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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex index d984452..ffc452b 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex @@ -16,6 +16,36 @@ gestreckt werden. Gelingt es, eine Basis aus solchen sogenanten {\em Eigenvektoren} zu finden, dann kann man die Matrix $A$ durch Basiswechsel in diese Form bringen. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.pdf} +\caption{Iterierte Kerne und Bilder einer $3\times 3$-Matrix mit Rang~2. +Die abnehmend geschachtelten iterierten Bilder +$\mathcal{J}^1(A) \subset \mathcal{J}^2(A)$ +sind links dargestellt, die zunehmen geschachtelten iterierten Kerne +$\mathcal{K}^1(A) \subset \mathcal{K}^2(A)$ rechts. +\label{buch:eigenwerte:img:kernbild}} +\end{figure} + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.pdf} +\caption{Iterierte Kerne und Bilder einer $3\times 3$-Matrix mit Rang~2. +Da $\dim\mathcal{J}^2(A)=1$ und $\dim\mathcal{J}^1(A)=2$ ist, muss es +einen Vektor in $\mathcal{J}^1(A)$ geben, der von $A$ auf $0$ abgebildet +wird, der also auch im Kern $\mathcal{K}^1(A)$ liegt. +Daher ist $\mathcal{K}^1(A)$ die Schnittgerade von $\mathcal{J}^1(A)$ und +$\mathcal{K}^2(A)$. +Man kann auch gut erkennen, dass +$\mathbb{R}^3 += +\mathcal{K}^1(A)\oplus \mathcal{J}^1(A) += +\mathcal{K}^2(A) \oplus \mathcal{J}^2(A)$ +ist. +\label{buch:eigenwerte:img:kombiniert}} +\end{figure} + % % Kern und Bild von Matrixpotenzen % diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile index db00dac..753153d 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile @@ -3,7 +3,7 @@ # # (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rappersil # -all: sp.pdf nilpotent.pdf +all: sp.pdf nilpotent.pdf kernbild.pdf kombiniert.pdf sp.pdf: sp.tex sppaths.tex pdflatex sp.tex @@ -14,3 +14,8 @@ sppaths.tex: spbeispiel.m nilpotent.pdf: nilpotent.tex pdflatex nilpotent.tex +kernbild.pdf: kernbild.tex bild2.jpg kern2.jpg + pdflatex kernbild.tex + +kombiniert.pdf: kombiniert.tex kombiniert.jpg + pdflatex kombiniert.tex diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/bild1.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/bild1.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..879fae8 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/bild1.jpg diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/bild2.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/bild2.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..2597c95 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/bild2.jpg diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/drei.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/drei.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..35f9034 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/drei.jpg diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kern1.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kern1.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..5c99664 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kern1.jpg diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kern2.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kern2.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..87d18ac --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kern2.jpg diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..2a321b2 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.pdf diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.tex new file mode 100644 index 0000000..4eced84 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.tex @@ -0,0 +1,40 @@ +% +% kernbild.tex -- Kern und Bild einer Matrix +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.4,0} +\definecolor{turqoise}{rgb}{0,0.3,0.6} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\begin{scope}[xshift=-3.5cm] +\node