add new slides

18 files changed, 714 insertions, 9 deletions

diff --git a/vorlesungen/slides/3/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/3/Makefile.inc
index a58ee05..ac2c3a5 100644
--- a/vorlesungen/slides/3/Makefile.inc
+++ b/vorlesungen/slides/3/Makefile.inc
@@ -6,5 +6,20 @@
 #
 chapter3 =								\
 	../slides/3/motivation.tex					\
+	../slides/3/polynome.tex					\
+	../slides/3/division.tex					\
+	../slides/3/division2.tex					\
+	../slides/3/ringstruktur.tex					\
+	../slides/3/teilbarkeit.tex					\
+	../slides/3/faktorisierung.tex					\
+	../slides/3/faktorzerlegung.tex					\
+	../slides/3/einsetzen.tex					\
+	../slides/3/maximalergrad.tex					\
+	../slides/3/minimalbeispiel.tex					\
+	../slides/3/minimalpolynom.tex					\
+	../slides/3/drehmatrix.tex					\
+	../slides/3/drehfaktorisierung.tex				\
+	../slides/3/operatoren.tex					\
+	../slides/3/adjunktion.tex					\
 	../slides/3/chapter.tex
 
diff --git a/vorlesungen/slides/3/adjunktion.tex b/vorlesungen/slides/3/adjunktion.tex
new file mode 100644
index 0000000..3b55ab0
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/3/adjunktion.tex
@@ -0,0 +1,30 @@
+%
+% adjunktion.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Adjunktion einer Nullstelle von $m(X)$}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+Sei $m(X)=m_0+m_1X+\dots + X^n\in \Bbbk[X]$ ein irreduzibles Polynom.
+\[
+X^n = -m_{n-1}X^{n-1} - \dots - m_1X - m_0
+\]
+Nullstelle $W$ als Operator betrachten:
+\[
+W = \begin{pmatrix}
+     0&     0&     0&\dots &     0&   -m_0\\
+     1&     0&     0&\dots &     0&   -m_1\\
+     0&     1&     0&\dots &     0&   -m_2\\
+     0&     0&     1&\dots &     0&   -m_3\\
+\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots& \vdots\\
+     0&     0&     0&\dots &     1&-m_{n-1}
+\end{pmatrix}
+\]
+Man kann nachrechnen, dass immer $m(W)=0$.
+\medskip
+
+$\Rightarrow \Bbbk(W) = \{p(W)\;|\;p\in\Bbbk[X], \deg p<\deg m\}$
+ist ein Körper, in dem $m(X)$ faktorisiert werden kann $m(X) = (X-W)q(X)$.
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/chapter.tex b/vorlesungen/slides/3/chapter.tex
index f8d422e..672b05a 100644
--- a/vorlesungen/slides/3/chapter.tex
+++ b/vorlesungen/slides/3/chapter.tex
@@ -3,5 +3,18 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswi
 %
-\folie{3/polynome.tex}
 \folie{3/motivation.tex}
+\folie{3/polynome.tex}
+\folie{3/division.tex}
+\folie{3/division2.tex}
+\folie{3/ringstruktur.tex}
+\folie{3/teilbarkeit.tex}
+\folie{3/faktorisierung.tex}
+\folie{3/faktorzerlegung.tex}
+\folie{3/einsetzen.tex}
+\folie{3/maximalergrad.tex}
+\folie{3/minimalbeispiel.tex}
+\folie{3/minimalpolynom.tex}
+\folie{3/drehfaktorisierung.tex}
+\folie{3/operatoren.tex}
+\folie{3/adjunktion.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/division.tex b/vorlesungen/slides/3/division.tex
new file mode 100644
index 0000000..0932f48
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/3/division.tex
@@ -0,0 +1,29 @@
