endliche gruppen Präsentation

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diff --git a/vorlesungen/08_msegruppen/slides.tex b/vorlesungen/08_msegruppen/slides.tex
index 5997e50..f25f445 100644
--- a/vorlesungen/08_msegruppen/slides.tex
+++ b/vorlesungen/08_msegruppen/slides.tex
@@ -5,46 +5,50 @@
 %
 
 \section{Punktgruppen}
-% XXX Punktgruppen in der Ebene
-%\folie{6/punktgruppen/ebene.tex}
-% XXX semidirektes Produkt
-%\folie{6/punktgruppen/semidirekt.tex}
-% XXX Zyklische Gruppen/Drehgruppen um endliche Winkel
-%\folie{6/punktgruppen/c.tex}
-% XXX Diedergruppen
-%\folie{6/punktgruppen/d.tex}
-% XXX Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder
-%\folie{6/punktgruppen/p.tex}
-% XXX Anwendung Schrödingergleichung
+% Punktgruppen in der Ebene
+\folie{6/punktgruppen/ebene.tex}
+% semidirektes Produkt
+\folie{6/punktgruppen/semidirekt.tex}
+% Zyklische Gruppen/Drehgruppen um endliche Winkel
+\folie{6/punktgruppen/c.tex}
+% Diedergruppen
+\folie{6/punktgruppen/d.tex}
+% Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder
+\folie{6/punktgruppen/p.tex}
+% Anwendung Schrödingergleichung
 \folie{6/punktgruppen/chemie.tex}
 \folie{6/punktgruppen/aufspaltung.tex}
 
-\section{Permutationsgruppen}
-% XXX Permutationen, Transpositionen, Signum
-% XXX Alternierende Gruppe
-% Darstellung als Matrizen
-%\folie{6/permutationen/matrizen.tex}
+\section{Produkte}
+% direktes Produkt
+\folie{6/produkte/direkt.tex}
 
 \section{Normalteiler}
-% XXX Faktor
-% XXX Konjugationsklassen
+% freie Gruppen
+\folie{6/produkte/frei.tex}
+% Normalteiler
+\folie{6/normalteiler/normal.tex}
+% Konjugationsklassen
+\folie{6/normalteiler/konjugation.tex}
 
-\section{Produkte}
-% XXX direktes Produkt
-% XXX freie Gruppen
+\section{Permutationsgruppen}
+% Permutationen, Transpositionen, Signum
+% Alternierende Gruppe
+% Darstellung als Matrizen
+\folie{6/permutationen/matrizen.tex}
 
 \section{Darstellungen}
 % Was ist eine Darstellung?
-%\folie{6/darstellungen/definition.tex}
+\folie{6/darstellungen/definition.tex}
 % Charakter
-%\folie{6/darstellungen/charakter.tex}
-% XXX Summe
-%\folie{6/darstellungen/summe.tex}
-% XXX Irreduzible Darstellung
-%\folie{6/darstellungen/irreduzibel.tex}
-% XXX Folgerungen aus Schurs Lemma
-%\folie{6/darstellungen/schur.tex}
-% XXX Skalarprodukt
-%\folie{6/darstellungen/skalarprodukt.tex}
-% XXX Beispiel zyklische Gruppen
-%\folie{6/darstellungen/zyklisch.tex}
+\folie{6/darstellungen/charakter.tex}
+% Summe
+\folie{6/darstellungen/summe.tex}
+% Irreduzible Darstellung
+\folie{6/darstellungen/irreduzibel.tex}
+% Folgerungen aus Schurs Lemma
+\folie{6/darstellungen/schur.tex}
+% Skalarprodukt
+\folie{6/darstellungen/skalarprodukt.tex}
+% Beispiel zyklische Gruppen
+\folie{6/darstellungen/zyklisch.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/6/Makefile.inc
index 793d402..bc6882a 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/Makefile.inc
+++ b/vorlesungen/slides/6/Makefile.inc
@@ -12,6 +12,12 @@ chapter6 =								\
 	../slides/6/punktgruppen/chemie.tex				\
 	../slides/6/punktgruppen/aufspaltung.tex			\
 									\
+	../slides/6/produkte/frei.tex					\
+	../slides/6/produkte/direkt.tex					\
+									\
+	../slides/6/normalteiler/normal.tex				\
+	../slides/6/normalteiler/konjugation.tex			\
+									\
