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diff --git a/vorlesungen/08_msegruppen/Makefile b/vorlesungen/08_msegruppen/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..913be49
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/08_msegruppen/Makefile
@@ -0,0 +1,33 @@
+#
+# Makefile -- gruppen
+#
+# (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+#
+all:	gruppen-handout.pdf MathSemMSE-08-gruppen.pdf
+
+include ../slides/Makefile.inc
+
+SOURCES = common.tex slides.tex $(slides)
+
+MathSemMSE-08-gruppen.pdf:	MathSemMSE-08-gruppen.tex $(SOURCES)
+	pdflatex MathSemMSE-08-gruppen.tex
+
+gruppen-handout.pdf:	gruppen-handout.tex $(SOURCES)
+	pdflatex gruppen-handout.tex
+
+thumbnail:	thumbnail.jpg # fix1.jpg
+
+thumbnail.pdf:	MathSemMSE-08-gruppen.pdf
+	pdfjam --outfile thumbnail.pdf --papersize '{16cm,9cm}' \
+		MathSemMSE-08-gruppen.pdf 1
+thumbnail.jpg:	thumbnail.pdf
+	convert -density 300 thumbnail.pdf \
+                -resize 1920x1080 -units PixelsPerInch thumbnail.jpg
+
+fix1.pdf:	MathSemMSE-08-gruppen.pdf
+	pdfjam --outfile fix1.pdf --papersize '{16cm,9cm}' \
+		MathSemMSE-08-gruppen.pdf 1
+fix1.jpg:	fix1.pdf
+	convert -density 300 fix1.pdf \
+                -resize 1920x1080 -units PixelsPerInch fix1.jpg
+
diff --git a/vorlesungen/08_msegruppen/MathSemMSE-08-gruppen.tex b/vorlesungen/08_msegruppen/MathSemMSE-08-gruppen.tex
new file mode 100644
index 0000000..ac198be
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/08_msegruppen/MathSemMSE-08-gruppen.tex
@@ -0,0 +1,14 @@
+%
+% MathSem-08-msegruppen.tex -- Präsentation 
+%
+% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\documentclass[aspectratio=169]{beamer}
+\input{common.tex}
+\setboolean{presentation}{true}
+\begin{document}
+\begin{frame}
+\titlepage
+\end{frame}
+\input{slides.tex}
+\end{document}
diff --git a/vorlesungen/08_msegruppen/common.tex b/vorlesungen/08_msegruppen/common.tex
new file mode 100644
index 0000000..9dff6ed
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/08_msegruppen/common.tex
@@ -0,0 +1,16 @@
+%
+% common.tex -- gemeinsame definition
+%
+% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\input{../common/packages.tex}
+\input{../common/common.tex}
+\mode<beamer>{%
+\usetheme[hideothersubsections,hidetitle]{Hannover}
+}
+\beamertemplatenavigationsymbolsempty
+\title[Gruppen]{Endliche Gruppen}
+\author[A.~Müller]{Prof. Dr. Andreas Müller}
+\date[]{}
+\newboolean{presentation}
+
diff --git a/vorlesungen/08_msegruppen/gruppen-handout.tex b/vorlesungen/08_msegruppen/gruppen-handout.tex
new file mode 100644
index 0000000..48ad5c2
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/08_msegruppen/gruppen-handout.tex
@@ -0,0 +1,11 @@
+%
+% msegruppen-handout.tex -- Handout XXX
+%
+% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\documentclass[handout,aspectratio=169]{beamer}
+\input{common.tex}
+\setboolean{presentation}{false}
+\begin{document}
+\input{slides.tex}
+\end{document}
diff --git a/vorlesungen/08_msegruppen/slides.tex b/vorlesungen/08_msegruppen/slides.tex
new file mode 100644
index 0000000..bfc99cd
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/08_msegruppen/slides.tex
@@ -0,0 +1,42 @@
+%
+% slides.tex -- XXX
+%
+% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+
+\section{Punktgruppen}
+% XXX Zyklische Gruppen/Drehgruppen um endliche Winkel
+% XXX Diedergruppen
+% XXX Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder
+% XXX Darstellung als Matrizen
+
+\section{Permutationsgruppen}
+% XXX Permutationen, Transpositionen, Signum
+% XXX Alternierende Gruppe
+% Darstellung als Matrizen
+%\folie{6/permutationen/matrizen.tex}
+
+\section{Normalteiler}
+% XXX Faktor
+% XXX Konjugationsklassen
+
+\section{Produkte}
+% XXX direktes Produkt
+% XXX semidirektes Produkt
+% XXX freie Gruppen
+
+\section{Darstellungen}
+% Was ist eine Darstellung?