+%
+% division.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Polynomdivision}
+\begin{block}{Aufgabe}
+Finde Quotient und Rest für
+$a= X^4- X^3-7X^2+ X+6\in\mathbb{Z}[X]$
+und
+$b= X^2+X+1\in\mathbb{Z}[X]$
+\end{block}
+\begin{block}{Lösung}
+\[
+\arraycolsep=1.4pt
+\begin{array}{rcrcrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+X^4&-& X^3&-&7X^2&+& X&+&6&:&X^2&+&X&+&1&=&X^2&-&2X&-&6=q\\
+\llap{$-($}X^4&+& X^3&+& X^2\rlap{$)$}& &  & & & &   & & & & & &   & &  & & \\ \cline{1-5}
+   &-&2X^3&-&8X^2&+& X& & & &   & & & & & &   & &  & & \\
+   &\llap{$-($}-&2X^3&-&2X^2&-&2X\rlap{$)$}& & & &   & & & & & &   & &  & & \\ \cline{2-7}
+   & &    &-&6X^2&+&3X&+&6& &   & & & & & &   & &  & & \\
+   & &    &\llap{$-($}-&6X^2&-&6X&-&6\rlap{$)$}& &   & & & & & &   & &  & & \\ \cline{4-9}
+   & &    & &    & &9X&+&12\rlap{$\mathstrut=r$}& &   & & & & & &   & &  & & \\ \cline{7-9}
+\end{array}
+\]
+Funktioniert weil $b$ normiert ist!
+\end{block}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/division2.tex b/vorlesungen/slides/3/division2.tex
new file mode 100644
index 0000000..80d6a75
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/3/division2.tex
@@ -0,0 +1,32 @@
+%
+% division2.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Division in $\Bbbk[X]$}
+\vspace{-5pt}
+\begin{block}{Aufgabe}
+Finde Quotienten und Rest der Polynome
+$a(X) = X^4-X^3-7X^2+X+6$
+und
+$b(X) = 2X^2+X+1$
+\end{block}
+\begin{block}{Lösung}
+\[
+\arraycolsep=1.4pt
+\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
+\begin{array}{rcrcrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+X^4&-&       X^3&-&         7X^2&+&          X&+&           6&:&2X^2&+&X&+&1&=&\frac12X^2&-&\frac34X&-\frac{27}{8} = q\\
+\llap{$-($}X^4&+&\frac12X^3&+&   \frac12X^2\rlap{$)$}& &           & &            & &    & & & & & &          & &        &             \\ \cline{1-5}
+   &-&\frac32X^3&-&\frac{15}2X^2&+&          X& &            & &    & & & & & &          & &        &             \\
+   &\llap{$-($}-&\frac32X^3&-&\frac{ 3}4X^2&-&\frac{ 3}4X\rlap{$)$}& &            & &    & & & & & &          & &        &             \\\cline{2-7}
+   & &          &-&\frac{27}4X^2&+&\frac{ 7}4X&+&           6& &    & & & & & &          & &        &             \\
+   & &          &\llap{$-($}-&\frac{27}4X^2&-&\frac{27}8X&-&\frac{27}{8}\rlap{$)$}& &    & & & & & &          & &        &             \\\cline{4-9}
+   & &          & &             & &\frac{41}8X&+&\frac{75}{8}\rlap{$\mathstrut=r$}& &    & & & & & &          & &        &             \\
+\end{array}
+\]
+Funktioniert, weil man in $\Bbbk[X]$ immer normieren kann
+\end{block}
+
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/drehfaktorisierung.tex b/vorlesungen/slides/3/drehfaktorisierung.tex
new file mode 100644
index 0000000..b44ca35
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/3/drehfaktorisierung.tex
@@ -0,0 +1,70 @@
+%