 	../slides/6/permutationen/matrizen.tex				\
 									\
 	../slides/6/darstellungen/definition.tex			\
diff --git a/vorlesungen/slides/6/chapter.tex b/vorlesungen/slides/6/chapter.tex
index 57db282..e1711d7 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/chapter.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/chapter.tex
@@ -12,6 +12,12 @@
 \folie{6/punktgruppen/chemie.tex}
 \folie{6/punktgruppen/aufspaltung.tex}
 
+\folie{6/produkte/frei.tex}
+\folie{6/produkte/direkt.tex}
+
+\folie{6/normalteiler/normal.tex}
+\folie{6/normalteiler/konjugation.tex}
+
 \folie{6/permutationen/matrizen.tex}
 
 \folie{6/darstellungen/definition.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex
index 6a6991e..bfbd4a5 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex
@@ -17,26 +17,30 @@ irreduzibel, wenn es keine Zerlegung von $\varrho$ in zwei
 Darstellungen $\varrho_i\colon G\to\operatorname{GL}(U_i)$ ($i=1,2$)
 gibt derart, dass $\varrho = \varrho_1\oplus\varrho_2$
 \end{block}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{Isomorphe Darstellungen}
 $\varrho_i$ sind {\em isomorphe} Darstellungen in $V_i$ wenn es
 $f\colon V_1\overset{\cong}{\to} V_2$ gibt mit
 \begin{align*}
 f \circ \varrho_i(g)\circ f^{-1} &= \varrho_2(g)
 \\
+\uncover<3->{%
 f \circ \varrho_i(g)\phantom{\mathstrut\circ f^{-1}}&= \varrho_2(g)\circ f 
+}
 \end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<4->{%
 \begin{block}{Lemma von Schur}
 $\varrho_i$ zwei irreduzible Darstellungen und $f$ so, dass
 $f\circ \varrho_1(g)=\varrho_2(g)\circ f$ für alle $g$.
 Dann gilt
 \begin{enumerate}
-\item $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $f=0$
-\item $V_1=V_2$ $\Rightarrow$ $f=\lambda I$
+\item<5-> $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $f=0$
+\item<6-> $V_1=V_2$ $\Rightarrow$ $f=\lambda I$
 \end{enumerate}
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex
index 69ce9ee..9f1db9e 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex
@@ -17,19 +17,21 @@ $h\colon V_1\to V_2$
 h^G = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_2(g)^{-1} \circ f \circ \varrho_1(g)
 \]
 \begin{enumerate}
-\item $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $h^G=0$
-\item $V_1=V_2$, $h^G = \frac1n\operatorname{Spur}h$
+\item<2-> $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $h^G=0$
+\item<3-> $V_1=V_2$, $h^G = \frac1n\operatorname{Spur}h$
 \end{enumerate}
 \end{block}
+\uncover<4->{%
 \begin{block}{Matrixelemente für $\varrho_i$ nicht isomorph}
 $\varrho_i$ nicht isomorph, dann ist
 \[
 \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_1(g^{-1})_{kl}\varrho_2(g)_{uv}=0
 \]
 für alle $k,l,u,v$
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<5->{%
 \begin{block}{Matrixelemente $V_1=V_2$, $\varrho_i$ iso}
 F¨r $k=v$ und $l=u$  gilt
 \[
@@ -38,7 +40,7 @@ F¨r $k=v$ und $l=u$  gilt
 \frac1n
 \]
 und $=0$ sonst
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex
index 653bdce..46cc8e9 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex
@@ -21,18 +21,21 @@ $\varphi$, $\psi$ komplexe Funktionen auf $G$:
 \end{block}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{Satz}
 \begin{enumerate}
 \item
 $\chi$ der Charakter einer irrediziblen Darstellung
 $\Rightarrow$ $\langle \chi,\chi\rangle=1$.
