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Diffstat
-rw-r--r--buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex202
-rw-r--r--buch/papers/erdbeben/main.tex5
-rw-r--r--buch/papers/erdbeben/references.bib70
-rw-r--r--buch/papers/erdbeben/teil0.tex97
-rw-r--r--buch/papers/erdbeben/teil1.tex409
-rw-r--r--buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex86
-rw-r--r--buch/papers/reedsolomon/images/designer_qrcode.pngbin0 -> 163253 bytes
-rw-r--r--buch/papers/reedsolomon/images/designer_qrcode_ohnelogo.pngbin0 -> 133792 bytes
-rw-r--r--buch/papers/reedsolomon/main.tex6
-rw-r--r--buch/papers/reedsolomon/references.bib53
-rw-r--r--buch/papers/verkehr/section1.tex72
11 files changed, 681 insertions, 319 deletions
diff --git a/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex
new file mode 100644
index 0000000..9f5d092
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex
@@ -0,0 +1,202 @@
+\section{Kalman-Filter}
+\subsection{Was ist ein Erdbeben?}
+Für das Verständnis möchten wir zuerst erklären, was ein Erdbeben genau ist.
+Das soll uns helfen, eine Verknüpfung zwischen dem Naturphänomen und der mathematischen Problemstellung herzustellen.
+
+
+Unter einem Erdbeben verstehen wir eine Erschütterung des Erdkörpers.
+Dabei reiben zwei tektonische Platten aneinander, welche sich durch die Gesteinsverzahnung gegenseitig blockieren.
+Aufgrund dieser Haftreibung entstehen Spannungen, die sich immer mehr bis zum Tipping Point aufbauen.
+Irgendwann ist der Punkt erreicht, in dem die Scherfestigkeit der Gesteine überwunden wird.
+Wenn dies passiert, entlädt sich die aufgebaute Spannung und setzt enorme Energien frei, die wir als Erdbeben wahrnehmen.
+
+Ein Erdbeben breitet sich vom Erdbebenherd in allen Richtungen gleich aus.
+Vergleichbar ist, wenn man einen Stein in einen Teich wirft und die Wellen beobachten kann, die sich ausbreiten.
+
+Wir möchten nun mittels Kalman-Filter die Erdbebenbeschleunigung herausfinden.
+Die Erdbebenbeschleunigung ist in der Praxis zur Entwicklung von Erdbebengefährdungskarten, sowie der Ausarbeitung von Baunormen für erdbebengerechte Bauweise von Bedeutung.
+
+
+\subsection{Künstliche Erdbebendaten}
+Nun möchten wir anhand eines eigenen Beispiels das Kalman-Filter anwenden.
+Da wir keine Rohdaten über vergangene Erdbeben zur Hand haben, müssen wir künstliche Daten erzeugen, um sie in das Filter einzugeben und somit den Prozess starten.
+Dafür nehmen wir die Formel für harmonisch gedämpfte Schwingungen, die
+
+\begin{equation}
+ y = A \sin(\omega t e^{-lambda t})
+\end{equation}
+
+lautet.
+
+A ist die Amplitude der Schwingung und beschreibt die Heftigkeit eines Erdbebens, die Magnitude.
+Omega repräsentiert die Erdbebenfrequenz, die in der Realität zwischen 1 Hz und 30 Hz beträgt.
+Wir wählen als Erwartungswert 15 Herz und für die Standardabweichung 1 Hz.
+Lambda ist die Bodendämpfung, für die wir 0.2 wählen.
+Wir haben diese Zahl aus der Literatur entnommen, denn sie ist für das Bauwesen bedeutend.
+Lambda ist ein Materialparameter von Böden.
+
+Je grösser Lambda gewählt wird, desto stärker wirkt die Dämpfung der Massenschwingung.
+Die Funktion ist zeitabhängig und wir lassen pro Sekunde zehn Messwerte generieren.
+
+Die Frequenz basiert auf einer random-Funktion, da wir das Erdbeben unberechenbar gestalten möchten.
+Mit dem Golay-Filter können wir hohe Frequenz-Anteile in die Berechnung mit einfliessen lassen, anstatt sie abzuschneiden.
+Die Bildung eines üblichen Mittelwerts wäre hier weniger geeignet.
+
+\begin{lstlisting}
+freq = sgolayfilt(randn(size(Time)),0,11)*freqstd...
++freqmean;
+\end{lstlisting}
+
+Mit der Frequenz erhalten wir die Winkelbeschleunigung und damit können wir die Amplitude berechnen.
+
+
+\begin{lstlisting}
+w = 2 * pi * freq;
+a = Amplitude*sin(cumsum(w.*[0;diff(Time)])).*exp(-lambda*Time);
+\end{lstlisting}
+
+Mit der Matlab-Funktion ode45 haben wir eine Funktion gefunden, um die Differentialgleichung aufzulösen. ode45 basiert auf dem Runge-Kutta-Verfahren, einem Einschrittverfahren, bei dem die Lösung ausgehend von einem gegebenen Anfangswert, in einer Näherung gesucht wird.
+
+\begin{lstlisting}
+[T,Y] = ode45(@(t,x)ErzeugteSchwingung(t,x,m,k,d,a,Time),[0 tend], IC, SolverOptions);
+\end{lstlisting}
+
+Grafik einfügen
+
+In der Grafik erkennen wir in den Sekunden 0 bis 10, dass die Sinuskurve gezackt ist.
+Das deutet darauf hin, dass die Frequenz des Erdbebens einen hohen Einfluss auf die Masse des Seismographen hat.
+Ab der 10. Sekunde bis zu tend, pendelt sich die Masse in ihre Eigenfrequenz ein und verhält sich unabhängiger vom Erdbeben.
+
+\subsection{Versuch (bin noch dran)}
+
+Um den Kalman-Filter auszuprobieren, setzen wir nun Werte ein.
+Für die Systemparameter wählen wir m=1.0, D = 0.3 und k = 0.1 und fügen es in die Differentialgleichung
+
+\begin{equation}
+ m\ddot x + 2k \dot x + Dx = f
+\end{equation}
+
+ein und erhalten
+
+\begin{equation}
+ 1\ddot x + 0.1 \dot x + 0.3x = f
+\end{equation}
+
+\subsection{Matlab Code}
+
+
+\begin{lstlisting}
+ %% Initialisierte Werte
+ t0 = 0.00; % Anfangszeit
+ deltat = 0.01; % Zeitschritt
+ tend = 50.00; % Endzeit
+\end{lstlisting}
+Ein natürliches Erdbeben dauert zwischen wenigen Sekunden bis etwa eine Minute an.
+50 Sekunden genügen für unsere Daten.
+Pro Sekunde erhalten wir 100 Messpunkte, die für den Prozess des Filters eine präzise Anwendung ermöglichen.
+
+\begin{lstlisting}
+ % Standard-Abweichungen Prozess
+ sigmax = 0.05e-3; % Position
+ sigmav = 0.01e-3; % Geschwindigkeit
+ sigmaf = 1; % (Äussere) Kraft
+
+ % Standard-Abweichung Messung
+ sigmam = 0.01e-3;
+\end{lstlisting}
+
+Wir vertrauen dem System und geben kleine Standardabweichungen für die Position, Geschwindigkeit und Kraft ein.
+Bei der Messung erwarten wir auch, dass die Sensoren genau funktionieren.
+Jedoch hängt das vom Hersteller ab oder muss statistisch ermittelt werden.
+
+
+\begin{lstlisting}
+ % Systemparameter
+m = 1.00; % Masse
+D = 0.30; % Federkonstante
+k = 0.10; % Dämpfung
+\end{lstlisting}
+Hier werden die Spezifikationen des Seismographen definiert.
+
+\begin{lstlisting}
+%% Kalmanfilter
+% Initialisierung
+
+% Anfangszustand (Position, Geschwindigkeit, Kraft)
+x0 = [0; 0; 0];
+
+% Unsicherheit des Anfangszustand
+P0 = [0, 0, 0; ...
+0, 0, 0; ...
+0, 0, 0];
+
+% Systemmatrizen
+A = [0, 1, 0;... % Dynamikmatrix
+-D/m, -2*k/m, 1;...
+0, 0, 0]; % Ableitungen von f(t) unbekant. Annahme: 0
+A = expm(A * deltat);
+
+Q = [sigmax^2, 0, 0;...
+0, sigmav^2, 0;...
+0, 0, sigmaf^2]; % Prozessrauschen (Covarianz)
+
+
+\begin{lstlisting}
+% Messprozess
+H = [1, 0, 0]; % Messmatrix
+R = sigmam^2; % Messrauschen (Könnte durch Versuche bestimmt werden)
+\end{lstlisting}
+Tritt ein Erdbeben ein, wird die Position der Masse in die Messmatrix eingetragen.