+%\folie{6/darstellungen/definition.tex}
+% Charakter
+%\folie{6/darstellungen/charakter.tex}
+% XXX Summe
+\folie{6/darstellungen/summe.tex}
+% XXX Irreduzible Darstellung
+\folie{6/darstellungen/irreduzibel.tex}
+% XXX Folgerungen aus Schurs Lemma
+\folie{6/darstellungen/schur.tex}
+% XXX Skalarprodukt
+\folie{6/darstellungen/skalarprodukt.tex}
+% XXX Beispiel zyklische Gruppen
+\folie{6/darstellungen/zyklisch.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/6/Makefile.inc
new file mode 100644
index 0000000..b46d6b6
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/Makefile.inc
@@ -0,0 +1,18 @@
+#
+# Makefile.inc -- additional depencencies
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+chapter6 =								\
+	../slides/6/permutationen/matrizen.tex				\
+									\
+	../slides/6/darstellungen/definition.tex			\
+	../slides/6/darstellungen/charakter.tex				\
+	../slides/6/darstellungen/summe.tex				\
+	../slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex			\
+	../slides/6/darstellungen/schur.tex				\
+	../slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex			\
+	../slides/6/darstellungen/zyklisch.tex				\
+									\
+	../slides/6/chapter.tex
+
diff --git a/vorlesungen/slides/6/chapter.tex b/vorlesungen/slides/6/chapter.tex
new file mode 100644
index 0000000..37f442d
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/chapter.tex
@@ -0,0 +1,16 @@
+%
+% chapter.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswi
+%
+
+\folie{6/permutationen/matrizen.tex}
+
+\folie{6/darstellungen/definition.tex}
+\folie{6/darstellungen/charakter.tex}
+\folie{6/darstellungen/summe.tex}
+\folie{6/darstellungen/irreduzibel.tex}
+\folie{6/darstellungen/schur.tex}
+\folie{6/darstellungen/skalarprodukt.tex}
+\folie{6/darstellungen/zyklisch.tex}
+
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/charakter.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/charakter.tex
new file mode 100644
index 0000000..ea90b6d
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/charakter.tex
@@ -0,0 +1,108 @@
+%
+% chrakter.tex -- Charakter einer Darstellung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Charakter einer Darstellung}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.44\textwidth}
+\begin{block}{Definition}
+$\varrho\colon G\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ eine Darstellung.