-\item
+\item<3->
 $\chi$ und $\chi'$ Charaktere nichtisomorpher Darstellungen
 $\Rightarrow$
 $\langle \chi,\chi'\rangle=0$
 \end{enumerate}
+\uncover<4->{%
 D.~h.~Charaktere irreduzibler Darstellungen sind orthonormiert
-\end{block}
+}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex
index 9152e1f..3087b4a 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex
@@ -20,39 +20,45 @@ Gegeben zwei Darstellungen
 \end{align*}
 \end{block}
 \vspace{-12pt}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{Direkte Summe der Darstellungen}
-\vspace{-12pt}
+%\vspace{-12pt}
 \begin{align*}
 \varrho_1\oplus\varrho_2
 &\colon
-G\to \mathbb{C}^{n_1+n_2} = \mathbb{C}^{n_1}\times\mathbb{C}^{n_2}
-=:
-\mathbb{C}^{n_1}\oplus\mathbb{C}^{n_2}
+G\to \mathbb{C}^{n_1+n_2}
+\only<3>{
+= \mathbb{C}^{n_1}\times\mathbb{C}^{n_2}}
+\uncover<4->{=:
+\mathbb{C}^{n_1}\oplus\mathbb{C}^{n_2}}
+\hspace*{5cm}
 \\
 &\colon g\mapsto (\varrho_1(g),\varrho_2(g))
 \end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
 \vspace{-12pt}
+\uncover<5->{%
 \begin{block}{Charakter}
-\vspace{-12pt}
+%\vspace{-12pt}
 \begin{align*}
 \chi_{\varrho_1\oplus\varrho_2}(g)
 &=
 \operatorname{Spur}(\varrho_1\oplus\varrho_2)(g)
 \\
-&=
+&\uncover<6->{=
 \operatorname{Spur}{\varrho_1(g)}
 +
-\operatorname{Spur}{\varrho_1(g)}
+\operatorname{Spur}{\varrho_1(g)}}
 \\
-&=
+&\uncover<7->{=
 \chi_{\varrho_1}(g)
 +
-\chi_{\varrho_2}(g)
+\chi_{\varrho_2}(g)}
 \end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<8->{%
 \begin{block}{Tensorprodukt}
 $n_1\times n_2$-dimensionale
 Darstellung $\varrho_1\otimes\varrho_2$ mit Matrix
@@ -67,15 +73,16 @@ Darstellung $\varrho_1\otimes\varrho_2$ mit Matrix
 		&\varrho_1(g)_{n_1n_1} \varrho_2(g)
 \end{pmatrix}
 \]
-Die ``Einträge'' sind $n_2\times n_2$-Blöcke
-\end{block}
+\uncover<9->{Die ``Einträge'' sind $n_2\times n_2$-Blöcke}
+\end{block}}
+\uncover<10->{%
 \begin{block}{Darstellungsring}
 Die Menge der Darstellungen $R(G)$  einer Gruppe hat
 einer Ringstruktur mit $\oplus$ und $\otimes$
 \\
-$\Rightarrow$
-Algebra zum Studium der möglichen Darstellungen von $G$ verwenden
-\end{block}
+\uncover<11->{$\Rightarrow$
+Algebra zum Studium der möglichen Darstellungen von $G$ verwenden}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex
index 6e36d1d..312d0e8 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex
@@ -16,15 +16,17 @@
 C_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}
 \)
 \end{block}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{Darstellungen von $C_n$}
 Gegeben durch $\varrho_k(1)=e^{2\pi i k/n}$,
 \[
 \varrho_k(l) = e^{2\pi ikl/n}
 \]
-\end{block}
+\end{block}}
 \vspace{-10pt}
+\uncover<3->{
 \begin{block}{Charaktere}
-\vspace{-10pt}
+%\vspace{-10pt}
 \[
 \chi_k(l) = e^{2\pi ikl/n}
 \]
@@ -38,13 +40,15 @@ haben Skalarprodukte
 \end{cases}
 \]
 Die Darstellungen $\chi_k$ sind nicht isomorph
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<5->{%
 \begin{block}{Orthonormalbasis}
 Die Funktionen $\chi_k$ bilden eine Orthonormalbasis von $L^2(C_n)$
-\end{block}
+\end{block}}
 \vspace{-4pt}
+\uncover<6->{%
