f_ix_i
+\\
+\|f\|
+&=
+\sup_{\|x\|_{\infty}\le 1}
+|f(x)|
+=
+\sum_{k\in\mathbb{N}} |f_k|
+\\
+\Rightarrow
+l^{\infty*}
+&=
+l^1
+\qquad(\ne l^2)
+\\
+&=\{\text{summierbare Folgen in $\mathbb{C}$}\}
+\end{align*}
+
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Beispiel: $\mathbb{C}^n$}
+${\mathbb{C}^n}^* = \mathbb{C}^n$
+\end{block}
+\begin{theorem}[Riesz]
+Zu einer stetigen Linearform $f\colon H\to\mathbb{C}$ gibt es $v\in H$ mit
+\[
+f(x) = \langle v,x\rangle
+\quad\forall x\in H
+\]
+und $\|f\| = \|v\|$
+\end{theorem}
+\begin{block}{Dualraum von $H$}
+$H^*=H$
+\end{block}
+Der Hilbertraum ist die ``intuitiv richtige, unendlichdimensionale''
+Verallgemeinerung von $\mathbb{C}^n$
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex
new file mode 100644
index 0000000..e2c26f5
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex
@@ -0,0 +1,96 @@
+%
+% rieszbeispiel.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Linearform auf $L^2$-Funktionen}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Linearform auf $\mathbb{C}^n$}
+\begin{align*}
+{\color{blue}x}&=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix},
+&
+f({\color{blue}x})
+&= 
+\begin{pmatrix}f_1&f_2&\dots&f_n\end{pmatrix} {\color{blue}x}
+\\
+{\color{red}v}&=
+\rlap{$
+\begin{pmatrix}
+\overline{f}_1&\overline{f}_2&\dots&\overline{f}_n
+\end{pmatrix}^t
+\;\Rightarrow\;
+f({\color{blue}x})=\langle {\color{red}v},{\color{blue}x}\rangle
+$}
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Linearform auf $L^2([a,b])$}
+\begin{align*}
+{\color{red}x}&\in L^2([a,b])
+\\
+f&\colon L^2([a,b]) \to \mathbb{C}
+: {\color{red}x} \mapsto f({\color{red}x})
+\intertext{Riesz-Darstellungssatz: $\exists {\color{blue}v}\in L^2([a,b])$}
+f({\color{red}x})
+&=
+\int_a^b {\color{blue}\overline{v}(t)}{\color{red}x(t)}\,dt
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\begin{scope}[xshift=-3.5cm]
+\def\s{0.058}
+\foreach \n in {0,...,5}{
+	\draw[color=red,line width=3pt]
+		({\n+\s},{1/(\n+0.5)}) -- ({\n+\s},0);
+	\node[color=red] at ({\n},{-0.2+1/(\n+0.5)})
+		[above right] {$v_\n\mathstrut$};
+	\draw[color=blue,line width=3pt]
+		({\n-\s},{0.4+0.55*sin(200*\n)+0.25*\n}) -- ({\n-\s},0);
+	\node[color=blue] at ({\n},{-0.2+0.4+0.55*sin(200*\n)+0.25*\n})
+		[above left] {$x_\n\mathstrut$};
+}
+\draw[->] (-0.6,0) -- (6,0) coordinate[label={$n$}];
+\draw[->] (-0.5,-0.1) -- (-0.5,2.5) coordinate[label={right:$x$}];
+\foreach \n in {0,...,5}{
+	\fill (\n,0) circle[radius=0.08];
+	\node at (\n,0) [below] {$\n$\strut};
+}
+\node at (5.6,0) [below] {$\cdots$\strut};
+\end{scope}
+\begin{scope}[xshift=3.5cm]
+\fill[color=red!40,opacity=0.5] 
+	plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{1/(\x+0.5)})
+	--
+	(5,0) -- (0,0) -- cycle;
+\fill[color=blue!40,opacity=0.5]
+	plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{0.4+0.55*sin(200*\x)+0.25*\x})
+	-- (5,0) -- (0,0) -- cycle;
+\draw[color=red,line width=1.4pt]
+	plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{1/(\x+0.5)});
+\node[color=red] at (0,2) [right] {$x(t)$};
+
+\draw[color=blue,line width=1.4pt]
+	plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{0.4+0.55*sin(200*\x)+0.25*\x});
+\node[color=blue] at (4.5,2) [right]{$v(t)$};
+
+\draw[->] (-0.6,0) -- (6.0,0) coordinate[label={$t$}];
+\draw[->] (-0.5,-0.1) -- (-0.5,2.5) coordinate[label={right:$x$}];
+\draw (0.0,-0.1) -- (0.0,0.1);
+\node at (0.0,0) [below] {$a$\strut};
+\draw (5.0,-0.1) -- (5.0,0.1);
+\node at (5.0,0) [below] {$b$\strut};
+\end{scope}
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex
new file mode 100644
index 0000000..425c263
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex
@@ -0,0 +1,48 @@
+%