+% drehfaktorisierung.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{4pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{4pt}
+\frametitle{Faktorisierung von $X^2+X+1$}
+\vspace{-3pt}
+$X^2+X+1$ kann faktorisiert werden, wenn man $i\sqrt{3}$
+hinzufügt
+\[
+\biggl(X+\frac12+\frac{i\sqrt{3}}2\biggr)
+\biggl(X+\frac12-\frac{i\sqrt{3}}2\biggr)
+=
+X^2+X+\frac14
++
+\frac34
+=
+X^2+X+1
+\]
+\vspace{-10pt}
+\begin{block}{Was ist $i\sqrt{3}$?}
+Matrix mit Minimalpolynom $X^2+3$:
+\[
+W=\begin{pmatrix}0&-3\\1&0\end{pmatrix}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+W^2=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix} = -3I
+\qquad\Rightarrow\qquad
+W^2+3I=0
+\]
+\end{block}
+\vspace{-10pt}
+\begin{block}{Faktorisierung von $X^2+X+1$}
+\vspace{-10pt}
+\begin{align*}
+B_\pm
+&=
+-\frac12I\pm\frac12W
+&
+&\Rightarrow
+&
+(X+B_+)(X+B-)
+&=
+(X+\frac12I+\frac12W)
+(X+\frac12I-\frac12W)
+\\
+&=
+\smash{
+{\textstyle\begin{pmatrix}-\frac12&-\frac32\\\frac12&-\frac12\end{pmatrix}}
+}
+&
+&
+&
+&=
+X^2+X + \frac14I - \frac14W^2
+\\
+&
+&
+&%\Rightarrow
+&
+&=
+X^2+X + \frac14I + \frac34I
+=
+X^2+X+I
+\end{align*}
+\end{block}
+
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/drehmatrix.tex b/vorlesungen/slides/3/drehmatrix.tex
new file mode 100644
index 0000000..bed0628
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/3/drehmatrix.tex
@@ -0,0 +1,62 @@
+%
+% drehmatrix.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Analyse einer Drehung um $120^\circ$}
+$D$ eine Drehung um $120^\circ$
+\begin{enumerate}
+\item
+Drehwinkel = $120^\circ\quad\Rightarrow\quad D^3 = I$
+\item
+$m_D(X)=X^3-1$
+\item 
+$m_D$ ist nicht irreduzibel, weil $m_D(1)=0$:
+$
+m_D(X) = (X-1)(X^2+X+1)
+$
+\item
+Welche Matrix hat $X^2+X+1$ als Minimalpolynom
+\[
+\arraycolsep=1.4pt
+W
+=
+\biggl(\begin{array}{cc}
+-\frac12          & -\frac{\sqrt{3}}2 \\
+ \frac{\sqrt{3}}2 & -\frac12
+\end{array}\biggr)
+\quad\Rightarrow\quad
+W^2+W+I
+=
+\biggl(\begin{array}{cc}
+-\frac12          & -\frac{\sqrt{3}}2 \\
+ \frac{\sqrt{3}}2 & -\frac12
+\end{array}\biggr)
++
+\biggl(\begin{array}{cc}
+-\frac12          & \frac{\sqrt{3}}2 \\
+ -\frac{\sqrt{3}}2 & -\frac12
+\end{array}\biggr)
++
+\biggl(\begin{array}{cc}
+1&0\\0&1
+\end{array}\biggr)
+=0
+\]
+\item In einer geeigneten Basis hat $D$ die Form
+\[
+D=\begin{pmatrix}
+1&0&0\\
+0&-\frac12 & -\frac{\sqrt{3}}2 \\
+0&\frac{\sqrt{3}}2 & -\frac12
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+1&0&0\\
+0&\cos 120^\circ & -\sin 120^\circ\\
+0&\sin 120^\circ & \cos 120^\circ
+\end{pmatrix}
+\]
+\end{enumerate}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/einsetzen.tex b/vorlesungen/slides/3/einsetzen.tex
new file mode 100644
index 0000000..936100d
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/3/einsetzen.tex
@@ -0,0 +1,50 @@
+%
+% einsetzen.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Matrix in ein Polynom einsetzen}
+\vspace{-10pt}
+\[
+\begin{array}{rcrcrcrcrcrcr}