at (0,0) {\includegraphics[width=6.8cm]{bild2.jpg}}; + +\fill[color=white,opacity=0.8] (-3,-2.75) rectangle (-2,-2.3); +\node[color=orange] at (-2.5,-2.5) {$\mathcal{J}^1(A)$}; +\node at (3.3,0) {$x_1$}; +\node at (0.3,3.2) {$x_3$}; +\node[color=purple] at (2.3,0.6) [rotate=8] {$\mathcal{J}^2(A)$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=3.5cm] +\node at (0,0) {\includegraphics[width=6.8cm]{kern2.jpg}}; +\node[color=darkgreen] at (1.8,2.2) [rotate=58] {$\mathcal{K}^1(A)$}; +\fill[color=white,opacity=0.8] (-1.5,0.8) rectangle (-0.5,1.2); +\node[color=turqoise] at (-1,1) {$\mathcal{K}^2(A)$}; +\node at (3.3,0) {$x_1$}; +\node at (0.3,3.2) {$x_3$}; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild1.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild1.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..87e874e --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild1.jpg diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild2.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild2.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..1160b31 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild2.jpg diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..bebc36f --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.jpg diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..91cee0b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.pdf diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.tex new file mode 100644 index 0000000..d850c64 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.tex @@ -0,0 +1,48 @@ +% +% kombiniert.tex -- Iterierte Kerne und Bilder +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.4,0} +\definecolor{turqoise}{rgb}{0,0.3,0.6} +\def\skala{1} +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{7} +\def\hoehe{7} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\node at (0,0) {\includegraphics[width=13.8cm]{kombiniert.jpg}}; + +\node at (6.6,-0.1) {$x_1$}; +\node at (0.3,6.7) {$x_3$}; + +\node[color=purple] at (4.8,1) [rotate=8] {$\mathcal{J}^2(A)$}; +\node[color=darkgreen] at (3.5,4.6) [rotate=58] {$\mathcal{K}^1(A)$}; + +\fill[color=white,opacity=0.8] (-2.3,3.8) rectangle (-1.3,4.2); +\node[color=turqoise] at (-1.8,4) {$\mathcal{K}^2(A)$}; + +\fill[color=white,opacity=0.8] (2.5,-5.75) rectangle (3.5,-5.3); +\node[color=orange] at (3,-5.5) {$\mathcal{J}^1(A)$}; + +%\node at G +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg b/buch/chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..bf90a36 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex index 69d4b1d..6c6b74b 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex @@ -6,3 +6,258 @@ \section{Lie-Algebren \label{buch:section:lie-algebren}} \rhead{Lie-Algebren} +Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen +Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen +Vektorraum $M_n(\mathbb{R}9$ betrachtet werden können. +Die Gruppen haben damit nicht nur die algebraische Struktur einer +Matrixgruppe, sie haben auch die geometrische Struktur einer +Mannigfaltigkeit. +Insbesondere ist es sinnvoll, von Ableitungen zu sprechen. + +Eindimensionale Untergruppen einer Gruppe können auch als Kurven +innerhalb der Gruppe angesehen werden. +In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man zu jeder eindimensionalen +Untergruppe einen Vektor in $M_n(\mathbb{R})$ finden kann derart, dass +der Vektor als Tangentialvektor an diese Kurve gelten kann. +Aus einer Abbildung zwischen der Gruppe und diesen Tagentialvektoren +erhält man dann auch eine algebraische Struktur auf diesen Tangentialvektoren, +die sogenannte Lie-Algebra. +Sie ist charakteristisch für die Gruppe. +Insbesondere werden wir