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diff --git a/vorlesungen/10_mseliealgebra/slides.tex b/vorlesungen/10_mseliealgebra/slides.tex index 0fceaff..4e92f74 100644 --- a/vorlesungen/10_mseliealgebra/slides.tex +++ b/vorlesungen/10_mseliealgebra/slides.tex @@ -9,11 +9,26 @@ \folie{7/einparameter.tex} \folie{7/ableitung.tex} \folie{7/liealgebra.tex} +% XXX Beispiele von Lie-Algebren +% \folie{7/liealgbeispiel.tex} +% XXX Vektorprodukt als Lie-Algebra +% \folie{7/vektorlie.tex} \folie{7/kommutator.tex} +% XXX kommutator rechnerisch +% \folie{7/bch.tex} \section{Exponentialabbildung} \folie{7/dg.tex} +\section{Integration} +\folie{7/haar.tex} +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ +\folie{7/mannigfaltigkeit.tex} +}{} +% XXX Tangential-Vektoren und Kovektoren +% XXX Invariante (Ko)Vektorfelder auf +% XXX Invariante Integration + % LOG Reihe % Interpolation % Mittelung auf einer Lie-Gruppe diff --git a/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc index 7512612..84b4e32 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc @@ -16,6 +16,7 @@ chapter5 = \ ../slides/7/einparameter.tex \ ../slides/7/ableitung.tex \ ../slides/7/liealgebra.tex \ + ../slides/7/liealgbeispiel.tex \ ../slides/7/kommutator.tex \ ../slides/7/dg.tex \ ../slides/7/zusammenhang.tex \ diff --git a/vorlesungen/slides/7/chapter.tex b/vorlesungen/slides/7/chapter.tex index 1c78ccc..65017c7 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/7/chapter.tex @@ -15,6 +15,7 @@ \folie{7/einparameter.tex} \folie{7/ableitung.tex} \folie{7/liealgebra.tex} +\folie{7/liealgbeispiel.tex} \folie{7/kommutator.tex} \folie{7/dg.tex} \folie{7/zusammenhang.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/7/dg.tex b/vorlesungen/slides/7/dg.tex index 4447bac..f9528a4 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/dg.tex +++ b/vorlesungen/slides/7/dg.tex @@ -45,7 +45,7 @@ Ableitung von $\gamma(t)$ an der Stelle $t$: \vspace{-10pt} \uncover<7->{% \begin{block}{Differentialgleichung} -\vspace{-10pt} +%\vspace{-10pt} \[ \dot{\gamma}(t) = \gamma(t) A \quad @@ -66,7 +66,7 @@ Exponentialfunktion \vspace{-5pt} \uncover<9->{% \begin{block}{Kontrolle: Tangentialvektor berechnen} -\vspace{-10pt} +%\vspace{-10pt} \begin{align*} \frac{d}{dt}e^{At} &\uncover<10->{= diff --git a/vorlesungen/slides/7/einparameter.tex b/vorlesungen/slides/7/einparameter.tex index 5171085..a32affd 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/einparameter.tex +++ b/vorlesungen/slides/7/einparameter.tex @@ -41,7 +41,7 @@ D_{x,t+s} \begin{column}{0.48\textwidth} \uncover<5->{% \begin{block}{Scherungen in $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$} -\vspace{-12pt} +%\vspace{-12pt} \[ \begin{pmatrix} 1&s\\ @@ -61,7 +61,7 @@ D_{x,t+s} \vspace{-12pt} \uncover<6->{% \begin{block}{Skalierungen in $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$} -\vspace{-12pt} +%\vspace{-12pt} \[ \begin{pmatrix} e^s&0\\0&e^{-s} @@ -78,7 +78,7 @@ e^{t+s}&0\\0&e^{-(t+s)} \vspace{-12pt} \uncover<7->{% \begin{block}{Gemischt} -\vspace{-12pt} +%\vspace{-12pt} \begin{gather*} A_t = I \cosh t + \begin{pmatrix}1&a\\0&-1\end{pmatrix}\sinh t \\ diff --git a/vorlesungen/slides/7/liealgbeispiel.tex b/vorlesungen/slides/7/liealgbeispiel.tex new file mode 100644 index 0000000..a17de40 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/7/liealgbeispiel.tex @@ -0,0 +1,78 @@ +% +% liealgbeispiel.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Lie-Algebra Beispiele} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{$\operatorname{sl}_2(\mathbb{R})$} +Spurlose Matrizen: +\[ +\operatorname{sl}_2(\mathbb{R}) += +\{A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; \operatorname{Spur}A=0\} +\] +\end{block} +\begin{block}{Lie-Algebra?} +Nachrechnen: $[A,B]\in \operatorname{sl}_2(\mathbb{R})$: +\begin{align*} +\operatorname{Spur}([A,B]) +&= +\operatorname{Spur}(AB-BA) +\\ +&= +\operatorname{Spur}(AB)-\operatorname{Spur}(BA) +\\ +&= +\operatorname{Spur}(AB)-\operatorname{Spur}(AB) +\\ +&=0 +\end{align*} +$\Rightarrow$ $\operatorname{sl}_2(\mathbb{R})$ ist eine Lie-Algebra +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{$\operatorname{so}(n)$} +Antisymmetrische Matrizen: +\[ +\operatorname{so}(n) += +\{A\in M_n(\mathbb{R}) +\;|\; +A=-A^t +\} +\] +\end{block} +\begin{block}{Lie-Algebra?} +Nachrechnen: $A,B\in \operatorname{so}(n)$ +\begin{align*} +[A,B]^t +&= +(AB-BA)^t +\\ +&= +B^tA^t - A^tB^t +\\ +&= +(-B)(-A)-(-A)(-B) +\\ +&= +BA-AB += +-(AB-BA) +\\ +&= +-[A,B] +\end{align*} +$\Rightarrow$ $\operatorname{so}(n)$ ist eine Lie-Algebra +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 17c8a28..9e52903 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -3,9 +3,5 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\folie{7/mannigfaltigkeit.tex} -\folie{7/haar.tex} -\folie{7/quaternionen.tex} -\folie{7/qdreh.tex} -\folie{7/ueberlagerung.tex} -\folie{7/hopf.tex} +\folie{7/liealgbeispiel.tex} + |