+p(X)&=&a_nX^n&+&a_{n-1}X^{n-1}&+&\dots&+&a_2X^2&+&a_1X&+&a_0\phantom{I}\\
+\bigg\downarrow\hspace*{4pt}      & &
+\bigg\downarrow\hspace*{4pt}      & &
+\bigg\downarrow\hspace*{10pt}                   & &     & &
+\bigg\downarrow\hspace*{4pt}           & &
+\bigg\downarrow\hspace*{2pt}         & &
+\bigg\downarrow\hspace*{0pt}                   \\
+p(A)&=&a_nA^n&+&a_{n-1}A^{n-1}&+&\dots&+&a_2A^2&+&a_1A&+&a_0         I
+\end{array}
+\]
+\vspace{-10pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Nilpotente Matrizen}
+$p(X) = (X-a)^n$
+\[
+p(A) = 0
+\quad\Rightarrow\quad
+\text{$A$ ist nilpotent}
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Eigenwerte}
+$p(X) = (X-\lambda_1)(X-\lambda_2)$,\\
+$A$ eine $2\times 2$-Matrix
+\[
+p(A)=0\quad\Rightarrow\quad
+\left\{
+\begin{aligned}
+&\text{$A-\lambda_1I$ ist singulär}\\
+&\text{$A-\lambda_2I$ ist singulär}
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/faktorisierung.tex b/vorlesungen/slides/3/faktorisierung.tex
new file mode 100644
index 0000000..cbf7004
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/3/faktorisierung.tex
@@ -0,0 +1,42 @@
+%
+% faktorisierung.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Faktorisierung}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Primzahlen\strut}
+Eine Zahl $p\in\mathbb{Z}$, $p>1$ heisst Primzahl, wenn sie nicht als Produkt
+$p=ab$ mit $a,b\in\mathbb{Z},a>1, b>1$ geschrieben werden kann.
+\begin{align*}
+p&=7
+\\
+2021 &= 43 \cdot 47
+\\
+4095667&=2021\cdot 2027
+\\
+p&=43, 47, 1291, 2017, 2027
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Irreduzible Polynome in $\mathbb{Q}[X]$}
+Ein Polynome $p\in\mathbb{Q}[X]$, $\deg p>0$ wenn es nicht als Produkt
+$p=ab$ mit $a,b\in\mathbb{Q}[X]$, $\deg a>0$, $\deg b>0$ geschrieben
+werden kann.
+\begin{align*}
+p&=X-9
+\\
+X^2-1&= (X+1)(X-1)
+\\
+X^2-2&\text{\; irreduzibel}
+\\
+X^2-2&=(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})
+\end{align*}
+aber: $X\pm\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}[X]$
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/faktorzerlegung.tex b/vorlesungen/slides/3/faktorzerlegung.tex
new file mode 100644
index 0000000..0e5a95b
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/3/faktorzerlegung.tex
@@ -0,0 +1,58 @@
+%
+% faktorzerlegung.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Faktorzerlegung}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{in $\mathbb{Z}$}
+Jede Zahl kann eindeutig in Primfaktoren zerlegt werden:
+\[
+z = p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2} \cdot\dots\cdot p_k^{n_k}
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{in $\mathbb{Q}[X]$}
+Jedes Polynom $p\in\mathbb{Q}[X]$
+kann eindeutig faktorisiert werden in irreduzible, normierte Polynome
+\[
+p
+=
+a_n
+p_1^{n_1}
+\cdot
+p_2^{n_2}
+\cdot
+\dots
+\cdot
+p_k^{n_k}
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\begin{block}{Polynomfaktorisierung hängt von den Koeffizienten ab}
+Ist $X^2-2$ irreduzibel?