+
+
+I = eye(3); % Identity matrix (Einheitsmatrix)
+
+\begin{lstlisting}
+% Filterprozess
+
+% Initialisieren der Variablen
+N = length(t); % Anzahl Punkte im Einheitsvektor (= Anzahl Messwerte)
+xhat = zeros(3, N); % Matrix mit geschätzten Zuständen
+
+% Index ':' bedeutet: 'alles'
+% Index '(1, :)' bedeutet: 'alles aus der 1. Zeile'
+
+% Anfangszustand setzen
+xhat(:, 1) = x0;
+P = P0;
+\end{lstlisting}
+
+\begin{lstlisting}
+
+% Kalman-Matrizen konvergiert. Vorab-Berechnung in 'genügenden' Iterationen
+for idx = 1:100
+Ppred = A * P * A' + Q; % Prädizieren der Kovarianz
+S = (H * Ppred * H' + R); % Innovationskovarianz
+K = Ppred * H' / S; % Filter-Matrix (Kalman-Gain)
+P = (I - K * H) * Ppred; % Aktualisieren der Kovarianz
+end
+\end{lstlisting}
+
+In diesem Schritt wird die Kovarianz vorhergesagt, mit der Messung verglichen und nach jeder Berechnung aktualisiert.
+
+\begin{lstlisting}
+% Anfangszustand gegeben
+% Erster zu berechnender Wert ist der zweite
+for idx = 2:N
+% Vorhersage
+xpred = A * xhat(:, idx-1); % Prädizierter Zustand aus Bisherigem und System
+% Ppred = A * P * A' + Q; % Prädizieren der Kovarianz
+
+% Korrektur
+y = xt(idx) - H * xpred; % Messungen/ Kraft aus System - Vohersage
+% S = (H * Ppred * H' + R); % Innovationskovarianz
+% K = Ppred * H' / S;
+
+xhat(:, idx) = xpred + K * y; % Aktualisieren des Systemzustands
+% P = (I - K * H) * Ppred; % Aktualisieren der Kovarianz
+end
+\end{lstlisting}
+
+\subsection{Resultate}
+Grafik einfügen
+Wir erkennen, dass wir mit dem Kalman-Filter eine gute Methode gefunden haben, die äussere Beschleunigung zu schätzen. Die Schätzung der nächsten Position der Federmasse liegt immer ziemlich nahe der tatsächlichen Messung. Man muss aber auch berücksichtigen, dass die Federschwingung ziemlich kontrolliert verläuft und das Kalman-Filter somit präzise Vorhersagen treffen kann.
diff --git a/buch/papers/erdbeben/main.tex b/buch/papers/erdbeben/main.tex
index 83ef295..8f9c8d5 100644
--- a/buch/papers/erdbeben/main.tex
+++ b/buch/papers/erdbeben/main.tex
@@ -29,8 +29,9 @@ Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
\input{papers/erdbeben/teil0.tex}
\input{papers/erdbeben/teil1.tex}
-\input{papers/erdbeben/teil2.tex}
-\input{papers/erdbeben/teil3.tex}
+%\input{papers/erdbeben/teil2.tex}
+%\input{papers/erdbeben/teil3.tex}
+\input{papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex}
\printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/erdbeben/references.bib b/buch/papers/erdbeben/references.bib
index aef5de9..56ca24b 100644
--- a/buch/papers/erdbeben/references.bib
+++ b/buch/papers/erdbeben/references.bib
@@ -1,35 +1,57 @@
-%
-% references.bib -- Bibliography file for the paper erdbeben
-%
-% (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
-%
+%% This BibTeX bibliography file was created using BibDesk.
+%% https://bibdesk.sourceforge.io/
+
+%% Created for lukas zogg at 2021-07-17 16:48:19 +0200
+
+
+%% Saved with string encoding Unicode (UTF-8)
+
+
+
+@article{aragher_understanding_2012,
+ author = {Faragher, Ramsey},
+ date-added = {2021-07-17 16:44:00 +0200},
+ date-modified = {2021-07-17 16:45:54 +0200},
+ journal = { Signal Processing Magazine},
+ month = {09},
+ number = {5},
+ pages = {128--132},
+ title = {Understanding the Basis of the Kalman Filter Via a Simple and Intuitive Derivation },
+ volume = {29},
+ year = {2012},
+ Bdsk-File-1 = {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}}
+
+@url{erdbeben:wikipedia,
+ author = {https://de.wikipedia.org/wiki/Kalman-Filter},
+ date-added = {2021-07-17 16:42:22 +0200},
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+ title = {Kalmanfilter},
+ urldate = {2021-07-0}}
@online{erdbeben:bibtex,
+ date = {2020-02-06},
+ day = {6},
+ month = {2},
title = {BibTeX},
url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
- date = {2020-02-06},
year = {2020},
- month = {2},
- day = {6}
-}
+ Bdsk-Url-1 = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX}}
@book{erdbeben:numerical-analysis,
- title = {Numerical Analysis},
author = {David Kincaid and Ward Cheney},
- publisher = {American Mathematical Society},
- year = {2002},
- isbn = {978-8-8218-4788-6},
inseries = {Pure and applied undegraduate texts},
- volume = {2}
-}
+ isbn = {978-8-8218-4788-6},
+ publisher = {American Mathematical Society},
+ title = {Numerical Analysis},
+ volume = {2},
+ year = {2002}}
@article{erdbeben:mendezmueller,
- author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
- title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
- journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
- year = 2019,
- volume = 47,
- pages = {607--627},
- url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
-}
-
+ author = {Tabea M{\'e}ndez and Andreas M{\"u}ller},
+ journal = {Appl. Comput. Harmon. Anal.},
+ pages = {607--627},
+ title = {Noncommutative harmonic analysis and image registration},
+ url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004},
+ volume = 47,
+ year = 2019,
+ Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}}
diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil0.tex b/buch/papers/erdbeben/teil0.tex
index 6e89821..8ac5d6d 100644
--- a/buch/papers/erdbeben/teil0.tex
+++ b/buch/papers/erdbeben/teil0.tex
@@ -2,21 +2,88 @@
% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
%
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
+%%
\section{Teil 0\label{erdbeben:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{erdbeben:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
+\rhead{Erdbeben}
+\section{Erdbebenmessung}
+\subsection{Was ist ein Erdbeben}
+Fabio
+\subsection{Funktion eines Seismograph}
+Um ein Erdbeben kenntlich zu machen, werden in der Regel Seismographen mit vielen Sensoren verwendet.
+Ein Seismograph besteht im Grunde aus einer federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerät ein, bleibt die gekoppelte Masse stehen aber das Gehäuse schwingt mit.
+Relativbewegung des Bodens kann damit als Auslenkung im Zeitverlauf gemessen werden.
+In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal.
+Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen mit eine Gehäuse, an dem zwei Federn und eine Masse befestigt ist.
+Ein Sensor unter der Masse misst die Position, bzw. die Auslenkung der Feder und der Masse.
+Dies bedeutet unser Seismograph kann nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Apperatur}
+ \caption{Aufbau des Seismographen mit Gehäuse, Masse, Federn und Sensor}
+ \end{center}
+\end{figure}
+
+\subsection{Ziel}
+Unser Seismograph misst nur die Position der Masse über die Zeit.
+Wir wollen jedoch die Beschleunigung $a(t)$ des Boden bzw. die Kraft $f(t)$ welche auf das Gehäuse wirkt bestimmten.
+Anhand dieser Beschleunigung bzw. der Krafteinwirkung durch die Bodenbewegung wird später das Bauwerk bemessen.
+Dies bedeutet, die für uns interessante Grösse $f(t)$ wird nicht durch einen Sensor erfasst.
+Jedoch können wir durch zweifaches ableiten der Positionsmessung $s(t)$ die Beschleunigung der Masse berechnen.
+Das heisst: Die Messung ist zweifach Integriert die Kraft $f(t)$ + der Eigendynamik der Masse.
+Um die Bewegung der Masse zu berechnen, müssen wir Gleichungen für unser System finden.
+
+\subsection{Systemgleichung}
+Im Fall unseres Seismographen, kann die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer gedämpften Schwingung am harmonischen Oszillator verwendet werden.
+Diese lautet:
+\begin{equation}
+m\ddot s + 2k \dot s + Ds = f
+\end{equation}
+mit den Konstanten $m$ = Masse, $k$ = Dämpfungskonstante und $D$ = Federkonstante.
+Um diese nun in die Systemmatrix umzuwandeln, wird die Differentialgleichung zweiter Ordnung substituiert:
+\[ {x_1}=s \qquad
+{x_2}=\dot s, \qquad\]
+Somit entstehen die Gleichungenür die Position $s(t)$ der Masse :
+\[ \dot {x_1} = {x_2}\]
+und
+\[ \dot x_2 = -\frac{D}{m} {x_1} -\frac{2k}{m} {x_2} + \frac{f} {m} \] für die Geschwindigkeit $v(t)$ der Masse.
+
+Diese können wir nun in der Form
+\[ {x_3}=-\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \]
+auch als Matrix-Vektor-Gleichung darstellen.
+Dafür wird die Gleichung in die Zustände aufgeteilt.
+Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und die äussere Beschleunigung des ganzen System.
+Dabei muss unterschieden werden, um welche Beschleunigung es sich handelt.
+Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse (innere Beschleunigung), als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äussere Beschleunigung).
+In unserem Fall wird die äusseren Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbebenanregung gleich kommt.
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} {s_1} \\ {s_2} \end{array}\right) = \left(
+ \begin{array}{ccc}
+0 & 1& 0 \\
+- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
+\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} {s_1} \\ {s_2} \\ {s_3} \end{array}\right).