 \begin{block}{Analyse einer Darstellung}
 $\varrho\colon C_n\to \mathbb{C}^n$ eine Darstellung,
 $\chi_\varrho$ der Charakter lässt zerlegen:
@@ -53,24 +57,27 @@ c_k
 &=
 \langle \chi_k, \chi\rangle = \frac{1}{n} \sum_{l} \chi_k(l) e^{-2\pi ilk/n}
 \\
+\uncover<7->{
 \chi(l)
 &=
 \sum_{k} c_k \chi_k
 =
 \sum_{k} c_k e^{2\pi ikl/n}
+}
 \end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
 \vspace{-13pt}
+\uncover<8->{%
 \begin{block}{Fourier-Theorie}
 \vspace{-3pt}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{>{$}l<{$}l}
-C_n&Diskrete Fourier-Theorie\\
-U(1)&Fourier-Reihen\\
-\mathbb{R}&Fourier-Integral
+\uncover<9->{C_n&Diskrete Fourier-Theorie}\\
+\uncover<10->{U(1)&Fourier-Reihen}\\
+\uncover<11->{\mathbb{R}&Fourier-Integral}
 \end{tabular}
 \end{center}
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/normalteiler/konjugation.tex b/vorlesungen/slides/6/normalteiler/konjugation.tex
new file mode 100644
index 0000000..70ce01f
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/normalteiler/konjugation.tex
@@ -0,0 +1,77 @@
+%
+% konjugation.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Konjugation}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{``Basiswechsel''}
+In der Gruppe $\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$
+\[
+A' = TAT^{-1}
+\]
+$T\in\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$
+\\
+$A$ und $A'$ sind ``gleichwertig''
+\end{block}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Definition}
+$g_1,g_2\in G$ sind {\em konjugiert}, wenn es
+$h\in G$ gibt mit
+\[
+g_1 = hg_2h^{-1}
+\]
+\end{block}}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{Beispiel}
+Konjugierte Elemente in $\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$ haben die
+gleiche Spur und Determinante
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<4->{%
+\begin{block}{Konjugationsklasse}
+Die Konjugationsklasse von $g$ ist
+\[
+\llbracket g\rrbracket
+=
+\{h\in G\;|\; \text{$h$ konjugiert zu $g$}\}
+\]
+\end{block}}
+\vspace{-7pt}
+\uncover<5->{%
+\begin{block}{Klassenzerlegung}
+\begin{align*}
+G
+&=
+\{e\}
+\cup
+\llbracket g_1\rrbracket
+\cup
+\llbracket g_2\rrbracket
+\cup
+\dots
+\\
+&\uncover<6->{=
+C_e\cup C_1 \cup C_2\cup\dots}
+\end{align*}
+\end{block}}
+\vspace{-7pt}
+\uncover<7->{%
+\begin{block}{Klassenfunktionen}
+Funktionen, die auf Konjugationsklassen konstant sind
+\end{block}}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Beispiele}
+Spur, Determinante
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/normalteiler/normal.tex b/vorlesungen/slides/6/normalteiler/normal.tex
new file mode 100644
index 0000000..42336b9
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/normalteiler/normal.tex
@@ -0,0 +1,79 @@
+%
+% normal.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Normalteiler}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Gegeben}
+Eine Gruppe $G$ mit Untergruppe $N\subset G$
+\end{block}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Bedingung}
+Welche Eigenschaft muss $N$ zusätzlich haben,
+damit 
+\[
+G/N
+=
+\{ gN \;|\; g\in G\}
+\]
+eine Gruppe wird.