+% sobolev.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Sobolev-Raum}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Vektorrraum $W$}
+Funktionen $f\colon \Omega\to\mathbb{C}$
+\begin{itemize}
+\item
+$f\in L^2(\Omega)$
+\item
+$\nabla f\in L^2(\Omega)$
+\item
+homogene Randbedingungen:
+$f_{|\partial \Omega}=0$
+\end{itemize}
+\end{block}
+\begin{block}{Skalarprodukt}
+\begin{align*}
+\langle f,g\rangle_W
+&=
+\int_\Omega \overline{\nabla f}(x)\cdot\nabla g(x)\,d\mu(x)
+\\
+&\qquad + \int_{\Omega} \overline{f}(x)\,g(x)\,d\mu(x)
+\\
+&=\langle f,-\Delta g + g\rangle_{L^2(\Omega)}
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Vollständigkeit}
+\dots
+\end{block}
+\begin{block}{Anwendung}
+``Ein Hilbertraum für jedes partielle Differentialgleichungsproblem''
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex
new file mode 100644
index 0000000..b7a44f8
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex
@@ -0,0 +1,87 @@
+%
+% spektral.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Spektraltheorie für selbstadjungierte Operatoren}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Voraussetzungen}
+\begin{itemize}
+\item
+Hilbertraum $H$
+\item
+$A\colon H\to H$ linear
+\end{itemize}
+\end{block}
+\begin{block}{Eigenwerte}
+$x\in H$ ein EV von $A$ zum EW $\lambda\ne 0$
+\begin{align*}
+\langle x,x\rangle
+&=
+\frac1{\lambda}
+\langle x,\lambda x\rangle
+=
+\frac1{\lambda}
+\langle x,Ax\rangle
+\\
+&=
+\frac1{\lambda}
+\langle Ax,x\rangle
+=
+\frac{\overline{\lambda}}{\lambda}
+\langle x,x\rangle
+\\
+\frac{\overline{\lambda}}{\lambda}&=1
+\quad\Rightarrow\quad
+\overline{\lambda} = \lambda
+\quad\Rightarrow\quad
+\lambda\in\mathbb{R}
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Orthogonalität}
+$u,v$ EV zu EW $\mu,\lambda\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$, $\overline{\mu}=\mu\ne\lambda$
+\begin{align*}
+\langle u,v\rangle
+&=
+\frac{1}{\mu}
+\langle \mu u,v\rangle
+=
+\frac{1}{\mu}
+\langle Au,v\rangle
+\\
+&=
+\frac{1}{\mu}
+\langle u,Av\rangle
+=
+\frac{1}{\mu}
+\langle u,\lambda v\rangle
+=
+\frac{\lambda}{\mu}
+\langle u,v\rangle
+\\
+\Rightarrow
+\;
+0
+&=
+\underbrace{\biggl(\frac{\lambda}{\mu}-1\biggr)}_{\displaystyle \ne 0}
+\langle u,v\rangle
+\;\Rightarrow\;
+\langle u,v\rangle = 0
+\end{align*}
+EV zu verschiedenen EW sind orthogonal
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\begin{block}{Spektralsatz}
+Es gibt eine Hilbertbasis von $H$ aus Eigenvektoren von $A$
+\end{block}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex
new file mode 100644
index 0000000..1d772d6
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex
@@ -0,0 +1,56 @@
+%
+% sturm.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Sturm-Liouville-Problem}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Wellengleichung}
+Saite mit variabler Massedichte führt auf die DGL
+\[
+-y''(t) + q(t) y(t) = \lambda y(t),
+\quad
+q(t) > 0
+\]
+mit Randbedingungen $y(0)=y(1)=0$
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Sturm-Liouville-Operator}
+\[
+A=-\frac{d^2}{dt^2} + q(t) = -D^2 + p
+\]
+auf differenzierbaren Funktionen $\Omega=[0,1]\to\mathbb{C}$ mit Randwerten
+\[
+f(0)=f(1)=0
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\begin{block}{Selbstadjungiert}
+\begin{align*}
+\langle f,Ag \rangle
+&=
+\langle f,-D^2 g\rangle + \langle f,qg\rangle
+=
+-
+\int_0^1 \overline{f}(t) \frac{d^2}{dt^2}g(t)\,dt
++\langle f,qg\rangle
+\\
+&=-\underbrace{[\overline{f}(t)g'(t)]_0^1}_{\displaystyle=0}
++\int_0^1 \overline{f}'(t)g'(t)\,dt
++\langle f,qg\rangle
+=-\int_0^1 \overline{f}''(t)g(t)\,dt
++\langle qf,g\rangle
+\\
+&=\langle Af,g\rangle
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{frame}
+\egroup