+\end{equation}
+
+Durch Rücksubstituion ergibt sich:
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} s(t) \\ v(t) \end{array}\right) = \left(
+ \begin{array}{ccc}
+0 & 1& 0 \\
+- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
+\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} s(t)\\ v(t)\\ f(t) \end{array}\right).
+\end{equation}
+Wir wissen nicht wie sich die Kraft verhält.
+Deshalb treffen wir die Annahme, das sich die Kraft über die Beobachtungszeit nicht verändert.
+Diese unzutreffende Annahme wird später durch einen grossen Systemfehler kompensiert.
+Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Zeile mit Nullen gefüllt, denn genau diese Werte wollen wir.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex
index bb3bdd4..52872f6 100644
--- a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex
+++ b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex
@@ -7,128 +7,107 @@
% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2
%
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
+%%
-\section{Kalman Filter}
-\subsection{Geschichte}
-Das Kalman Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt. Der Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen. Das Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand errechnen. Typische Anwendungen des Kalman-Filters sind die Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern und kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor.
-\subsection{Wahrscheinlichkeit}
-Das Kalman-Filter schätzt den wahrscheinlichsten Wert zwischen zwei Normalverteilungen oder auch Gauss-Verteilung. Die eine Kurve zeigt die errechnete Vorhersage des Zustands, bzw. deren Normalverteilung. Die andere Kurve zeigt die verrauschte Messung des nächsten Zustand, bzw. deren Normalverteilung. Wie man am Beispiel dieser zwei Gauss-Verteilungen sehen kann, ist sowohl der geschätzte Zustand als auch der gemessene Zustand verteilt und haben unterschiedliche Standardabweichungen $\sigma$ und Erwartungswerte $\mu$.
+\rhead{Kalman-Filter}
+
+\section{Kalman-Filter}
+Da wir die äussere Kraft nicht direkt messen können, benötigen wir ein Werkzeug, welches aus der gemessenen Position, die Krafteinwirkung auf unsere System schätzt.
+Dies ist eine Typische Anwendung für den linearen Kalman-Filter.
+Unser Ziel ist es, anhand der Messung die eigentlich interessante Grösse $f$ zu bestimmen.
+Dabei wird durch eine deterministische Vorhersage, in dem der Zustand * Eigendynamik des Systems gerechnet.
+Die Idee dahinter ist, dass das Kalman-Filter die nicht-deterministische Grösse $f$ anhand der Messung und der Vorhersage zu bestimmen.
+
+Für mehrere Dimensionen (x,y,z) würde der Pythagoras für das System benötigt werden.
+Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein lineares Kalman-Filter implementiert werden.
+Da das Kalman-Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen.
+Für ein nicht-lineares System werden Extended Kalman-Filter benötigt, bei denen die System-Matrix (A) durch die Jacobi-Matrix des System ersetzt wird.
+Einfachheitshalber beschränken wir uns auf den linearen Fall, da dadurch die wesentlichen Punkte bereits aufgezeigt werden.
+\subsection{Geschichte}
+Das Kalman-Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt. Der Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen. Das Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand errechnen. Eine typische Anwendungen des Kalman-Filters ist Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern. Dies kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor.
+\subsection{Wahrscheinlichkeit}
+Das Kalman-Filter schätzt den wahrscheinlichsten Wert zwischen Normalverteilungen.
+Dies bedeutet, das Filter schätzt nicht nur den Mittelwert, sondern auch die Standartabweichung.
+Da Normalverteilungen dadurch vollständig definiert sind, schätzt ein Kalman-Filter die gesamte Verteilungsfunktion des Zustandes.
+Die eine Funktion zeigt die errechnete Vorhersage des Zustands, bzw. deren Normalverteilung.
+Die andere Funktion zeigt die verrauschte Messung des nächsten Zustand, bzw. deren Normalverteilung.
+Wie man am Beispiel der Gauss-Verteilungen unten sehen kann, ist sowohl der geschätzte Zustand als auch der gemessene Zustand normalverteilt und haben dementsprechend unterschiedliche Standardabweichungen $\sigma$ und Erwartungswerte $\mu$.
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf}
- \caption{System}
+ \caption{Zwei Normalerteilungen; Die eine Funktion zeigt die Vorhersage, die andere die Messung}
\end{center}
\end{figure}
-
-Um eine genauere Schätzung des Zustandes zu machen, wird nun ein Wert zwischen den beiden Verteilungen gesucht. An diesem Punkt wird nun eine Eigenschaft ausgenutzt. Durch das Multiplizieren zweier Normalverteilungen entsteht eine neue Normalverteilung.
-
+Um eine genauere Schätzung des Zustandes zu machen, wird nun ein Wert zwischen den beiden Verteilungen berechnet.
+Nun wird eine Eigenschaft der Normalverteilung ausgenutzt. Durch das Multiplizieren zweier Normalverteilungen entsteht eine neue Normalverteilung.
Wir haben eine Normalverteilung der Vorhersage:
-\begin{equation}
-{y_1}(x;{\mu_1},{\sigma_1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}}
-\end{equation}
-und für die Messung:
-
-\begin{equation}
-{y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}.
-\end{equation}
-
-Diesen werden nun Multipliziert und durch deren Fläche geteilt um sie wieder zu Normieren:
-\begin{equation}
-{y_f}(x;{\mu_f},{\sigma_f})=\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1}*{y_2} dx\,}
-\end{equation}
-
-Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass die fusionierte Kurve sich der genauere Normal-Verteilung anpasst. ist ${\sigma_2}$ klein und ${\sigma_1}$ gross, so wird sich die fusionierte Kurve näher an ${y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})$ begeben. Sie ist also gewichtet und die best mögliche Schätzung.
+\[ {y_1}(x;{\mu_1},{\sigma_1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \]
+und der Messung:
+\[ {y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}. \]
-\begin{figure}
- \begin{center}
- \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf}
- \caption{System}
- \end{center}
-\end{figure}
-
-Was in 2 Dimensionen erklärt wurde, funktioniert auch in mehreren Dimensionen. Dieses Prinzip mach sich der Kalman Filter zu nutze, und wird von uns für die Erdbeben Berechnung genutzt.
+Diesen werden nun Multipliziert und durch deren Fläche geteilt um sie wieder zu Normieren:
+\[
+{y_f}(x;{\mu_f},{\sigma_f})=\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1}\cdot{y_2} dx\,}
+ \]
+Diese Kombination der beiden Verteilungen resultiert wiederum in einer Normalverteilung
+\[ {y_f}(x; {\mu_f}, {\sigma_f}) = {y_1}(x;{ \mu_1},{ \sigma_1}) {\cdot y_2}(x; {\mu_2}, {\sigma_2}), \]
+mit Erwartungswert
+\[ \mu_f = \frac{\mu_1\sigma_2^2 + \mu_2 \sigma_1^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} \]
+und Varianz
+\[ \sigma_f^2 = \frac{\sigma_1^2 \sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}. \]
+Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass die fusionierte Kurve sich der genauere Normal-Verteilung anpasst.
+Ist ${\sigma_2}$ klein und ${\sigma_1}$ gross, so wird sich die fusionierte Kurve näher an ${y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})$ begeben.
+Sie ist also gewichtet und die best mögliche Schätzung.
-\section{Aufbau}
-Um ein Erdbeben kenntlich zu machen werden in der Regel Seismographen mit vielen Sensoren verwendet.
-Ein Seismograph besteht im Grunde aus einer federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerät ein, bleibt die gekoppelte Masse stehen und das Gehäuse schwingt mit.Relativbewegung des Bodens kann damit als Längenänderung im Zeitverlauf gemessen werden. In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal.
-Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen, welcher rein mechanisch funktioniert. Zudem kann er nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. Würde das System ausgebaut werden, um alle Horizontalbewegungen aufzunehmen, würde der Verwendung des Kalman-Filters zu kompliziert werden. Für zwei Dimensionen (x,y) würde der Pythagoras für das System benötigt werden. Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein lineares Kalman-Filter implementiert werden. Da das Kalman-Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine Zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen. Für ein nicht-lineares System werden Extended Kalman-Filter benötigt, bei denen die System-Matrix (A) durch die Jacobi-Matrix des System ersetzt wird. Einfachheitshalber beschränken wir uns aber auf den linearen Fall, da dadurch die wesentlichen punkte bereits aufgezeigt werden.
\begin{figure}
\begin{center}
- \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Apperatur}
- \caption{System}
+ \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf}
+ \caption{Durch das Multiplizieren der blauen und der orangen Verteilung entsteht die die rote, optimale Funktion}
\end{center}
\end{figure}
+Was in 2 Dimensionen erklärt wurde, funktioniert auch in mehreren Dimensionen.
+Dieses Prinzip mach sich das Kalman Filter zu nutze, und wird von uns für die Erdbeben Berechnung genutzt.