+\vspace{-5pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{in $\mathbb{Q}[X]$}
+\[
+X^2-2\quad\text{ist irreduzibel}
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{in $\mathbb{R}[X]$}
+\[
+X^2-2 = (X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{block}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/maximalergrad.tex b/vorlesungen/slides/3/maximalergrad.tex
new file mode 100644
index 0000000..3d7e1a4
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/3/maximalergrad.tex
@@ -0,0 +1,67 @@
+%
+% maximalergrad.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Jede Matrix hat eine Polynomrelation}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\vspace{-5pt}
+\begin{block}{Dimension des Matrizenrings}
+Der Ring $M_{n}(\Bbbk)$ ist ein $n^2$-dimensionaler Vektorraum mit
+Basis
+{\tiny
+\begin{align*}
+&\begin{pmatrix}
+1&0&\dots&0\\
+0&0&\dots&0\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+\end{pmatrix}
+&
+&\begin{pmatrix}
+0&1&\dots&0\\
+0&0&\dots&0\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+\end{pmatrix}
+&
+&\dots
+&
+&\begin{pmatrix}
+0&0&\dots&1\\
+0&0&\dots&0\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+\end{pmatrix}
+\\
+&\begin{pmatrix}
+0&0&\dots&0\\
+1&0&\dots&0\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+\end{pmatrix}
+&
+&\begin{pmatrix}
+0&0&\dots&0\\
+0&1&\dots&0\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+\end{pmatrix}
+&
+&\dots
+&
+&\begin{pmatrix}
+0&0&\dots&0\\
+0&0&\dots&1\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+\end{pmatrix}
+\end{align*}}
+\end{block}
+\vspace{-10pt}
+\begin{block}{Potenzen von $A$}
+Die $n^2+1$ Matrizen $I,A,A^2,\dots,A^{n^2-1},A^{n^2}$ müssen linear abhängig
+sein:
+\[
+a_0I+a_1A+a_2A^2+\dots+a_{n^2-1}A^{n^2-1}+a_{n^2}A^{n^2} = 0
+\]
+d.~h.~$p(X) = a_0+a_1X+a_2X^2+\dots +a_{n^2-1}X^{n^2-1}+a_{n^2}A^{n^2}\in\Bbbk[X]$ ist ein Polynom mit $p(A)=0$.
+\end{block}
+$\Rightarrow$ $A$ über die Eigenschaften (Faktorisierung) von $p$ studieren
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/minimalbeispiel.tex b/vorlesungen/slides/3/minimalbeispiel.tex
new file mode 100644
index 0000000..03909de
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/3/minimalbeispiel.tex
@@ -0,0 +1,34 @@
+%
+% minimalbeispiel.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Beispiel für $p(A)=0$}
+\begin{block}{Potenzen einer $2\times 2$-Matrix $A$}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\vspace{-10pt}
+\[
+I  ={\tiny\begin{pmatrix}  1 &  0 \\  0 &  1 \end{pmatrix}},\quad
+A  ={\tiny\begin{pmatrix}  3 &  2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}},\quad
+A^2={\tiny\begin{pmatrix}  7 &  2 \\ -1 &  2 \end{pmatrix}},\quad
+A^3={\tiny\begin{pmatrix} 19 & 10 \\ -5 & -6 \end{pmatrix}},\quad
+A^4={\tiny\begin{pmatrix} 47 & 18 \\ -9 &  2 \end{pmatrix}}
+\]
+\end{block}
+\vspace{-5pt}
+\begin{block}{linear abhängig}
+Bereits die ersten $3$ sind linear abhängig:
+\[
+-4I - A + A^2
+=
+-4\begin{pmatrix}  1 &  0 \\  0 &  1 \end{pmatrix}
+-\begin{pmatrix}  3 &  2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}
++\begin{pmatrix}  7 &  2 \\ -1 &  2 \end{pmatrix}
+= 
+\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
+\]
+$p(X) = X^2 - X - 4 \in \mathbb{Q}[X]$ hat die Eigenschaft $p(A)=0$
+\end{block}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/minimalpolynom.tex b/vorlesungen/slides/3/minimalpolynom.tex
new file mode 100644
index 0000000..60d15f0
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/3/minimalpolynom.tex
@@ -0,0 +1,27 @@
+%
+% minimalpolynom.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Minimalpolynom}
+\begin{block}{Definition}
+Zu jeder $n\times n$-Matrix $A$
+gibt es ein Polynom $m_A(X)\in\Bbbk[X]$ minimalen Grades $\deg m_A\le n^2$
+derart, dass $m_A(A)=0$.