+\\
+Der {\em Charakter} von $\varrho$ ist die Abbildung
+\[
+\chi_{\varrho}
+\colon
+G\to \mathbb{C}^n
+:
+g\mapsto \chi_{\varrho}(g)=\operatorname{Spur}\varrho(g)
+\]
+\end{block}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Eigenschaften}
+\begin{enumerate}
+\item
+$\chi_{\varrho}(e) = n$
+\item<6->
+$\chi_{\varrho}(g^{-1}) = \overline{\chi_{\varrho}(g)}$
+\item<15->
+$\chi_{\varrho}(hgh^{-1}) = \chi_{\varrho}(g)$
+\end{enumerate}
+\uncover<21->{%
+Aus 3. folgt, dass Charaktere {\em Klassenfunktionen} sind}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.52\textwidth}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Begründung}
+\begin{enumerate}
+\item<3->
+$\chi_{\varrho}(e)
+=
+\operatorname{Spur}\varrho(e)
+\uncover<4->{=
+\operatorname{Spur}I_n}
+\uncover<5->{=
+n}
+$
+\item<6->
+$g$ hat endliche Ordnung, d.~h.~$g^k=e$
+\\
+\uncover<7->{%
+$\lambda_i$ in der Jordan-NF erfüllen $\lambda_i^k=1$}
+\\
+$\uncover<8->{\Rightarrow|\lambda_i|=1}
+\uncover<9->{\Rightarrow \lambda_i^{-1} = \overline{\lambda_i}}$
+\begin{align*}
+\uncover<10->{
+\llap{$\chi_{\varrho}(g^{-1})$}
+&=
+\operatorname{Spur}(\varrho(g^{-1}))}
+\uncover<11->{=
+\sum_{i} n_i\overline{\lambda_i}}
+\\[-4pt]
+&\uncover<12->{=
+\overline{
+\sum_{i} n_i\lambda_i
+}}
+\uncover<13->{=
+\operatorname{Spur}\varrho(g)}
+\uncover<14->{=
+\chi_{\varrho}(g)}
+\end{align*}
+\item<16->
+Durch Nachrechnen:
+\begin{align*}
+\chi_{\varrho}(hgh^{-1})
+&\uncover<17->{=
+\operatorname{Spur}
+(
+\varrho(h)
+\varrho(g)
+\varrho(h^{-1})
+)}
+\\
+&\uncover<18->{=
+\operatorname{Spur}
+(
+\varrho(h^{-1})
+\varrho(h)
+\varrho(g)
+)}
+\\
+&\uncover<19->{=
+\operatorname{Spur}\varrho(g)}
+\uncover<20->{=
+\chi_{\varrho}(g)}
+\end{align*}
+\end{enumerate}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/definition.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/definition.tex
new file mode 100644
index 0000000..9d93e7f
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/definition.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+%
+% definition.tex -- Definition einer Darstellung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Darstellung}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Definition}
+$G$ eine Gruppe, $V$ ein $\Bbbk$-Vektorraum.
+\\
+\uncover<2->{%
+Ein Homomorphismus
+\[
+\varrho
+\colon
+G\to \operatorname{GL}(V)
+\]
+heisst {\em $n$-dimensionale Darstellung} der Gruppe $G$.}
+\end{block}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{Idee}
+Algebra und Analysis in $\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$ nutzen, um
+mehr über $G$ herauszufinden
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<4->{%
+\begin{block}{Beispiel $S_n$}
+$S_n$ die symmetrische Gruppe,
+$\sigma\mapsto A_{\tilde{f}}$ die
+Abbildung auf die zugehörige Permutationsmatrix
+ist eine $n$-dimensionale Darstellung von $S_n$
+\end{block}}
+\uncover<5->{%
+\begin{block}{Beispiel Matrizengruppe}
+Eine Matrizengruppe $G$ ist eine Teilmenge von $M_n(\Bbbk)$.
+\\
+\uncover<6->{%
+$g\in G \Rightarrow g^{-1}\in G$, daher $G\subset\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$}
+\\
+\uncover<7->{%
+Die Einbettung
+\[
+G\to\operatorname{GL}_n(\Bbbk)
+:
+g \mapsto g
+\]
+ist eine Darstellung}\uncover<8->{, die sog.~{\em reguläre Darstellung}}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex
new file mode 100644
index 0000000..6a6991e
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex
@@ -0,0 +1,43 @@
+%
+% irreduzibel.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Irreduzible Darstellungen}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Definition}
+Eine Darstellung $\varrho\colon G\to\operatorname{GL}(V)$ heisst
+irreduzibel, wenn es keine Zerlegung von $\varrho$ in zwei
+Darstellungen $\varrho_i\colon G\to\operatorname{GL}(U_i)$ ($i=1,2$)
+gibt derart, dass $\varrho = \varrho_1\oplus\varrho_2$
+\end{block}
+\begin{block}{Isomorphe Darstellungen}
+$\varrho_i$ sind {\em isomorphe} Darstellungen in $V_i$ wenn es
+$f\colon V_1\overset{\cong}{\to} V_2$ gibt mit
+\begin{align*}
+f \circ \varrho_i(g)\circ f^{-1} &= \varrho_2(g)
+\\
+f \circ \varrho_i(g)\phantom{\mathstrut\circ f^{-1}}&= \varrho_2(g)\circ f 
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Lemma von Schur}
+$\varrho_i$ zwei irreduzible Darstellungen und $f$ so, dass
+$f\circ \varrho_1(g)=\varrho_2(g)\circ f$ für alle $g$.