-\section{Systemgleichung}
-Da das Kalman-Filter zum Schätzen des nächsten Zustand verwendet wird, benötigt das Kalman-Filter eine Beschreibung der Systemdynamik. Im Fall unseres Seismographen, kann die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer gedämpften Schwingung am harmonischen Oszillator verwendet werden. Diese lautet:
-\begin{equation}
-m\ddot x + 2k \dot x + Dx = f
-\end{equation}
-mit den Konstanten $m$ = Masse, $k$ = Dämpfungskonstante und $D$ = Federkonstante.
-
-Um diese nun in die Systemmatrix umzuwandeln, wird aus der Differentialgleichung zweiter Ordnung durch die Substitution \[ {x_1}=x, \qquad
-{x_2}=\dot x, \qquad
-{x_3}=\ddot x\qquad\] erhalten wir die Differentialgleichung \[ m{x_3}+ 2k{x_2} + D{x_1} = f.\] Diese können wir nun in der Form \[ {x_3}=-\frac{D}{m} {x_1} -\frac{2k}{m} {x_2} + \frac{f} {m} \] auch als Matrix-Vektor-Gleichung darstellen.
-
-
-Dafür wird die Gleichung in die Zustände aufgeteilt. Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und die äussere Beschleunigung des ganzen System. Dabei muss unterschieden werden, um welche Beschleunigung es sich handelt. Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse bzw. Feder (innere Beschleunigung), als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äussere Beschleunigung). In unserem Fall wird die äusseren Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbeben Anregung gleich kommt.
-
-
-\begin{equation}
-\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} {x_1} \\ {x_2} \end{array}\right) = \left(
- \begin{array}{ccc}
-0 & 1& 0 \\
-- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
-\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} {x_1} \\ {x_2} \\ {x_3} \end{array}\right).
-\end{equation}
-
-Durch die Rücksubstituion ergibt sich:
-\begin{equation}
-\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} x(t) \\ v(t) \end{array}\right) = \left(
- \begin{array}{ccc}
-0 & 1& 0 \\
-- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
-\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x(t)\\ v(t)\\ f(t) \end{array}\right).
-\end{equation}
-
-
-Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Zeile später mit Nullen bestückt, denn genau diese Werte wollen wir.
-
-\section{Kalman Filter}
-Um den Kalman Filter zu starten, müssen gewisse Bedingungen definiert werden. In diesem Abschnitt werden die einzelnen Parameter/Matrizen erläutert und Erklärt, wofür sie nützlich sind.
-
+\section{Filter-Matrizen}
+Um den Kalman Filter zu starten, müssen gewisse Bedingungen definiert werden.
+In diesem Abschnitt werden die einzelnen Parameter und Matrizen erklärt und erläutert, wofür sie nützlich sind.
\subsection{Anfangsbedingungen}
\subsubsection*{Anfangszustand $x$}
-Das Filter benötigt eine Anfangsbedingung. In unserem Fall ist es die Ruhelage, die Masse bewegt sich nicht. Zudem erfährt die Apparatur keine äussere Kraft.
+Das Filter benötigt eine Anfangsbedingung.
+In unserem Fall ist es die Ruhelage, die Masse bewegt sich nicht.
+Zudem erfährt die Apparatur keine äussere Kraft.
+
-\begin{equation}
-{x_0 }= \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)
-\end{equation}
+\[ {x_0 }= \left( \begin{array}{c} {s_0}\\ {v_0}\\{f_0}\end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\end{array}\right) \]
\subsubsection*{Anfangsfehler / Kovarianzmatrix $P$}
-Da auch der Anfangszustand fehlerhaft sein kann, wird für den Filter einen Anfangsfehler eingeführt. Auf der Diagonalen werden die Varianzen eingesetzt, in den restlichen Felder stehen die Kovarianzen.
-Zur Erinnerung: Die Varianz ist ein Mass für die Streuung eines Wertes, die Kovarianz hingegen beschreibt die Abhängigkeit der Streuungen zweier Werte. Kovarianz: Cov(x, y) undVarianz: Var(x) = Cov(x, x)
+Da auch der Anfangszustand fehlerhaft sein kann, wird für das Filter ein Anfangsfehler verwendet.
+Auf der Diagonalen werden die Varianzen eingesetzt, in den restlichen Felder stehen die Kovarianzen.
+Zur Erinnerung: Die Varianz ist ein Mass für die Streuung eines Wertes, die Kovarianz hingegen beschreibt die Abhängigkeit der Streuungen zweier Werte.
-In unserem Fall ist der Anfangszustand gut bekannt. Wir gehen davon aus, dass das System in Ruhe und in Abwesenheit eines Erdbeben startet, somit kann die Matrix mit Nullen bestückt werden. Somit ergibt sich für die Kovarianzmatrix
+Kovarianz: Cov(x, y) und Varianz: Var(x) = Cov(x, x)
-\begin{equation}
+In unserem Fall ist der Anfangszustand gut bekannt.
+Wir gehen davon aus, dass das System in Ruhe und in Abwesenheit eines Erdbeben startet, somit kann die Matrix mit Nullen bestückt werden.
+Als Initialwert für die für die Kovarianzmatrix ergibt sich
+
+\[
{P_0 }=
\left(
\begin{array}{ccc}
@@ -137,232 +116,150 @@ In unserem Fall ist der Anfangszustand gut bekannt. Wir gehen davon aus, dass da
0 & 0 &0 \\
\end{array}
\right).
-\end{equation}
-Diese Matrix beschreibt die Unsicherheit des geschätzten Zustandes und wird sowohl für die Vorhersage als auch die Korrektur benötigt. Sie wird nach jeder Schätzung aktualisiert.. Für einen gut bekannten Zustandsvektor können kleine Werte eingesetzt werden, für ungenaue Anfangsbedingungen sollten grosse Werte (1 Million) verwendet werden. Grosse Werte ermöglichen dem Filter sich schnell einzupendeln.
-
+ \]
+Diese Matrix beschreibt die Unsicherheit des geschätzten Zustandes und wird sowohl für die Vorhersage als auch die Korrektur benötigt.
+Sie wird nach jeder Schätzung aktualisiert.
+Für einen gut bekannten Zustandsvektor können kleine Werte eingesetzt werden, für ungenaue Anfangsbedingungen sollten grosse Werte verwendet werden.
+Grosse Werte ermöglichen dem Filter sich schnell einzupendeln.
\subsubsection*{Dynamikmatrix $A$}
-Die Dynamikmatrix bildet den Kern des Filters. Diese wurde weiter oben Bereits beschrieben. Dabei wollen wird die äussere Kraft des Systems ermitteln.
-Da nichts über die äussere Kraft bekannt ist, müssen wir annehmen das deren Ableitung 0 ist.
+Das Kalman-Filter benötigt für die Vorhersage des nächsten Zustandes eine Beschreibung der Systemdynamik.
+Die Dynamikmatrix bildet den Kern des Filters. Diese wurde weiter oben bereits beschrieben.
+Dabei wollen wird die äussere Kraft des Systems ermitteln.
+Da nichts über die äussere Kraft bekannt ist, müssen wir annehmen das deren Ableitung 0 ist.
Die System Vektor-Gleichung lautet daher:
-
-
-\begin{equation}
+\[
A = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1& 0 \\
- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
0 & 0& 0\\
\end{array}\right)
-\end{equation}
+ \]
+Dabei soll der Kalman-Filter in diskreten Zeitschritten $\Delta t$ arbeiten.
+Die Übergangs-Matrix erhalten wir aus der Systemdynamikmatrix mittels Exponentialfunktion:
+\[\Phi = \exp(A\Delta t). \]
\subsubsection*{Prozessrauschkovarianzmatrix $Q$}
-Die Prozessrauschmatrix teilt dem Filter mit, wie sich der Systemzustand verändert. Kalman-Filter berücksichtigen Unsicherheiten wie Messfehler und -rauschen. Bei unserem Modell könnte das beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein. Für uns wäre dies:
-\begin{equation}
+Die Prozessrauschmatrix teilt dem Filter mit, wie sich der Prozess verändert.
+Kalman-Filter berücksichtigen Unsicherheiten wie Messfehler und -rauschen.
+Bei unserem Modell könnte das beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein.
+Für uns wäre dies:
+\[
Q = \left(
\begin{array}{ccc}
-{\sigma_x }^2& 0& 0 \\
+{\sigma_s }^2& 0& 0 \\
0 & {\sigma_v }^2& 0\\
0 & 0& {\sigma_f }^2\\
\end{array}\right)
-\end{equation}
+ \]
-Die Standabweichungen müssten Statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht vom Sensor kommt und somit nicht vom Hersteller gegeben ist. Das Bedeutet wiederum dass $Q$ die Unsicherheit des Prozesses beschreibt, und die der Messung.
+Die Standabweichungen müssten statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht vom Sensor kommt und somit nicht vom Hersteller gegeben ist.
+Das Bedeutet wiederum dass $Q$ die Unsicherheit des Prozesses beschreibt und nicht die der Messung.
\subsubsection*{Messmatrix $H$}
-Die Messmatrix gibt an, welche Parameter gemessen werden soll. In unserem Falle ist es nur die Position der Massen.
