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diff --git a/vorlesungen/punktgruppen/slides.pdf b/vorlesungen/punktgruppen/slides.pdf
index 02a3348..090a661 100644
--- a/vorlesungen/punktgruppen/slides.pdf
+++ b/vorlesungen/punktgruppen/slides.pdf
diff --git a/vorlesungen/punktgruppen/slides.tex b/vorlesungen/punktgruppen/slides.tex
index 8394451..2199b26 100644
--- a/vorlesungen/punktgruppen/slides.tex
+++ b/vorlesungen/punktgruppen/slides.tex
@@ -10,6 +10,7 @@
 % set look
 \usetheme{default} 
 \usecolortheme{fly}
+\usefonttheme{serif}
 
 %% Set font
 \usepackage[p,osf]{scholax}
@@ -51,28 +52,70 @@
 
 % Slides
 \begin{document}
-\begin{frame}{}
-\titlepage
-\end{frame}
-
-% \begin{frame}{}
-% \tableofcontents
-% \end{frame}
+\frame{\titlepage}
+\frame{\tableofcontents}
 
 \section{Einleitung}
-\begin{frame}{Kristallen}
-\[
-  \psi
-\]
-\end{frame}
+\frame{
+  \[
+    \psi
+  \]
+}
 
 \section{Geometrische Symmetrien}
 %% Made in video
 
 \section{Algebraische Symmetrien}
-\begin{frame}{}
-  Hello
-\end{frame}
+\frame{
+  \begin{columns}
+    \begin{column}{.3\textwidth}
+      Produkt mit \(i\)
+      \begin{align*}
+        1 \cdot i &= i \\
+        i \cdot i &= -1 \\
+        -1 \cdot i &= -i \\
+        -i \cdot i &= 1
+      \end{align*}
+      \pause
+      %
+      Gruppe
+      \begin{align*}
+        G &= \left\{
+          1, i, -1, -i
+        \right\} \\
+        &= \left\{
+          1, i, i^2, i^3
+        \right\} \\
+        Z_4 &= \left\{
+          \mathbb{1}, r, r^2, r^3
+        \right\}
+      \end{align*}
+      \pause
+      %
+    \end{column}
+    \begin{column}{.5\textwidth}
+      %
+      Darstellung
+      \[
+        \phi : Z_4 \to G
+      \]
+      \begin{align*}
+        \phi(\mathbb{1}) &= 1 & \phi(r^2) &= i^2 \\
+        \phi(r) &= i & \phi(r^3) &= i^3
+      \end{align*}
+      \pause
+      %
+      Homomorphismus
+      \begin{align*}
+        \phi(r \circ \mathbb{1}) &= \phi(r) \cdot \phi(\mathbb{1}) \\
+        &= i \cdot 1
+      \end{align*}
+      \pause
+      %
+      \(\phi\) ist bijektiv \(\implies Z_4 \cong G\)
+    \end{column}
+  \end{columns}
+}
 
 \section{Kristallen}