+Dann gilt
+\begin{enumerate}
+\item $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $f=0$
+\item $V_1=V_2$ $\Rightarrow$ $f=\lambda I$
+\end{enumerate}
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex
new file mode 100644
index 0000000..69ce9ee
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex
@@ -0,0 +1,45 @@
+%
+% schur.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Folgerungen aus Schurs Lemma}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Mittelung einer Abbildung}
+$h\colon V_1\to V_2$
+\[
+h^G = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_2(g)^{-1} \circ f \circ \varrho_1(g)
+\]
+\begin{enumerate}
+\item $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $h^G=0$
+\item $V_1=V_2$, $h^G = \frac1n\operatorname{Spur}h$
+\end{enumerate}
+\end{block}
+\begin{block}{Matrixelemente für $\varrho_i$ nicht isomorph}
+$\varrho_i$ nicht isomorph, dann ist
+\[
+\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_1(g^{-1})_{kl}\varrho_2(g)_{uv}=0
+\]
+für alle $k,l,u,v$
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Matrixelemente $V_1=V_2$, $\varrho_i$ iso}
+F¨r $k=v$ und $l=u$  gilt
+\[
+\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_1(g^{-1})_{kl} \varrho_2(g)_{uv}
+=
+\frac1n
+\]
+und $=0$ sonst
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex
new file mode 100644
index 0000000..653bdce
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex
@@ -0,0 +1,39 @@
+%
+% skalarprodukt.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Skalarprodukt}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Definition des Skalarproduktes}
+$\varphi$, $\psi$ komplexe Funktionen auf $G$:
+\[
+\langle \varphi,\psi\rangle
+=
+\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \overline{\varphi(g)} \psi(g)
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Satz}
+\begin{enumerate}
+\item
+$\chi$ der Charakter einer irrediziblen Darstellung
+$\Rightarrow$ $\langle \chi,\chi\rangle=1$.
+\item
+$\chi$ und $\chi'$ Charaktere nichtisomorpher Darstellungen
+$\Rightarrow$
+$\langle \chi,\chi'\rangle=0$
+\end{enumerate}
+D.~h.~Charaktere irreduzibler Darstellungen sind orthonormiert
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex
new file mode 100644
index 0000000..9152e1f
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex
@@ -0,0 +1,82 @@
+%
+% Summe.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Direkte Summe}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Gegeben}
+Gegeben zwei Darstellungen
+\begin{align*}
+\varrho_1&\colon G \to \mathbb{C}^{n_1}
+\\
+\varrho_2&\colon G \to \mathbb{C}^{n_2}
+\end{align*}
+\end{block}
+\vspace{-12pt}
+\begin{block}{Direkte Summe der Darstellungen}
+\vspace{-12pt}
+\begin{align*}
+\varrho_1\oplus\varrho_2
+&\colon
+G\to \mathbb{C}^{n_1+n_2} = \mathbb{C}^{n_1}\times\mathbb{C}^{n_2}
+=:
+\mathbb{C}^{n_1}\oplus\mathbb{C}^{n_2}
+\\