+Die Messmatrix gibt an, welche Parameter gemessen werden
+In unserem Falle ist es die Position der Massen.
\[ H = (1, 0, 0) \]
-
\subsubsection*{Messrauschkovarianz $R$}
-Die Messrauschkovarianzmatrix beinhaltet, wie der Name es schon sagt, das Rauschen der Positionssensoren. In unserem Fall wird nur die Position der Masse gemessen. Da wir keine anderen Sensoren haben ist $R$ lediglich:
-\begin{equation}
-R= ({\sigma_x}^2).
-\end{equation}
-Diese Messrauchen wird meistens vom Sensorhersteller angegeben. Für unsere Theoretische Apparatur wird hier ein kleiner Fehler eingesetzt.
-
-\subsection{Fiter Algorithmus}
-Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird der Filter initialisiert und wird den Zustand der Feder vorherzusagen, die Messung zu präzisieren und laufend zu aktualisieren. Das Filter berechnet aufgrund der aktuellen Schätzung eine Vorhersage. Diese wird, sobald verfügbar, mit der Messung verglichen. Aus dieser Differenz und den Unsicherheiten des Prozesses ($Q$) und der Messung ($R$) wird der wahrscheinlichste, neue Zustand geschätzt.
-
+Die Messrauschkovarianzmatrix beinhaltet, wie der Name es schon sagt, das Rauschen der Positionsmessung.
+In unserem Fall wird nur die Position der Masse gemessen. Da wir keine anderen Sensoren haben ist $R$ lediglich:
+\[ R= ({\sigma_{sensor}}^2).
+ \]
+Diese Messrauchen wird meistens vom Sensorhersteller angegeben.
+Für unsere Theoretische Apparatur wird hier ein kleiner Fehler eingesetzt da heutige Sensoren sehr genau messen können.
+
+\subsection{Fiter-Agorithmus}
+Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird das Filter initialisiert.
+Zuerst wird der nächste Zustand der Feder vorhergesagt, danach wird die Messung präzisiert und laufend zu aktualisieren.
+Das Filter berechnet aufgrund der aktuellen Schätzung eine Vorhersage.
+Diese wird, sobald verfügbar, mit der Messung verglichen.
+Aus dieser Differenz und den Unsicherheiten des Prozesses ($Q$) und der Messung ($R$) wird der wahrscheinlichste, neue Zustand geschätzt.
\subsubsection*{Vorhersage}
-Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet. Dies funktioniert mit dem Rechenschritt:
-\begin{equation}
-{x_{t+1}}=A\cdot{x_t}.
-\end{equation}
+Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet.
+Dies funktioniert mit dem Rechenschritt:
+\[
+{x_{k|k-1}}=\Phi \cdot {x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t)\cdot{x_{k|k-1}}.
+ \]
+
+Die Kovarianz $P_{pred}$ wird ebenfalls neu berechnet. Da wir ein mehrdimensionales System haben, kommt noch die Prozessunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ laufend verändert.
+Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix mit dem aktualisierten Anfangsfehler.
+Dazu wird noch die Prozessunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung
+\[ {P_{k|k-1}} = {\Phi_k} {P_{k-1|k-1}} {\Phi_k} ^T + {Q_{k-1}} .\]
+Es vergeht genau $dt$ Zeit, und dieser Vorgang wird wiederholt.
+Dabei wird in den späteren Schritten überprüft, wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt.
+Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner, ist der Unterschied gross, wird auch die Kovarianz grösser.
+Das Filter passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung.
+\subsubsection*{Messen}
+Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für das Filter.
+Die aktuellen Messwerte $z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet.
+Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$ mit der Vorhersage multipliziert
-Die Kovarianz $P_{pred}$ wird ebenfalls neu berechnet. Da wir ein mehrdimensionales System haben, kommt noch die Prozessunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ laufend verändert. Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix mit dem aktualisierten Anfangsfehler. Dazu wird noch die Prozessunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung
-\[ P_\mathrm{pred} = A P A^T + Q . \]
-
-wird dieser Vorgang wiederholt, schaut der Filter wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner, ist der Unterschied gross, wird auch die Kovarianz grösser. Das Filter passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung.
+\[{w_{k}}={z_{k}}-{H_{k}}\cdot{x_{k|k-1}}.\]
-\subsubsection*{Messen}
-Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für den Filter. Die aktuellen Messwerte $z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet.
-Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$
-\begin{equation}
-w=Z-(H\cdot x)
-\end{equation}
-Die Innovation ist der Teil der Messung, die nicht durch die Systemdynamik erklärt werden kann. Die Hilfsgröße Innovation beschreibt, wie genau der vorhergesagte Mittelwert den aktuellen Messwert mittels der Beobachtungsgleichung beschreiben kann. Für eine schlechte Vorhersage wird die dazugehörige Innovation gross, für eine genaue Vorhersage dagegen klein sein. Entsprechende Korrekturen müssen dann gross bzw. nur gering ausfallen. Innovation = Messung - Vorhersage. Dies ist intuitiv logisch, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte.
+Die Innovation ist der Teil der Messung, die nicht durch die Systemdynamik erklärt werden kann.
+Die Hilfsgröße Innovation beschreibt, wie genau die Vorhersage den aktuellen Messwert mittels der Systemmatrix $\phi$ beschreiben kann.
+Für eine schlechte Vorhersage wird die dazugehörige Innovation gross, für eine genaue Vorhersage dagegen klein sein.
+Entsprechende Korrekturen müssen dann gross bzw. nur gering ausfallen.
+Innovation = Messung - Vorhersage. Dies ist intuitiv logisch, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte.
Im nächsten Schritt wir analysiert, mit welcher Kovarianz weiter gerechnet wird.
Hierbei wird die Unsicherheit $P$, die Messmatrix $H$ und die Messunsicherheit $R$ miteinander verrechnet.
-\begin{equation}
-S=Z-(H\cdot P\cdot H`+R)
-\end{equation}
-
+\[
+{S_{k}}={H_{k}}{P_{k|k-1}}{H_{k}}^T+{R_{k}}
+ \]
\subsubsection*{Aktualisieren}
Im nächsten Schritt kommt nun die Wahrscheinlichkeit nach Gauss dazu.
-
-\begin{equation}
-K= \frac{P \cdot H`}S
-\end{equation}
-Dieser Vorgang wird Kalman-Gain genannt. Er sagt aus, welcher Kurve mehr Vertraut werden soll, dem Messwert oder der Systemdynamik.
-Das Kalman-Gain wird geringer wen der Messwert dem vorhergesagten Systemzustand entspricht. Sind die Messwerte komplett anders als die Vorhersage, wo werden die Elemente in der Matrix $K$ grösser.
-
+\[
+{K_{k}}= {{P_{k|k-1}} \cdot {H_{k}^T}}\cdot {S_{k}}^{-1}
+ \]
+Dieser Vorgang wird Kalman-Gain genannt.
+Er sagt aus, welcher Kurve mehr Vertraut werden soll, dem Messwert oder der Systemdynamik.
+Das Kalman-Gain wird geringer wen der Messwert dem vorhergesagten Systemzustand entspricht.
+Sind die Messwerte komplett anders als die Vorhersage, wo werden die Elemente in der Matrix $K$ grösser.
Anhand der Informationen aus dem Kalman-Gain $K$ wird das System geupdated.
-\begin{equation}
-x=x+(K \cdot w)
-\end{equation}
+\[
+{x_{k|k}}={x_{k|k-1}}+({K_{k}}\cdot {w_{k}})
+ \]
Dazu kommt eine neue Kovarianz für den nächste Vorhersageschritt:
-\begin{equation}
-P=(I-(K \cdot H)) \cdot P
-\end{equation}
+\[
+{P_{k|k}}=(I-({K_{k}} \cdot {H_{k}})) \cdot {P_{k|k-1}}
+ \]
Der ganze Ablauf wird nun zum Algorithmus und beginnt wieder mit der Vorhersage
-\begin{equation}
-{x_{t+1}}=e^{A\Delta t}{ x_t}.
-\end{equation}
+\[
+{x_{k|k-1}}=\Phi \cdot {x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t)\cdot{x_{k|k-1}}.
+ \]
\subsection{Zusammenfassung }
-Zusammenfassend kann das Kalman-Filter in offizieller Typus dargestellt werden. Dabei beginnt das Filter mit dem Anfangszustand für $k=0$
+Zusammenfassend kann das Kalman-Filter in offizieller Typus dargestellt werden.