sehen, wie die Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ +und $\operatorname{SU}(2)$ die gleich Lie-Algebra haben und dass die +Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$ +übereinstimmt. + +% +% Tangentialvektoren und SO(2) +% +\subsection{Tangentialvektoren und $\operatorname{SO}(2)$} +Die Drehungen in der Ebene können reell als Matrizen der Form +\[ +D_{\alpha} += +\begin{pmatrix} +\cos\alpha&-\sin\alpha\\ +\sin\alpha& \cos\alpha +\end{pmatrix} +\] +als eidimensionale Kurve innerhalb von $M_2(\mathbb{R})$ beschrieben +werden. +Alternativ können Drehungen um den Winkel $\alpha$ als mit Hilfe von +der Abbildung +$ +\alpha\mapsto e^{i\alpha} +$ +als komplexe Zahlen vom Betrag $1$ beschrieben werden. +Dies sind zwei verschiedene Parametrisierungen der gleichen +geometrischen Transformation. + +Die Ableitung nach $\alpha$ ist $ie^{i\alpha}$, der Tangentialvektor +im Punkt $e^{i\alpha}$ ist also $ie^{i\alpha}$. +Die Multiplikation mit $i$ ist die Drehung um $90^\circ$, der Tangentialvektor +ist also der um $90^\circ$ gedrehte Ortsvektor zum Punkt auf der Kurve. + +In der Darstelllung als $2\times 2$-Matrix ist die Ableitung +\[ +\frac{d}{d\alpha}D_\alpha += +\frac{d}{d\alpha} +\begin{pmatrix} +\cos\alpha& -\sin\alpha\\ +\sin\alpha& \cos\alpha +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +-\sin\alpha & -\cos\alpha \\ + \cos\alpha & -\sin\alpha +\end{pmatrix}. +\] +Die rechte Seite kann wieder mit der Drehmatrix $D_\alpha$ geschrieben +werden, es ist nämlich +\[ +\frac{d}{d\alpha}D_\alpha += +\begin{pmatrix} +-\sin\alpha & -\cos\alpha \\ + \cos\alpha & -\sin\alpha +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +\cos\alpha & -\sin\alpha\\ +\sin\alpha & \cos\alpha +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +0&-1\\ +1& 0 +\end{pmatrix} += +D_\alpha J. +\] +Der Tangentialvektor an die Kurve $\alpha\mapsto D_\alpha$ innerhalb +$M_2(\mathbb{R})$ im Punkt $D_\alpha$ ist also die Matrix +$JD_\alpha$. +Die Matrix $J$ ist die Drehung um $90^\circ$, denn $J=D_{\frac{\pi}2}$. +Der Zusammenhang zwischen dem Punkt $D_\alpha$ und dem Tangentialvektor +ist also analog zur Beschreibug mit komplexen Zahlen. + +Im Komplexen vermittelt die Exponentialfunktion den Zusammenhang zwischen +dem Winkel $\alpha$ und dre Drehung $e^{i\alpha}$. +Der Grund dafür ist natürlich die Differentialgleichung +\[ +\frac{d}{d\alpha} z(\alpha) = iz(\alpha). +\] +Die analoge Differentialgleichung +\[ +\frac{d}{d\alpha} D_\alpha = J D_\alpha +\] +führt auf die Matrix-Exponentialreihe +\begin{align*} +D_\alpha += +\exp (J\alpha) +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(J\alpha)^k}{k!} += +\biggl( +1-\frac{\alpha^2}{2!} + \frac{\alpha^4}{4!} -\frac{\alpha^6}{6!}+\dots +\biggr) ++ +J\biggl( +\alpha - \frac{\alpha^3}{3!} ++ \frac{\alpha^5}{5!} +- \frac{\alpha^7}{7!}+\dots +\biggr) +\\ +&= +I\cos\alpha ++ +J\sin\alpha, +\end{align*} +welche der Eulerschen Formel $e^{i\alpha} = \cos\alpha + i \sin\alpha$ +analog ist. + +In diesem Beispiel gibt es nur eine Tangentialrichtung und alle in Frage +kommenden Matrizen vertauschen miteinander. +Es ist daher nicht damit zu rechnen, dass sich eine interessante +Algebrastruktur für die Ableitungen konstruieren lässt. + +% +% Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe +% +\subsection{Lie-Algebra einer Matrizengruppe} +Das eindimensionale Beispiel $\operatorname{SO}(2)$ hat gezeigt, dass +die Tangentialvektoren in einem beliebigen Punkt $D_\alpha$ aus dem +Tangentialvektor im Punkt $I$ durch Anwendung der Drehung hervorgehen, +die $I$ in $D_\alpha$ abbildet. +Die Drehungen einer eindimensionalen Untergruppe transportieren daher +den Tangentialvektor in $I$ entlang der Kurve auf jeden beliebigen +anderen Punkt. +Zu jedem Tangentialvektor im