+
+\uncover<3->{Wähle Repräsentaten $g_1N=g_2N$}
+\uncover<4->{%
+\begin{align*}
+g_1g_2N
+&\uncover<5->{=
+g_1g_2NN}
+\uncover<6->{=
+g_1g_2Ng_2^{-1}g_2N}
+\\
+&\uncover<7->{=
+g_1(g_2Ng_2^{-1})g_2N}
+\\
+&\uncover<8->{\stackrel{?}{=} g_1Ng_2N}
+\end{align*}}
+\uncover<9->{Funktioniert nur wenn $g_2Ng_2^{-1}=N$ ist}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<10->{%
+\begin{block}{Universelle Eigenschaft}
+Ist $\varphi\colon G\to G'$ ein Homomorphismus mit $\varphi(N)=\{e\}$%
+\uncover<11->{, dann gibt es einen Homomorphismus $G/N\to G'$:}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\coordinate (N) at (-2.5,0);
+\coordinate (G) at (0,0);
+\coordinate (quotient) at (2.5,0);
+\coordinate (Gprime) at (0,-2.5);
+\coordinate (e) at (-2.5,-2.5);
+\node at (N) {$N$};
+\node at (e) {$\{e\}$};
+\node at (G) {$G$};
+\node at (Gprime) {$G'$};
+\node at (quotient) {$G/N$};
+\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm] (N) -- (G);
+\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm] (N) -- (e);
+\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm] (e) -- (Gprime);
+\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm] (G) -- (Gprime);
+\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (G) -- (quotient);
+\uncover<11->{
+\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm,color=red] (quotient) -- (Gprime);
+\node[color=red] at ($0.5*(quotient)+0.5*(Gprime)$) [below right] {$\exists!$};
+}
+\node at ($0.5*(quotient)$) [above] {$\pi$};
+\node at ($0.5*(Gprime)$) [left] {$\varphi$};
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/permutationen/matrizen.tex b/vorlesungen/slides/6/permutationen/matrizen.tex
index 346993d..d40c396 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/permutationen/matrizen.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/permutationen/matrizen.tex
@@ -20,6 +20,7 @@ e_i \mapsto e_{\sigma(i)}
 \]
 ($e_i$ Standardbasisvektor)
 \end{block}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{Lineare Abbildung}
 $f$ kann erweitert werden zu einer linearen Abbildung
 \[
@@ -31,9 +32,10 @@ $f$ kann erweitert werden zu einer linearen Abbildung
 \mapsto
 \sum_{k=1}^n a_i f(e_i)
 \]
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<3->{%
 \begin{block}{Permutationsmatrix}
 Matrix $A_{\tilde{f}}$ der linearen Abbildung $\tilde{f}$
 hat die Matrixelemente
@@ -45,10 +47,11 @@ a_{ij}
 0&\qquad\text{sonst}
 \end{cases}
 \]
-\end{block}
+\end{block}}
 \vspace{-10pt}
+\uncover<4->{%
 \begin{block}{Beispiel}
-\vspace{-20pt}
+\vspace{-10pt}
 \[
 \begin{pmatrix}
 1&2&3&4\\
@@ -62,13 +65,14 @@ a_{ij}
 0&0&1&0
 \end{pmatrix}
 \]
-\end{block}
+\end{block}}
 \vspace{-10pt}
+\uncover<5->{%
 \begin{block}{Homomorphismus}
 Die Abbildung
 $S_n\to\operatorname{GL}(\Bbbk)\colon \sigma \mapsto A_{\tilde{f}}$
 ist ein Homomorphismus
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/produkte/direkt.tex b/vorlesungen/slides/6/produkte/direkt.tex
new file mode 100644
index 0000000..c851335
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/produkte/direkt.tex
@@ -0,0 +1,66 @@
+%
+% direkt.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Direktes Produkt}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Definition}
+Zwei Gruppen $H_1$ und $H_2$
+\\
+Gruppe $G=H_1\times H_2$ mit
+\begin{itemize}
+\item<2-> Elemente  $(h_1,h_2)\in H_1\times H_2$
+\item<3-> Neutrales Element $(e_1,e_2)$
+\item<4-> Inverses Elemente $(h_1,h_2)^{-1}=(h_1^{-1},h_2^{-1})$
+\end{itemize}
+heisst {\em direktes Produkt}
+\end{block}
+\uncover<5->{%
+\begin{block}{Vertauschbarkeit}
+Das direkte Produkt ist ein Produkt, in dem Elemente von $H_1$ und
+$H_2$ vollständig vertauschbar sind
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<6->{%
+\begin{block}{Universelle Eigenschaft}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\coordinate (S) at (0,2.5);
+\coordinate (H1) at (-2.5,0);
+\coordinate (H2) at (2.5,0);
+
+\node at (H1) {$H_1$};
+\node at (H2) {$H_2$};
+\node at (0,0) {$H_1\times H_2$};
+\node at (S) {$S$};
+
+\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.8cm] (0,0) -- (H1);
+\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.8cm] (0,0) -- (H2);