+Dabei beginnt das Filter mit dem Anfangszustand für $k=0$
1. Nächster Zustand vorhersagen
-\begin{equation}
-{x_{k|k-1}}={A_{k-1}}{x_{k-1}}+{B_{k-1}}{u_{k-1}}
-\end{equation}
+\[{x_{k|k-1}}=\Phi \cdot {x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t)\cdot{x_{k|k-1}}.\]
2. Nächste Fehlerkovarianz vorhersagen
-\begin{equation}
-{P_{k|k-1}}={A_{k-1}}{P_{k-1}}{A_{k-1}^T}+{Q_{k-1}}
-\end{equation}
-
+\[{P_{k|k-1}}={\Phi _{k}} {P_{k-1|k-1}} {\Phi _{k}}^T + {Q_{k-1}}.\]
3. Das Kalman Filter anwenden
-\begin{equation}
-{K_k}={P_{k-1}}{H_{k}^T({H_k}{P_{k|k-1}}{H_k}^T}+{R_k})^{-1}
-\end{equation}
+\[{K_{k}}= {P_{k|k-1}} \cdot {H_{k}^T}\cdot {S_{k}^{-1}}\]
4. Schätzung aktualisieren
-\begin{equation}
-{x_k}={x_{k|k-1}}+{K_k}({z_k}-{H_k}{x_{k|k-1}})
-\end{equation}
+\[{x_{k|k}}={x_{k|k-1}}+({K_{k}}\cdot {w_{k}}) \]
5. Fehlerkovarianz aktualisieren
-\begin{equation}
-{P_k}=(I-{K_k}{H_k}){P_{k|k-1}}
-\end{equation}
-
-6. Die Outputs von $k$ werden die Inputs für ${k-1}$ und werden wieder im Schritt 1 verwendet
-
-
-\section{Matlab-Code}
-Um das simulierte Erdbeben auf die theoretische Apparatur zu bringen und mit dem Kalman-Filter Resultate zu generieren, wurde in Matlab der Algorithmus programmiert.
-\begin{lstlisting}
-%% Initialisierte Werte
-t0 = 0.00; % Anfangszeit
-deltat = 0.01; % Zeitschritt
-tend = 50.00; % Endzeit
-
-% Standard-Abweichungen Prozess
-sigmax = 0.05e-3; % Position
-sigmav = 0.01e-3; % Geschwindigkeit
-sigmaf = 1; % (Äussere) Kraft
-
-% Standard-Abweichung Messung
-sigmam = 0.01e-3;
-
-% Systemparameter
-m = 1.00; % Masse
-D = 0.30; % Federkonstante
-k = 0.10; % Dämpfung
-
-
-%% Kalmanfilter
-% Initialisierung
-
-
-% Anfangszustand (Position, Geschwindigkeit, Kraft)
-x0 = [0; 0; 0];
-
-% Unsicherheit des Anfangszustand
-P0 = [0, 0, 0; ...
- 0, 0, 0; ...
- 0, 0, 0];
-
-% Systemmatrizen
-A = [0, 1, 0;... % Dynamikmatrix
- -D/m, -2*k/m, 1;...
- 0, 0, 0]; % Ableitungen von f(t) unbekant. Annahme: 0
-A = expm(A * deltat);
-
-Q = [sigmax^2, 0, 0;...
- 0, sigmav^2, 0;...
- 0, 0, sigmaf^2]; % Prozessrauschen (Covarianz)
-
-% Messprozess
-H = [1, 0, 0]; % Messmatrix
-R = sigmam^2; % Messrauschen (Könnte durch Versuche bestimmt werden)
-
-I = eye(3); % Identity matrix (Einheitsmatrix)
-
-% Filterprozess
-
-% Initialisieren der Variablen
-N = length(t); % Anzahl Punkte im Einheitsvektor (= Anzahl Messwerte)
-xhat = zeros(3, N); % Matrix mit geschätzten Zuständen
-
-% Index ':' bedeutet: 'alles'
-% Index '(1, :)' bedeutet: 'alles aus der 1. Zeile'
-
-% Anfangszustand setzen
-xhat(:, 1) = x0;
-P = P0;
-
-% Kalman-Matrizen konvergiert. Vorab-Berechnung in 'genügenden' Iterationen
-for idx = 1:100
- Ppred = A * P * A' + Q; % Prädizieren der Kovarianz
- S = (H * Ppred * H' + R); % Innovationskovarianz
- K = Ppred * H' / S; % Filter-Matrix (Kalman-Gain)
- P = (I - K * H) * Ppred; % Aktualisieren der Kovarianz
-end
-
-% Anfangszustand gegeben
-% Erster zu berechnender Wert ist der zweite
-for idx = 2:N
- % Vorhersage
- xpred = A * xhat(:, idx-1); % Prädizierter Zustand aus Bisherigem und System
- % Ppred = A * P * A' + Q; % Prädizieren der Kovarianz
-
- % Korrektur
- y = xt(idx) - H * xpred; % Messungen/ Kraft aus System - Vohersage
- % S = (H * Ppred * H' + R); % Innovationskovarianz
- % K = Ppred * H' / S;
-
- xhat(:, idx) = xpred + K * y; % Aktualisieren des Systemzustands
- % P = (I - K * H) * Ppred; % Aktualisieren der Kovarianz
-end
-\end{lstlisting}
-
-
-
+\[{P_{k|k}}=(I-({K_{k}}\cdot {H_{k}})) \cdot {P_{k|k-1}} \]
+6. Die Outputs von $k$ werden die Inputs für ${k-1}$ und werden wieder im Schritt 1 verwendet
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex b/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex
index 83e0f94..c03b1a4 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex
@@ -6,14 +6,40 @@
\section{Anwendungen des Reed-Solomon-Codes
\label{reedsolomon:section:anwendung}}
\rhead{Anwendungen}
-\textcolor{red}{Platzierung der Bilder? Quellenangabe der Bilder?}
In den vorherigen Abschnitten haben wir betrachtet, wie Reed-Solomon-Codes in der Theorie Funktionieren.
In diesem Abschnitt werden wir einige Anwendungen vorstellen, bei denen ein Reed-Solomon-Code zum Einsatz kommt.
+
+Dabei teilen all diese Anwendungen das gleiche Problem: Die Daten können nur durch einen (höchst Wahrscheinlichen) fehlerbehafteten Kanal empfangen werden. Es gibt keine andere Methode an diese Daten zu kommen als über diesen Kanal.
+
+
+In der Netzwerktechnik zum Beispiel ist es üblich, dass bei Paketverluste oder beschädigt empfangene Datenpakete diese einfach noch einmal inert wenigen Millisekunden angefordert werden können.
+In der Raumfahrt ist dies nicht möglich, da aufgrund der beschränkten Speichermöglichkeit die gesammelten Daten so rasch wie möglich zur Erde gesendet werden.
+Diese Daten wiederum brauchen aufgrund der grossen Distanz Stunden bis die Daten beim Empfänger ankommen.
+Fehlerhafte Daten kann also auf Grund der Zeitverzögerung nicht mehr angefordert werden.
+
+Bei CDs oder DVDs gibt es zwar kein Zeitliches Problem, jedoch erschweren Kratzer, Verschmutzungen oder Produktionsfehler das Lesen einer solchen Disk.
+Da vor allem Produktionsfehler und Kratzer irreversibel sind und die Disk nicht nach jedem Kratzer ersetzt werden muss, so wird die korrekte Ausgabe der gespeicherten Information durch die Fehlerkorrektur sichergestellt.
+
+Ein ähnlicher Ansatz verfolgen QR-Codes, wobei die Information auch dann noch gelesen werden kann wenn der Code nicht mehr vollständig vorhanden ist.
+
+%Wie man sieht, eignen sich Reed-Solomon-Codes vor allem für Anwendungen, bei der die Informationen nicht auf einen Anderen Weg beschafft werden kann.
+%
+%
+%, bei denen die Wahrscheinlichkeit hoch ist, dass während der Übertragung
+%
+%Es ist deshalb umso wichtiger die Daten Codiert zu lesen um so gleich die Lesefehler zu korrigieren.
+%
+% da aufgrund der grossen Distanz Stunden vergehen können bis gesendete Daten auf der Erde empfangen werden kann.
+%
+
+
Obwohl alle diese Codes nach dem gleichen Prinzip arbeiten gibt es starke Unterschiede in deren Funktionsweise.
Dies kommt vor allem daher, da die Codes nur Ressourcen zur Verfügung haben, die von der Hardware bereitstellt wird, auf denen die Codes implementiert wurden.
Diese Codes bedienen sich daher verschiedener Tricks und Optimierungen um möglichst effizient zu arbeiten.
-%
+
+Um die Fähigkeit eines verwendeten Reed-Solomon-Codes zu beschreiben verwendet man die Notation ($n$,$k$), wobei $n$ die Grösse des Nachrichtenblocks angibt und $k$ die Anzahl der Stellen, die für Nutzdaten gebraucht werden können.
+
%Dies kommt vor allem daher, da diese Codes an ihre Hardware gebunden sind, auf denen sie implementiert worden sind.
%Deshalb wurden diese Codes stark optimiert damit sie möglichst Effizient arbeiten können.
%
@@ -45,8 +71,17 @@ Diese Codes bedienen sich daher verschiedener Tricks und Optimierungen um mögli
%In den letzten abschnitten haben wir uns ausführlich die Funktionsweise des Reed-Solomon-Codes angeschaut. In diesem Abschnitt möchten wir dem Leser ein paar bekannte beispiele vorstellen, in denen Reed-Solomon-Codes zum einsatz kommen. Es sei jedoch angemerkt, dass diese Anwendungen in der Umsetzung oft ein wenig anderst funktionieren als hier vorgestellt. Dies wurde vor allem wegen technischen optimierungen realisiert. (technische tricks und finessen), von der logik jedoch sehr stark an unserem Beispiel orientieren
\subsection{Raumfahrt}
-Obwohl Reed-Solomon-Codes bereits in den 1960er entwickelt wurden fanden sie erstmals Anwendung in der Voyager Raumsonde der NASA. Die Daten der zwei im Jahre 1977 gestarteten Sonden werden mit einem RS(255,233)-Code \textcolor{red}{benötigt das weitere erklärungen, wie z.b. 255: grösse nachrichtenblock, 233: anzahl der nutzbaren daten ?} zusammen mit einem konventionellen Faltungscode übertragen.