+&\colon g\mapsto (\varrho_1(g),\varrho_2(g))
+\end{align*}
+\end{block}
+\vspace{-12pt}
+\begin{block}{Charakter}
+\vspace{-12pt}
+\begin{align*}
+\chi_{\varrho_1\oplus\varrho_2}(g)
+&=
+\operatorname{Spur}(\varrho_1\oplus\varrho_2)(g)
+\\
+&=
+\operatorname{Spur}{\varrho_1(g)}
++
+\operatorname{Spur}{\varrho_1(g)}
+\\
+&=
+\chi_{\varrho_1}(g)
++
+\chi_{\varrho_2}(g)
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Tensorprodukt}
+$n_1\times n_2$-dimensionale
+Darstellung $\varrho_1\otimes\varrho_2$ mit Matrix
+\[
+\begin{pmatrix}
+\varrho_1(g)_{11} \varrho_2(g)
+	&\dots
+		&\varrho_1(g)_{1n_1} \varrho_2(g)\\
+\vdots&\ddots&\vdots\\
+\varrho_1(g)_{n_11} \varrho_2(g)
+	&\dots
+		&\varrho_1(g)_{n_1n_1} \varrho_2(g)
+\end{pmatrix}
+\]
+Die ``Einträge'' sind $n_2\times n_2$-Blöcke
+\end{block}
+\begin{block}{Darstellungsring}
+Die Menge der Darstellungen $R(G)$  einer Gruppe hat
+einer Ringstruktur mit $\oplus$ und $\otimes$
+\\
+$\Rightarrow$
+Algebra zum Studium der möglichen Darstellungen von $G$ verwenden
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex
new file mode 100644
index 0000000..6e36d1d
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex
@@ -0,0 +1,77 @@
+%
+% zyklisch.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Beispiel: Zyklische Gruppen}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Gruppe}
+\(
+C_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}
+\)
+\end{block}
+\begin{block}{Darstellungen von $C_n$}
+Gegeben durch $\varrho_k(1)=e^{2\pi i k/n}$,
+\[
+\varrho_k(l) = e^{2\pi ikl/n}
+\]
+\end{block}
+\vspace{-10pt}
+\begin{block}{Charaktere}
+\vspace{-10pt}
+\[
+\chi_k(l) = e^{2\pi ikl/n}
+\]
+haben Skalarprodukte
+\[
+\langle \chi_k,\chi_{k'}\rangle
+=
+\begin{cases}
+1&\quad k= k'\\
+0&\quad\text{sonst}
+\end{cases}
+\]
+Die Darstellungen $\chi_k$ sind nicht isomorph
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Orthonormalbasis}
+Die Funktionen $\chi_k$ bilden eine Orthonormalbasis von $L^2(C_n)$
+\end{block}
+\vspace{-4pt}
+\begin{block}{Analyse einer Darstellung}
+$\varrho\colon C_n\to \mathbb{C}^n$ eine Darstellung,
+$\chi_\varrho$ der Charakter lässt zerlegen:
+\begin{align*}
+c_k
+&=
+\langle \chi_k, \chi\rangle = \frac{1}{n} \sum_{l} \chi_k(l) e^{-2\pi ilk/n}
+\\
+\chi(l)
+&=
+\sum_{k} c_k \chi_k
+=
+\sum_{k} c_k e^{2\pi ikl/n}
+\end{align*}
+\end{block}
+\vspace{-13pt}
+\begin{block}{Fourier-Theorie}
+\vspace{-3pt}
+\begin{center}
+\begin{tabular}{>{$}l<{$}l}
+C_n&Diskrete Fourier-Theorie\\
+U(1)&Fourier-Reihen\\
+\mathbb{R}&Fourier-Integral
+\end{tabular}
+\end{center}
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/permutationen/matrizen.tex b/vorlesungen/slides/6/permutationen/matrizen.tex
new file mode 100644
index 0000000..346993d
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/permutationen/matrizen.tex
@@ -0,0 +1,75 @@
+%