Punkt $I$ dürfte es daher genau eine +eindimensionale Untergruppe geben. + +Sei die Abbildung $\varrho\colon\mathbb{R}\to G$ eine Einparameter-Untergruppe +von $G\subset M_n(\mathbb{R})$. +Durch Ableitung der Gleichung $\varrho(t+x) = \varrho(t)\varrho(x)$ nach +$x$ folgt die Differentialgleichung +\[ +\varrho'(t) += +\frac{d}{dx}\varrho(t+x)\bigg|_{x=0} += +\varrho(t) \frac{d}{dx}\varrho(0)\bigg|_{x=0} += +\varrho(t) \varrho'(0). +\] +Der Tangentialvektor in $\varrho'(t)$ in $\varrho(t)$ ist daher +der Tangentialvektor $\varrho'(0)$ in $I$ transportiert in den Punkt +$\varrho(t)$ mit Hilfe der Matrix $\varrho(t)$. + +Aus der Differentialgleichung folgt auch, dass +\[ +\varrho(t) = \exp (t\varrho'(0)). +\] +Zu einem Tangentialvektor in $I$ kann man also immer die +Einparameter-Untergruppe mit Hilfe der Differentialgleichung +oder der expliziten Exponentialreihe rekonstruieren. + +Die eindimensionale Gruppe $\operatorname{SO}(2)$ ist abelsch und +hat einen eindimensionalen Tangentialraum, man kann also nicht mit +einer interessanten Algebrastruktur rechnen. +Für eine höherdimensionale, nichtabelsche Gruppe sollte sich aus +der Tatsache, dass es verschiedene eindimensionale Untergruppen gibt, +deren Elemente nicht mit den Elemente einer anderen solchen Gruppe +vertauschen, eine interessante Algebra konstruieren lassen, deren +Struktur die Nichtvertauschbarkeit wiederspiegelt. + +Seien also $A$ und $B$ Tangentialvektoren einer Matrizengruppe $G$, +die zu den Einparameter-Untergruppen $\varphi(t)=\exp At$ und +$\varrho(t)=\exp Bt$ gehören. +Insbesondere gilt $\varphi'(0)=A$ und $\varrho'(0)=B$. +Das Produkt $\pi(t)=\varphi(t)\varrho(t)$ ist allerdings nicht notwendigerweise +eine Einparametergruppe, denn dazu müsste gelten +\begin{align*} +\pi(t+s) +&= +\varphi(t+s)\varrho(t+s) += +\varphi(t)\varphi(s)\varrho(t)\varrho(s) +\\ += +\pi(t)\pi(s) +&= +\varphi(t)\varrho(t)\varphi(s)\varrho(s) +\end{align*} +Durch Multiplikation von links mit $\varphi(t)^{-1}$ und +mit $\varrho(s)^{-1}$ von rechts folgt, dass dies genau dann gilt, +wenn +\[ +\varphi(s)\varrho(t)=\varrho(t)\varphi(s). +\] +Die beiden Seiten dieser Gleichung sind erneut verschiedene Punkte +in $G$. +Durch Multiplikation mit $\varrho(t)^{-1}$ von links und mit +$\varphi(s)^{-1}$ von rechts erhält man die äquivaliente +Bedingung +\begin{equation} +\varrho(-t)\varphi(s)\varrho(t)\varphi(-s)=I. +\label{buch:lie:konjugation} +\end{equation} +Ist die Gruppe $G$ nicht kommutativ, kann man nicht +annehmen, dass diese Bedingung erfüllt ist. + +Aus \eqref{buch:lie:konjugation} erhält man jetzt eine Kurve +\[ +t \mapsto \gamma(t,s) = \varrho(-t)\varphi(s)\varrho(t)\varphi(-s) \in G +\] +in der Gruppe, die für $t=0$ durch $I$ geht. +Ihren Tangentialvektor kann man durch Ableitung bekommen: +\begin{align*} +\frac{d}{dt}\gamma(t,s) +&= +-\varrho'(-t)\varphi(s)\varrho(t)\varphi(-s) ++\varrho(-t)\varphi(s)\varrho'(t)\varphi(-t) +\\ +\frac{d}{dt}\gamma(t)\bigg|_{t=0} +&= +-B\varphi(s) + \varphi(-s)B +\end{align*} +Durch erneute Ableitung nach $s$ erhält man dann +\begin{align*} +\frac{d}{ds} \frac{d}{dt}\gamma(t,s)\bigg|_{t=0} +&= +-B\varphi'(s) - \varphi(-s)B +\end{align*} + +% +% Die Lie-Algebra von SO(3) +% +\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$} + +% +% Die Lie-Algebra von SU(2) +% +\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$} + + + + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex index 022de97..1268ce2 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex @@ -111,6 +111,9 @@ in die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$. Die Menge der Drehmatrizen in der Ebene kann also mit dem Einheitskreis in der komplexen Ebene identifiziert werden. +% +% Isometrien von R^n +% \subsection{Isometrien von $\mathbb{R}^n$ \label{buch:gruppen:isometrien}} Lineare Abbildungen der Ebene $\mathbb{R}^n$ mit dem üblichen Skalarprodukt @@ -142,6 +145,182 @@ Die Komponenten von $Ae_j$ sind daher $a_{ij}=\langle e_i,f(e_j)\rangle$. Die Matrix $A$ der Abbildung $f$ hat also die Matrixelemente $a_{ij}=e_i^tAe_j$. +\subsubsection{Die orthogonale Gruppe $\operatorname{O}(n)$} +Die Matrixelemente von $A^tA$ sind +$\langle A^tAe_i, e_j\rangle =\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{ij}$ +sind diejenigen der Einheitsmatrix, +die Matrix $A$ erfüllt $AA^t=I$ oder $A^{-1}=A^t$. +Dies sind die {\em orthogonalen} Matrizen. +Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der isometrischen Abbildungen besteht +daher aus den Matrizen +\[ +\operatorname{O}(n) += +\{ A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; AA^t=I\}. +\] +Die Matrixgleichung $AA^t=I$ liefert $n(n+1)/2$ unabhängige Bedingungen, +die die orthogonalen Matrizen innerhalb der $n^2$-dimensionalen +Menge $M_n(\mathbb{R})$ auszeichnen. +Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der orthogonalen Matrizen hat daher +die Dimension +\[ +n^2 - \frac{n(n+1)}{2} += +\frac{2n^2-n^2-n}{2} += +\frac{n(n-1)}2. +\] +Im Spezialfall $n=2$ ist die Gruppe $O(2)$ eindimensional. + +\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(n)$} +Die Gruppe $\operatorname{O}(n)$ enhält auch Isometrien, die +die Orientierung des Raumes umkehren, wie zum Beispiel Spiegelungen. +Wegen $\det (AA^t)=\det A\det A^t = (\det A)^2=1$ kann die Determinante +einer orthogonalen Matrix nur $\pm 1$ sein. +Orientierungserhaltende Isometrien haben Determinante $1$. + +Die Gruppe +\[ +\operatorname{SO}(n) += +\{A\in\operatorname{O}(n)\;|\; \det A=1\} +\] +heisst die {\em spezielle orthogonale Gruppe}. +Die Dimension der Gruppe $\operatorname{O}(n)$ ist $n(n-1)/2$. + +\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$} +Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehungen des dreidimensionalen +Raumes hat die Dimension $3(3-1)/2=3$. +Eine Drehung wird festgelegt durch die Richtung der Drehachse und den +Drehwinkel. +Die Richtung der Drehachse ist ein Einheitsvektor, also ein Punkt +auf der zweidimensionalen Kugel. +Der Drehwinkel ist der dritte Parameter. +Drehungen mit kleinen Drehwinkeln können zusammengesetzt werden +aus den Matrizen +\[ +D_{x,\alpha} += +\begin{pmatrix} +1&0&0\\ +0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\ +0&\sin\alpha& \cos\alpha +\end{pmatrix}, +\qquad +D_{y,\beta} += +\begin{pmatrix} + \cos\beta&0&\sin\beta\\ + 0 &1& 0 \\ +-\sin\beta&0&\cos\beta +\end{pmatrix}, +\qquad +D_{z,\gamma} += +\begin{pmatrix} +\cos\gamma&-\sin\gamma&0\\ +\sin\gamma& \cos\gamma&0\\ + 0 & 0 &1 +\end{pmatrix}, +\] +die Drehungen um die Koordinatenachsen um den Winkel $\alpha$ +beschreiben. +Auch die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ können als die +drei Koordinaten der Mannigkfaltigkeit $\operatorname{SO}(3)$ +angesehen werden. + +% +% Die Gruppe SU(2) +% \subsection{Die Gruppe $\operatorname{SU}(2)$ \label{buch:gruppen:su2}} +Die Menge der Matrizen +\[ +\operatorname{SU}(2) += +\left\{ +\left. +A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix} +\;\right|\; +a,b,c,d\in\mathbb{C},\det(A)=1, AA^*=I +\right\} +\] +heisst die {\em spezielle unitäre Gruppe}. +Wegen $\det(AB)=\det(A)\det(B)=1$ und $(AB)^*AB=B^*A^*AB=B^*B=I$ ist +$\operatorname{SU}(2)$ eine Untergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$. +Die Bedingungen $\det A=1$ und $AA^*=I$ schränken die möglichen Werte +von $a$ und $b$ weiter ein. +Aus +\[ +A^* += +\begin{pmatrix} +\overline{a}&\overline{c}\\ +\overline{b}&\overline{d} +\end{pmatrix} +\] +und den Bedingungen führen die Gleichungen +\[ +\begin{aligned} +a\overline{a}+b\overline{b}&=1 +&&\Rightarrow&|a|^2+|b|^2&=1 +\\ +a\overline{c}+b\overline{d}&=0 +&&\Rightarrow& +\frac{a}{b}&=-\frac{\overline{d}}{\overline{c}} +\\ +c\overline{a}+d\overline{b}&=0 +&&\Rightarrow& +\frac{c}{d}&=-\frac{\overline{b}}{\overline{a}} +\\ +c\overline{c}+d\overline{d}&=1&&\Rightarrow&|c|^2+|d|^2&=1 +\\ +ad-bc&=1 +\end{aligned} +\] +Aus der zweiten Gleichung kann man ableiten, dass es eine Zahl $t\in\mathbb{C}$ +gibt derart, dass $c=-t\overline{b}$ und $d=t\overline{a}$. +Damit wird die Bedingung an die Determinante zu +\[ +1 += +ad-bc = at\overline{a} - b(-t\overline{b}) += +t(|a|^2+|b|^2) += +t, +\] +also muss die Matrix $A$ die Form haben +\[ +A += +\begin{pmatrix} +a&b\\ +-\overline{b}&\overline{a} +\end{pmatrix} +\qquad\text{mit}\quad |a|^2+|b|^2=1. +\] +Schreibt man $a=a_1+ia_2$ und $b=b_1+ib_2$ mit rellen $a_i$ und $b_i$, +dann besteht $SU(2)$ aus den Matrizen der Form +\[ +A= +\begin{pmatrix} + a_1+ia_2&b_1+ib_2\\ +-b_1+ib_2&a_1-ia_2 +\end{pmatrix} +\] +mit der zusätzlichen Bedingung +\[ +|a|^2+|b|^2 += +a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 = 1. +\] +Die Matrizen von $\operatorname{SU}(2)$ stehen daher in einer +eins-zu-eins-Beziehung zu den Vektoren $(a_1,a_2,b_1,b_2)\in\mathbb{R}^4$ +eines vierdimensionalen reellen Vektorraums mit Länge $1$. +Geometrisch betrachtet ist also $\operatorname{SU}(2)$ eine dreidmensionalen +Kugel, die in einem vierdimensionalen Raum eingebettet ist. + + + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex index 8d5c0e0..cb07475 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex @@ -7,4 +7,102 @@ \section{Symmetrien \label{buch:section:symmetrien}} \rhead{Symmetrien} +Der geometrische Begriff der Symmetrie meint die Eigenschaft eines +geometrischen Objektes, dass es bei einer Bewegung auf sich selbst +abgebildet wird. +Das Wort stammt aus dem altgriechischen, wo es {\em Gleichmass} +bedeutet. +Spiegelsymmetrische Objekte zeichnen sich zum Beispiel dadurch aus, +dass Messungen von Strecken die gleichen Werte ergeben wie die Messungen +der entsprechenden gespiegelten Strecken (siehe auch +Abbildung~\ref{buch:lie:bild:castlehoward}, was die Herkunft des +Begriffs verständlich macht. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg} +\caption{Das Castle Howard in Yorkshire war in dieser ausgeprägt symmetrischen +Form geplant, wurde dann aber in modifizeirter Form gebaut. +Messungen zwischen Punkten in der rechten Hälfte des Bildes +ergeben die gleichen Werte wie Messungen entsprechenden Strecken +in der linken Hälfte, was den Begriff Symmetrie rechtfertigt. +\label{buch:lie:bild:castlehoward}} +\end{figure} +In der Physik wird dem Begriff der Symmetrie daher auch eine erweiterte +Bedeutung gegeben. +Jede Transformation eines Systems, welche bestimmte Grössen nicht +verändert, wird als Symmetrie bezeichnet. +Die Gesetze der Physik sind typischerweise unabhängig davon, wo man den +den Nullpunkt der Zeit oder das räumlichen Koordinatensystems ansetzt, +eine Transformation des Zeitnullpunktes oder des Ursprungs des +Koordinatensystems ändert daher die Bewegungsgleichungen nicht, sie ist +eine Symmetrie des Systems. + +Umgekehrt kann man fragen, welche Symmetrien ein System hat. +Da sich Symmetrien zusammensetzen und umkehren lassen, kann man in davon +ausgehen, dass die Symmetrietransformationen eine Gruppe bilden. +Besonders interessant ist dies im Falle von Transformationen, die +durch Matrizen beschrieben weren. +Eine unter der Symmetrie erhaltene Eigenschaft definiert so eine +Untergruppe der Gruppe $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ der +invertierbaren Matrizen. +Die erhaltenen Eigenschaften definieren eine Menge von Gleichungen, +denen die Elemente der Untergruppe genügen müssen. +Als Lösungsmenge einer Gleichung