+\end{block}
+\begin{block}{Strategie}
+Das Minimalpolynom ist eine ``Invariante'' der Matrix $A$
+\end{block}
+\begin{block}{Satz von Cayley-Hamilton}
+Für jede $n\times n$-Matrix $A\in M_n(\Bbbk)$ gilt $\chi_A(A)=0$
+\[
+\Downarrow
+\]
+Das Minimalpolynom $m_A\in \Bbbk[X]$ ist ein Teiler
+des charakteristischen Polynoms $\chi_A\in \Bbbk[X]$
+\\
+$\Rightarrow $
+Faktorzerlegung on $\chi_A(X)$ ermitteln!
+\end{block}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/operatoren.tex b/vorlesungen/slides/3/operatoren.tex
new file mode 100644
index 0000000..20b7f3a
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/3/operatoren.tex
@@ -0,0 +1,48 @@
+%
+% operatoren.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{$X$ als Operator}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.38\textwidth}
+\begin{block}{Polynome}
+$a(X)=a_0+a_1X+\dots+a_nX^n$
+\[
+a(X)
+=
+\begin{pmatrix}
+a_0\\a_1\\a_2\\a_3\\\vdots\\a_nX^n
+\end{pmatrix}
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.58\textwidth}
+\begin{block}{Multiplikation mit $X$}
+\strut
+\[
+\begin{pmatrix}
+1\\0\\0\\0\\\vdots\\0
+\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}
+0\\1\\0\\0\\\vdots\\0
+\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}
+0\\0\\1\\0\\\vdots\\0
+\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}
+0\\0\\0\\1\\\vdots\\0
+\end{pmatrix}
+\mapsto\dots\mapsto
+\begin{pmatrix}
+0\\0\\0\\0\\\vdots\\1
+\end{pmatrix}
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/polynome.tex b/vorlesungen/slides/3/polynome.tex
index 6ca0009..161a4ed 100644
--- a/vorlesungen/slides/3/polynome.tex
+++ b/vorlesungen/slides/3/polynome.tex
@@ -3,7 +3,27 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\begin{frame}
+\begin{frame}[t]
 \frametitle{Polynome}
+$R$ ein Ring, z.~B.~$\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$
+
+\begin{definition}
+Polynome in $X$ mit Koeffizienten in $R$:
+\[
+R[X]
+=
+\{
+a(X)\;|\;
+a(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1} + \dots a_2X^2+a_1X + a_0, a_k\in R
+\}
+\]
+\end{definition}
+
+\begin{itemize}
+\item {\em Grad} des Polynoms: $\deg a(X) = \deg a = n$
+\item $\deg 0 = -\infty$
+\item {\em normiertes Polynom}: $a_n=1$
+\end{itemize}
+
 
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/ringstruktur.tex b/vorlesungen/slides/3/ringstruktur.tex
new file mode 100644
index 0000000..d653300
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/3/ringstruktur.tex
@@ -0,0 +1,50 @@
+%
+% ringstruktur.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Ringstruktur}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.46\textwidth}
+\begin{block}{Ring}
+Menge $R$ mit zwei zweistelligen Verknüfpungen $+$ und $\cdot$
+mit
+\begin{enumerate}
+\item<3->
+$R$ ist abelsche Gruppe bezüglich $+$
+\item<5->
+$R\setminus\{0\}$ ist ein Monoid bezüglich $\cdot$