+% matrizen.tex -- Darstellung der Permutationen als Matrizen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Permutationsmatrizen}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Permutationsabbildung}
+$\sigma\in S_n$ eine Permutation, definiere
+\[
+f
+\colon
+e_i \mapsto e_{\sigma(i)}
+\]
+($e_i$ Standardbasisvektor)
+\end{block}
+\begin{block}{Lineare Abbildung}
+$f$ kann erweitert werden zu einer linearen Abbildung
+\[
+\tilde{f}
+\colon
+\Bbbk^n \to \Bbbk^n
+:
+\sum_{k=1}^n a_i e_i
+\mapsto
+\sum_{k=1}^n a_i f(e_i)
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Permutationsmatrix}
+Matrix $A_{\tilde{f}}$ der linearen Abbildung $\tilde{f}$
+hat die Matrixelemente
+\[
+a_{ij}
+=
+\begin{cases}
+1&\qquad i=\sigma(j)\\
+0&\qquad\text{sonst}
+\end{cases}
+\]
+\end{block}
+\vspace{-10pt}
+\begin{block}{Beispiel}
+\vspace{-20pt}
+\[
+\begin{pmatrix}
+1&2&3&4\\
+3&2&4&1
+\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}
+0&0&0&1\\
+0&1&0&0\\
+1&0&0&0\\
+0&0&1&0
+\end{pmatrix}
+\]
+\end{block}
+\vspace{-10pt}
+\begin{block}{Homomorphismus}
+Die Abbildung
+$S_n\to\operatorname{GL}(\Bbbk)\colon \sigma \mapsto A_{\tilde{f}}$
+ist ein Homomorphismus
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/Makefile.inc
index 0f5fa8c..a9d72be 100644
--- a/vorlesungen/slides/Makefile.inc
+++ b/vorlesungen/slides/Makefile.inc
@@ -9,6 +9,7 @@ include ../slides/2/Makefile.inc
 include ../slides/3/Makefile.inc
 include ../slides/4/Makefile.inc
 include ../slides/5/Makefile.inc
+include ../slides/6/Makefile.inc
 include ../slides/7/Makefile.inc
 include ../slides/8/Makefile.inc
 include ../slides/9/Makefile.inc
@@ -16,4 +17,5 @@ include ../slides/a/Makefile.inc
 
 slides = 								\
 	$(chapter0) $(chapter1) $(chapter2) $(chapter3) $(chapter4)	\
-	$(chapter5) $(chapter7) $(chapter8) $(chapter9) $(chaptera)
+	$(chapter5) $(chapter6) $(chapter7) $(chapter8) $(chapter9)	\
+	$(chaptera)
diff --git a/vorlesungen/slides/slides.tex b/vorlesungen/slides/slides.tex
index b606375..6c24e22 100644
--- a/vorlesungen/slides/slides.tex
+++ b/vorlesungen/slides/slides.tex
@@ -47,15 +47,15 @@
 \titel
 \input{5/chapter.tex}
 
-%\title[Permutationen]{Permutationen}
-%\section{Permutationen}
-%\titel
-%\input{6/chapter.tex}
+\title[Permutationen]{Permutationen}
+\section{Permutationen}
+\titel
+\input{6/chapter.tex}
 
-%\title[Matrizengruppen]{Matrizengruppen}
-%\section{Matrizengruppen}
-%\titel
-%\input{7/chapter.tex}
+\title[Matrizengruppen]{Matrizengruppen}
+\section{Matrizengruppen}
+\titel
+\input{7/chapter.tex}
 
 \title[Graphen]{Graphen}
 \section{Graphen}
@@ -67,10 +67,10 @@
 \titel
 \input{9/chapter.tex}
 
-%\title[Krypto]{Anwendungen in Kryptographie und Codierungstheorie}
-%\section{Krypto}
-%\titel
-%\input{a/chapter.tex}
+\title[Krypto]{Anwendungen in Kryptographie und Codierungstheorie}
+\section{Krypto}
+\titel
+\input{a/chapter.tex}
 
 %\title[Homologie]{Homologie}
 %\section{Homologie}