-
+Obwohl Reed-Solomon-Codes bereits in den 1960er entwickelt wurden fanden sie erstmals Anwendung in der Voyager Raumsonde der NASA. Die Daten der zwei im Jahre 1977 gestarteten Sonden (siehe Abbildung \ref{fig:voyager}) werden mit einem ($255$,$233$)-Code
+Codiert.
+Der Nachrichtenblock hat somit eine Länge von $255$ Zahlen, wovon $233$ als Nutzlast zur Verfügung stehen.
+Damit ist es möglich bis zu $11$ Fehler im Nachrichtenblock zu korrigieren.
+Der Codierte Nachrichtenblock wird in kleinere Blöcke aufgeteilt, mit einem Faltungscode erneut Codiert und anschliessend gesendet. Ein Faltungscode ist wie ein Reed-Solomon-Code in der Lage Fehler zu korrigieren, Funktioniert aber nach einem ganz anderen Prinzip.
+Durch diese doppelte Codierung wird eine äusserst hohe Übertragungssicherheit garantiert.
+%
+%Dabei steht die Zahl 255 für grösse des Nachrichtenblocks, der die Anzahl 233
+%
+%
+% \textcolor{red}{benötigt das weitere Erklärungen, wie z.b. 255: grösse Nachrichtenblock, 233: anzahl der nutzbaren daten ?} zusammen mit einem konventionellen Faltungscode übertragen. Eine von der Sonde gesendete Nachricht hat eine Blockgrösse von 255 Zeichen, wovon 233 für die Nutzdaten gebraucht werden können. Dieser Code ist somit in der Lage 11 Fehler in einem Nachrichtenblock zu korrigieren.
%
% Die zwei im Jahre 1977 gestarteten Sonden senden Daten mit der Hilfe eines RS(255,233)-Code für die digitalen Bilder sowie einem konventionellen Faltungscode.
%
@@ -56,14 +91,14 @@ Obwohl Reed-Solomon-Codes bereits in den 1960er entwickelt wurden fanden sie ers
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/Voyager_Sonde}
- \caption{Voyager Raumsonde}
+ \caption{Mit einer Entfernung von über 22.8 Milliarden Kilometer ist die Voyager 1 Raumsonde das am weitesten entfernte, von Menschen erschaffene Objekt. Obwohl ihre Schwestersonde Voyager 2 zuerst ins All gestartet wurde befindet Sie sich ``nur'' 19 Milliarden Kilometer weit weg von der Erde. Aufgrund abnehmender Batterieleistung werden die beiden Sonden ihre wissenschaftlichen Aktivitäten etwa 2025 einstellen, bleiben aber bis in die 2030er mit uns in Kontakt.}
\label{fig:voyager}
\end{figure}
\subsection{CD/DVD}
Compact discs verwenden sogar zwei ineinander verschachtelte Reed-Solomon-Codes, einen (32,28)-Code und einen (28,24)-Code.
-Beide Codes sind in der Lage, Fehler aus dem jeweils anderen gelesenen Block zu korrigieren. Dieses spezielle zusammenspielen dieser beiden Codes werden auch Cross-interleaved Reed-Solomon-Codes (CIRC) genannt.
-Diese Vorgehensweise erzielt eine hohe Robustheit gegenüber Produktionsfehler oder Verschmutzung auf der Disc. Bei CD's sind diese in der Lage bis zu 4000 fehlerhafte Bits am Stück (ca. $2.5mm$) zu erkennen und zu korrigieren.
+Beide Codes sind in der Lage, Fehler aus dem jeweils anderen gelesenen Block zu korrigieren. Dieses spezielle Zusammenspielen dieser beiden Codes werden auch Cross-interleaved Reed-Solomon-Codes (CIRC) genannt.
+Diese Vorgehensweise erzielt eine hohe Robustheit gegenüber Produktionsfehlern oder Verschmutzung auf der Disc. Bei CDs sind diese in der Lage, bis zu 4000 fehlerhafte Bits am Stück (ca. $2.5mm$) zu erkennen und zu korrigieren.
Die Digital Video Disc funktioniert nach dem selben Konzept mit grösseren Codeblöcken. Die DVD verwendet einen (208,192)-Code und einen (182,172)-Code.
@@ -73,12 +108,19 @@ Die Digital Video Disc funktioniert nach dem selben Konzept mit grösseren Codeb
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/Compact_Disc}
- \caption{Compact Disc}
+ \caption{CDs kamen 1982 auf den Markt. Sie funktioniert durch das ``einbrennen'' von Punkten und Strichen, die die Daten repräsentieren. Gelesen werden diese wiederum durch die Reflektion eines Lasers an diesen Punkten und Strichen.}
\label{fig:cd}
\end{figure}
\subsection{QR-Codes}
-Quick Response Codes funktionieren nach einem sehr ähnlichen Prinzip wie in unserem Beispiel, nur dass QR-Codes in einem $\mathbb{F}_{256}$ Körper arbeiten. Je nach grösse der Codierung ist der QR-Code im Endeffekt robuster gegen Beschädigungen. Bei Low Level Codes können 7\% der Daten Wiederhergestellt werden, beim High Level Code sind das sogar 30\%.
+Quick Response Codes oder auch QR-Codes funktionieren nach einem sehr ähnlichen Prinzip wie in unserem Beispiel der Abschnitte \ref{reedsolomon:section:codebsp} - \ref{reedsolomon:section:rekonstruktion} nur das QR-Codes in einem $\mathbb{F}_{256}$ Körper arbeiten. Die Physische Grösse eines Codes ist stark abhängig von der Grösse der Codierung sowie dem Fehlerkorrektur-Level. Es ist so auf dem ersten Blick nicht ersichtlich, wie viel Nutzinformationen ein Qr-Code enthält. Die QR-Codes in Abbildung \ref{fig:qr} zeigen jeweils die Gleiche Information mit unterschiedlichem Fehlerkorrektur-Level. Codes mit einem höheren Korrektur-Level können auch für Designer-Codes Zweckentfremdet werden. Dabei wird z.B. das Firmenlogo oder einen Schriftzug über den Qr-Code gelegt, ohne das die Funktion des Codes beeinträchtigt wird. Ein Beispiel dazu ist unter Abbildung \ref{fig:designqr} zu finden.
+
+%
+
+%So kann auf den ersten Blick nicht
+%
+%
+% funktionieren nach einem sehr ähnlichen Prinzip wie in unserem Beispiel, nur dass QR-Codes in einem $\mathbb{F}_{256}$ Körper arbeiten. Je nach grösse der Codierung ist der QR-Code im Endeffekt robuster gegen Beschädigungen. Bei Low Level Codes können 7\% der Daten Wiederhergestellt werden, beim High Level Code sind das sogar 30\%.