+
+\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.25cm] (S) -- (H1);
+\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.25cm] (S) -- (H2);
+
+\node at ($0.5*(S)+0.5*(H1)$) [above left] {$f_1$};
+\node at ($0.5*(S)+0.5*(H2)$) [above right] {$f_2$};
+
+\uncover<7->{
+\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.25cm,color=red] (S) -- (0,0);
+\node[color=red] at ($0.36*(S)$) [left] {$f_1\times f_2$};
+\node[color=red] at ($0.36*(S)$) [right] {$\exists!$};
+}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/produkte/frei.tex b/vorlesungen/slides/6/produkte/frei.tex
new file mode 100644
index 0000000..6c23e6b
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/produkte/frei.tex
@@ -0,0 +1,79 @@
+%
+% template.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Freie Gruppen}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Gruppe aus Symbolen}
+Erzeugende Elemente $\{a,b,c,\dots\}$
+\\
+\uncover<2->{%
+Wörter = 
+Folgen von Symbolen $a$, $a^{-1}$, $b$, $b^{-1}$}
+\\
+\uncover<3->{
+{\em freie Gruppe}:
+\begin{align*}
+F&=\langle a,b,c,\dots\rangle
+\\
+&=
+\{\text{Wörter}\}
+/\text{Kürzungsregel}
+\end{align*}}
+\vspace{-10pt}
+\begin{itemize}
+\item<4-> neutrales Element: $e = \text{leere Symbolfolge}$
+\item<5-> Gruppenoperation: Verkettung
+\item<6-> Kürzungsregel:
+\begin{align*}
+xx^{-1}&\to e,
+&
+x^{-1}x&\to e
+\end{align*}
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<7->{%
+\begin{block}{Universelle Eigenschaft}
+$g_i\in G$, dann gibt es genau einen Homomorphismus
+\[
+\varphi
+\colon
+\langle g_i| 1\le i\le k\rangle
+\to
+G
+\]
+\end{block}}
+\vspace{-10pt}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Quotient einer freien Gruppe}
+Jede endliche Gruppe ist Quotient einer freien Gruppe
+\[
+N
+\xhookrightarrow{}
+\langle g_i\rangle
+\twoheadrightarrow
+G
+\]
+oder
+\[
+G = \langle g_i\rangle / N
+\]
+\end{block}}
+\vspace{-10pt}
+\uncover<11->{%
+\begin{block}{Maximal nichtkommutativ}
+Die freie Gruppe ist die ``maximal nichtkommutative'' Gruppe
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/c.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/c.tex
index 5394f51..80790b1 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/c.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/c.tex
@@ -21,6 +21,7 @@
 \end{block}
 \end{column}
 \begin{column}{0.33\textwidth}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{$C_{nv}$}
 \begin{center}
 \includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/cnv.jpg}
@@ -29,9 +30,10 @@
 \item Eine $n$-zählige Achse
 \item $n$ dazu senkrechte Symmetrieebenen
 \end{itemize}
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.33\textwidth}
+\uncover<3->{%
 \begin{block}{$C_{nh}$}
 \begin{center}
 \includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/cnh.jpg}
@@ -40,7 +42,7 @@
 \item Eine $n$-zählige Achse
 \item Eine dazu senkrechte Spiegelebene
 \end{itemize}
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/chemie.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/chemie.tex
index 43e8dc4..7f8b7a8 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/chemie.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/chemie.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
 \begin{frame}[t]
 \setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
 \setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
-\frametitle{Anwendung}
+\frametitle{Anwendung: Energieniveaus eines Atoms}
 \vspace{-20pt}
 \begin{columns}[t,onlytextwidth]
 \begin{column}{0.48\textwidth}
@@ -23,6 +23,7 @@ E\Psi
 \]
 $V(x)$ = Potential der Atomkerne eines Molekuls
 \end{block}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{Symmetrien}
 $g\in\operatorname{O}(3)$  wirkt auf $V$ und $\Psi$
 \begin{align*}
@@ -31,9 +32,10 @@ $g\in\operatorname{O}(3)$  wirkt auf $V$ und $\Psi$
 (g\cdot \Psi)(x) &= \Psi(g\cdot x)
 \end{align*}
 Symmetrie von $V$: $g\cdot V=V$
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<3->{%
 \begin{block}{Lösungen}
 Eigenfunktionen $\Psi$ zum Eigenwert $E$
 \[
@@ -43,16 +45,18 @@ g\cdot \Psi
 \text{ Lösung}
 \]
 mit gleichem Eigenwert!