+\item<7->
+Für alle $a,b,c\in R$
+\begin{align*}
+a(b+c) &= ab+ac
+\\
+(a+b)c &= ac+bc
+\end{align*}
+\end{enumerate}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.50\textwidth}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Polynomring}
+$R$ ein Ring, $R[X]$ ``erbt'' Addition und Multiplikation mit
+\begin{enumerate}
+\item<4->
+$R[X]$ ist abelsche Gruppe bezüglich $+$
+\item<6->
+$R[X]\setminus\{0\}$ ist ein Monoid bezüglich $\cdot$
+\item<8->
+Für alle $a,b,c\in R[X]$
+\begin{align*}
+a(b+c) &= ab+ac
+\\
+(a+b)c &= ac+bc
+\end{align*}
+\end{enumerate}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/3/teilbarkeit.tex b/vorlesungen/slides/3/teilbarkeit.tex
new file mode 100644
index 0000000..25e4fa6
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/3/teilbarkeit.tex
@@ -0,0 +1,44 @@
+%
+% teilbarkeit.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Teilen}
+\vspace{-15pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Teilen in $\mathbb{Z}$}
+Zu zwei Zahlen $a,b\in \mathbb{Z}$, $a>b$ gibt es
+immer genau ein Paar $q,r\in\mathbb{Z}$ derart, dass
+\begin{align*}
+a&=bq+r
+\\
+r&< b
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Teilen in $\mathbb{Q}[X]$}
+Zu zwei Polynomen $a,b\in\mathbb{Q}[X]$, $\deg a > \deg b$
+gibt es 
+immer genau ein Paar $q,r\in\mathbb{Q}[X]$ derart, dass
+\begin{align*}
+a&=bq+r
+\\
+\deg r&< \deg b
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\begin{block}{Allgmein: euklidischer Ring}
+Nullteilerfreier Ring $R$ mit einer Funktion
+$d\colon R\setminus{0}\to\mathbb{N}$ mit
+\begin{itemize}
+\item Für $x,y\in R$ gilt $d(xy) \ge d(x)$.
+\item Für $x,y\in R$ gibt es $q,r\in R$ derart
+$x=qy +r$ mit $d(y)>d(r)$
+\end{itemize}
+Euklidische Ringe haben ähnliche Eigenschaften wie Polynomringe
+\end{block}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex
index 0cc5452..24d9ffa 100644
--- a/vorlesungen/slides/test.tex
+++ b/vorlesungen/slides/test.tex
@@ -4,11 +4,25 @@
 % (c) 2019 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-%\folie{1/peano.tex}
-%\folie{1/ganz.tex}
-%\folie{1/bruch.tex}
-%\folie{1/ring.tex}
-\folie{1/schwierigkeiten.tex}
-\folie{1/vektorraum.tex}
-%\folie{3/polynome.tex}
 %\folie{3/motivation.tex}
+%\folie{3/polynome.tex}
+%\folie{3/division.tex}
+%\folie{3/division2.tex}
+%\folie{3/ringstruktur.tex}
+%\folie{3/teilbarkeit.tex}
+%\folie{3/faktorisierung.tex}
+%\folie{3/faktorzerlegung.tex}
+%\folie{3/einsetzen.tex}
+%\folie{3/maximalergrad.tex}
+%\folie{3/minimalbeispiel.tex}
+%\folie{3/minimalpolynom.tex}
+\folie{3/drehmatrix.tex}
+\folie{3/drehfaktorisierung.tex}
+\folie{3/operatoren.tex}
+\folie{3/adjunktion.tex}
+% XXX \folie{3/adjunktioni.tex}
+% XXX \folie{3/adjunktionsqrt2.tex}
+% XXX \folie{3/adjunktionphi.tex}
+% Adjunktion von \cos(\pi/1291) und \cos(\pi/1291)
+% XXX \folie{3/adj1291.tex}
+