erhält die Untergruppe damit eine +zusätzliche geometrische Struktur, man nennt sie eine differenzierbare +Mannigfaltigkeit. +Dieser Begriff wird im Abschnitt~\ref{buch:subsection:mannigfaltigkeit} +eingeführt. +Es wird sich zum Beispiel zeigen, dass die Menge der Drehungen der +Ebene mit den Punkten eines Kreises parametrisieren lassen, +die Lösungen der Gleichung $x^2+y^2=1$ sind. + +Eine Lie-Gruppe ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare +Mannigfaltigkeit ist. +Die Existenz von geometrischen Konzepten wie Tangentialvektoren +ermöglicht zusätzliche Werkzeuge, mit denen diese Gruppe untersucht +und verstanden werden können. +Ziel dieses Abschnitts ist, die Grundlagen für diese Untersuchung zu +schaffen, die dann im Abschnitt~\ref{buch:section:lie-algebren} +durchgeführt werden soll. + +\subsection{Algebraische Symmetrien +\label{buch:subsection:algebraische-symmetrien}} +Mit Matrizen lassen sich Symmetrien in einem geometrischen Problem +oder in einem physikalischen System beschreiben. +Man denkt dabei gerne zuerst an geometrische Symmetrien wie die +Symmetrie unter Punktspiegelung oder die Spiegelung an der $x_1$-$x_2$-Ebene, +wie sie zum Beispiel durch die Abbildungen +\[ +\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 : x\mapsto -x +\qquad\text{oder}\qquad +\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 : +\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix}-x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} +\] +dargestellt werden. +Beide haben zunächst die Eigenschaft, dass Längen und Winkel und damit +das Skalarprodukt erhalten sind. +Diese Eigenschaft allein erlaubt aber noch nicht, die beiden Transformationen +zu unterscheiden. +Die Punktspiegelung zeichnet sich dadurch aus, das alle Geraden und alle +Ebenen durch den Ursprung auf sich selbst abgebildet werden. +Dies funktioniert für die Ebenenspiegelung nicht, dort bleibt nur die +Spiegelungsebene (die $x_1$-$x_2$-Ebene im vorliegenden Fall) und +ihre Normale erhalten. +Die folgenden Beispiele sollen zeigen, wie solche Symmetriedefinitionen +auf algebraische Bedingungen an die Matrixelemente führen. + + +\subsection{Manningfaltigkeiten +\label{buch:subsection:mannigfaltigkeit}} + +\subsection{Der Satz von Noether +\label{buch:subsection:noether}} + + + + + + diff --git a/buch/common/teilnehmer.tex b/buch/common/teilnehmer.tex index aeaddd5..4d57f84 100644 --- a/buch/common/teilnehmer.tex +++ b/buch/common/teilnehmer.tex @@ -7,21 +7,21 @@ Joshua Baer, % E Marius Baumann, % E Reto Fritsche, % E -Ahmet Güzel%, % E +%Ahmet Güzel%, % E +Alain Keller%, % E \\ -%Pascal Honegger, % I -Alain Keller, % E +Marc Kühne, % B Robine Luchsinger, % B -Jan Marbach%, % E -\\ -Andrea Mozzin Vellen, % E Naoki Pross, % E -Michael Schmid%, % MSE +Thomas Reichlin%, % B \\ +Michael Schmid, % MSE Pascal Andreas Schmid, % B -Thierry Schwaller, % E -Michael Steiner%, % E +Adrian Schuler%, % B \\ +Thierry Schwaller, % E +Michael Steiner, % E Tim Tönz, % E -Fabio Viecelli, % B +Fabio Viecelli%, % B +\\ Lukas Zogg%, % B diff --git a/vorlesungen/slides/5/beispiele/kombiniert.jpg b/vorlesungen/slides/5/beispiele/kombiniert.jpg Binary files differindex 9cb789c..bebc36f 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/beispiele/kombiniert.jpg +++ b/vorlesungen/slides/5/beispiele/kombiniert.jpg diff --git a/vorlesungen/slides/5/beispiele/kombiniert.pov b/vorlesungen/slides/5/beispiele/kombiniert.pov index c187d08..d17adb7 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/beispiele/kombiniert.pov +++ b/vorlesungen/slides/5/beispiele/kombiniert.pov @@ -18,5 +18,6 @@ ebene(k21, k22, gruen2) arrow(O, j11, at, orange1) arrow(O, j12, at, orange1) arrow(O, k11, at, gruen1) +gerade(k11, gruen1) ebene(j11, j12, orange1) |