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<4->{%
 \begin{block}{Eigenräume}
 Die Symmetriegruppe $G\subset \operatorname{O}(3)$ eines Moleküls
 operiert auf dem Eigenraum
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<5->{%
 \begin{block}{Externe Felder}
 Externe Felder zerstören die Symmetrie
 $\Rightarrow$
 die Energieniveaus/Spektrallinien spalten sich auf
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/d.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/d.tex
index a4824b5..9dd0a7a 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/d.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/d.tex
@@ -15,6 +15,7 @@
 \begin{center}
 \includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/dn.jpg}
 \end{center}
+\vspace{-8pt}
 \begin{itemize}
 \item $C_n$ Achse
 \item $n$ $C_2$ Achse senkrecht dazu
@@ -22,26 +23,30 @@
 \end{block}
 \end{column}
 \begin{column}{0.33\textwidth}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{$D_{nd}$}
 \begin{center}
 \includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/dnd.jpg}
 \end{center}
+\vspace{-8pt}
 \begin{itemize}
 \item $D_n$ Achse
 \item $n$ winkelhalbierende Spiegelebenen der $C_2$-Achsen
 \end{itemize}
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.33\textwidth}
+\uncover<3->{%
 \begin{block}{$D_{nh}$}
 \begin{center}
 \includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/dnh.jpg}
 \end{center}
+\vspace{-8pt}
 \begin{itemize}
 \item $D_n$ Achse
 \item Spiegelbene senkrecht dazu
 \end{itemize}
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/p.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/p.tex
index 908e76a..ea51e93 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/p.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/p.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
 \begin{frame}[t]
 \setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
 \setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
-\frametitle{Drehgruppen}
+\frametitle{Platonische Körper}
 \vspace{-20pt}
 \begin{columns}[t,onlytextwidth]
 \begin{column}{0.33\textwidth}
@@ -18,18 +18,20 @@
 \end{block}
 \end{column}
 \begin{column}{0.33\textwidth}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{$O = O_h \cap \operatorname{SO(3)}$}
 \begin{center}
 \includegraphics[width=0.8\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/toi/O.jpg}
 \end{center}
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.33\textwidth}
+\uncover<3->{%
 \begin{block}{$I = I_h \cap \operatorname{SO(3)}$}
 \begin{center}
 \includegraphics[width=0.8\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/toi/I.jpg}
 \end{center}
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex
index b8636be..69c1173 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex
@@ -23,53 +23,57 @@ G\ltimes A
 \]
 heisst {\em semidirektes Produkt}.
 \begin{itemize}
-\item
+\item<2->
 Neutrales Element: $(e,0)$
-\item
+\item<3->
 Gruppenoperation
 \[
 (h_1,a_1)\cdot(h_2,a_2)
 =
 (h_1h_2, a_1 + \vartheta(h_1)a_2)
 \]
-\item
+\item<4->
 Inverse:
 $(h,a)^{-1}
 =
 (h^{-1},-\vartheta(h)^{-1}a)
 $
+\uncover<5->{%
 Kontrolle:
 \begin{align*}
 &\phantom{\mathstrut=\mathstrut}
 (h,a)\cdot (h^{-1},-\vartheta(h)^{-1}a)
 \\
-&=(hh^{-1},a-\vartheta(h)\vartheta(h)^{-1}a)
-=(e,0)
-\end{align*}
+&\uncover<6->{=(hh^{-1},a-\vartheta(h)\vartheta(h)^{-1}a)}
+\uncover<7->{=(e,0)}
+\end{align*}}
 \end{itemize}
 \end{block}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<8->{%
 \begin{block}{Drehungen und Spiegelungen von $\mathbb{R}^2$}
 Spiegelung: $C_2$
 Drehungen der: $\operatorname{SO}(2)$
 Drehungen und Spiegelungen:
 $C_2\ltimes \operatorname{SO}(2)=O(2)$
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<9->{%
 \begin{block}{Drehungen und Translationen}
 Drehungen: $H=\operatorname{SO}(2)$
 \\
 Translationen: $A=\mathbb{R}^2$
 \\
 Bewegungen der Ebene: $\operatorname{SO}(2)\ltimes \mathbb{R}^2$
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<10->{%
 \begin{block}{Dopplereffekt und Laufzeit}
 Dopplereffekt: $\mathbb{R}^+$ (Skalierung)
 \\
 Laufzeit: $\mathbb{R}$ (Verschiebung)
 \\
 Skalierung und Verschiebung: $\mathbb{R}^+\ltimes \mathbb{R}$
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}