\begin{figure}
\centering
@@ -88,6 +130,30 @@ Quick Response Codes funktionieren nach einem sehr ähnlichen Prinzip wie in uns
\subfigure[]{
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/qrcode_l}
}
- \caption{(a) High Level Code, (b) Low Level Code}
+% \subfigure[]{
+% \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/designer_qrcode_ohnelogo}
+% }
+% \subfigure[]{
+% \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/designer_qrcode}
+% }
+ \caption{Anhand der grösse würde man darauf schliessen, dass bei (a) mehr Informationen Codiert sind als bei (b). Tatsächlich aber beinhalten beide Codes die gleiche Information. Das liegt daran, da die Fehlerkorrekturfähigkeit von QR-Codes sich in insgesamt vier Levels aufteilen lassen. Der höchste Fehlerkorrektur-Level, der bei (a) angewendet wurde, ist in der Lage, bis zu 30\% der Daten wiederherzustellen. Der kleinste Level schafft etwa 7\%, der in (b) veranschaulicht wird. Da die Grösse also nichts über die Menge an Daten aussagt, könnte es sich bei (a) auch um einen Code mit viel Nutzdaten und kleinem Fehlerkorrektur-Level handeln. Der Unterschied ist von Auge nicht sichtbar.}
\label{fig:qr}
\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \centering
+% \subfigure[]{
+% \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/qrcode_h}
+% }
+% \subfigure[]{
+% \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/qrcode_l}
+% }
+ \subfigure[]{
+ \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/designer_qrcode_ohnelogo}
+ }
+ \subfigure[]{
+ \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/designer_qrcode}
+ }
+ \caption{Während (a) noch ein unveränderter QR-Code repräsentiert, handelt es sich bei (b) nun um einen Designer-QR-Code. Beide Codes verfügen über einen mittleren Fehlerkorrektur-Level von theoretisch 15\%. Da bei (b) jetzt einen Teil des Codes durch ein Logo verdeckt wird, schränkt sich dadurch die Fehlerkorrekturfähigkeit je nach grösse des verdeckten Teils mehr oder weniger stark ein. Unser Designer-Code in (b) ist nur noch in der Lage etwa 9\% des Codes zu rekonstruieren.}
+ \label{fig:designqr}
+\end{figure} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/designer_qrcode.png b/buch/papers/reedsolomon/images/designer_qrcode.png
new file mode 100644
index 0000000..a9e0505
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/images/designer_qrcode.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/designer_qrcode_ohnelogo.png b/buch/papers/reedsolomon/images/designer_qrcode_ohnelogo.png
new file mode 100644
index 0000000..fe4251d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/images/designer_qrcode_ohnelogo.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/main.tex b/buch/papers/reedsolomon/main.tex
index 18994dc..e68b947 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/main.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/main.tex
@@ -45,6 +45,12 @@ Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
\nocite{reedsolomon:weitz}
\nocite{reedsolomon:informationkommunikation}
+\nocite{reedsolomon:voyager_programm}
+\nocite{reedsolomon:voyager}
+\nocite{reedsolomon:cd_wiki}
+\nocite{reedsolomon:cd}
+\nocite{reedsolomon:qr_wiki}
+\nocite{reedsolomon:qr}
%\nocite{reedsolomon:mendezmueller}
\printbibliography[heading=subbibliography]
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/references.bib b/buch/papers/reedsolomon/references.bib
index 731bd35..e0a75a8 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/references.bib
+++ b/buch/papers/reedsolomon/references.bib
@@ -23,3 +23,56 @@
volume = {1}
}
+@online{reedsolomon:voyager_programm,
+ title = {Information über das Voyager Programm},
+ url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Voyager-Programm},
+ date = {2021-07-19},
+ year = {2021},
+ month = {7},
+ day = {19}
+}
+
+@online{reedsolomon:voyager,
+ title = {Bild der Voyager Raumsonde},
+ url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Voyager_1},
+ date = {2021-07-19},
+ year = {2021},
+ month = {7},
+ day = {19}
+}
+
+@online{reedsolomon:cd_wiki,
+ title = {Alles über die CD},
+ url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Compact_Disc},
+ date = {2021-07-19},
+ year = {2021},
+ month = {7},
+ day = {19}
+}
+
+@online{reedsolomon:cd,
+ title = {Funktionsweise des QR-Codes},
+ url = {https://www.stickpng.com/img/electronics/compact-discs/stack-compact-disc},
+ date = {2021-07-19},
+ year = {2021},
+ month = {7},
+ day = {19}
+}
+
+@online{reedsolomon:qr_wiki,
+ title = {Funktionsweise des QR-Codes},
+ url = {https://de.wikipedia.org/wiki/QR-Code},
+ date = {2021-07-19},
+ year = {2021},
+ month = {7},
+ day = {19}
+}
+
+@online{reedsolomon:qr,
+ title = {Tool zum erstellen von QR-Codes},
+ url = {https://www.qrcode-generator.ch},
+ date = {2021-07-19},
+ year = {2021},
+ month = {7},
+ day = {19}
+} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
index 6a5dc28..d96d450 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -2,35 +2,83 @@
\label{section:verkehr/einfuehrung}
\subsection{Verkehrsnetze}
-Das Verkehrsnetz besteht aus allen Anlagen, auf oder unter der Erdoberfläche, auf denen eine räumliche Fortbewegung von Personen oder auch Gütern stattfindet. Verkehrsnetze sind ein Bestandteil der Verkehrsinfrastruktur, die auf topografischen Karten festgehalten werden. Sie umfassen den Schienenverkehr, alle Strassen und Wege, wie auch Flugplätze und alle dazugehörigen Bauwerke.
+Das Verkehrsnetz besteht aus allen Anlagen, auf oder unter der Erdoberfläche, auf denen eine räumliche Fortbewegung von Personen oder auch Gütern stattfindet. Verkehrsnetze sind ein Bestandteil der Verkehrsinfrastruktur, die auf topografischen Karten festgehalten werden. Sie umfassen den Schienenverkehr, alle Strassen und Wege, wie auch Flugplätze und alle dazugehörigen Bauwerke.
Aus verkehrsgeografischer Sicht besteht das Verkehrsnetz aus Kanten, Knotenpunkten und dem Hinterland. Die Knotenpunkte werden auch hier durch die Kanten verbunden, die den Verkehrsstrom aufnehmen, wobei das Hinterland durch einzelne Knoten versorgt wird. Die Aufteilung in Kanten und Knotenpunkte ermöglicht eine Vereinfachung komplexer Verkehrsnetze, damit sie mittels der Graphentheorie untersucht werden können.
-Grundsätzlich können kurze Wege zwischen den Knotenpunkten das Ziel beim
-Aufbau eines Verkehrsnetzes sein. Es kann aber auch versucht werden, die Bau- und Unterhaltskosten des Verkehrsnetzes in einem gewissen Rahmen zu halten. Aus diesen Vorgaben ergibt sich dann, je nach dem was gewünscht wird, eine grob- oder feinmaschige Struktur des Netzes.
+Grundsätzlich können kurze Wege zwischen den Knotenpunkten das Ziel beim Aufbau eines Verkehrsnetzes sein. Es kann aber auch versucht werden, die Bau- und Unterhaltskosten des Verkehrsnetzes in einem gewissen Rahmen zu halten. Aus diesen Vorgaben ergibt sich dann, je nach dem was gewünscht wird, eine grob- oder feinmaschige Struktur des Netzes.
Ziel ist aber ein möglichst wirtschaftliches und optimales Verkehrsnetz.
\subsection{Suchalgorithmen}
\subsubsection{Dijkstra-Algorithmus}
Der Algorithmus von Dijkstra ist benannt nach seinem Erfinder dem Mathematik- und Infomratikprofessor Edsger Dijkstra. Den Algorithmus hat er im Jahr 1959 erfunden.
-Der Algorithmus von Dijkstra ist ein Greedy-Algorithmus (gieriger Algorithmus), der schrittweise einen Folgezustand auswählt, damit beim Zeitpunkt der Wahl der grösste Gewinn bzw. das beste Ergebnis erzielt werden kann.
+Der Algorithmus von Dijkstra ist ein Greedy-Algorithmus (gieriger Algorithmus), der schrittweise einen Folgezustand auswählt, damit beim Zeitpunkt der Wahl der grösste Gewinn bzw. das beste Ergebnis erzielt werden kann.
Trotz der Schnelligkeit der Greedy-Algorithmen, können viele Probleme nicht optimal gelöst werden.
Vereinfacht wird beim Dijkstra-Algorithmus, ausgehend von einem Startknoten so lange dem kürzesten Pfad gefolgt, bis der Zielknoten erreicht wird. Dabei muss für jeden besuchten Knoten die Kostenfunktion als auch der Pfad dahin (vorheriger Knoten) gespeichert werden.
Dadurch wird hingegen garantiert, dass, wenn der Zielknoten erreicht wird, auch der kürzeste Pfad gefunden wurde.
Grundlegende Voraussetzung für den Dijkstra-Algorithmus ist die strikte Positivität der Kantengewichte. Andernfalls würde ein wiederholtes Ablaufen einer Kante mit negativem Gewicht zu einer stetigen Reduktion der Kostenfunktion führen, was zu einer unendlichen Schlaufe führen würde.
+Gegeben sei ein Netzwerk mit $n$ Knoten und dem Startknoten $a$.
+Alle Kanten sind mit $k(i, j)$ bewertet.
+Gesucht wird der kürzeste Pfad zwischen dem Startknoten und allen übrigen Knoten im Netz.
+$D(i)$ ist die kürzeste Distanz vom Startknoten $a$ zum Knoten $i, V(i)$ ist der unmittelbare Vorgängerknoten vom Knoten $i$ auf dem kürzesten Weg vom Startknoten $a$ zum Konten $i$ und die Menge $M$ ist die Menge einer bestimmten Auswahl an Knoten.
+
+Dabei gilt
+\begin{equation}M={a}\end{equation}
+\begin{equation}D(a)=0\end{equation} wobei
+\begin{equation}D(i)=\infty\end{equation} und
+\begin{equation}i \neq a \end{equation}
+Ausserdem gilt \begin{equation}V(i)=(-) \text{für alle Knoten $i$}\end{equation}\\
+
+%THEORIE...
+Iteration
+
+1. Auswahl eines Knotens \begin{equation} K\in M \text{mit} D(K)=D(i);i\in M\end{equation}
+
+2. Für alle Nachfolger $N(j)$ vom Knoten $K$ gilt:
+\begin{equation}D(K) + k_Kj < D(j)\end{equation} dann wird \begin{equation}D(j) = D(K) + k_Kj, V(j) = K\end{equation} gesetzt und somit wird der Knoten $j$ in die Menge $M$ aufgenommen.
+
+3. Der ausgewählte Knoten \begin{equation}K\in M\text{wird aus der Menge herausgelöscht}\end{equation}\\
+Diese drei Schritte werden so lange wiederholt bis gilt
+\begin{equation}M=\{\}\end{equation}
+
\subsubsection{A*-Algorithmus}
Suchalgorithmen werden nach einfachen (uninformierte) und heuristischen (informierten) Algorithmen unterschieden. Während einfache Algorithmen den Suchraum intuitiv durchsuchen, beziehen heuristische Algorithmen Wissen über den Suchraum mit ein.
Der A*-Algorithmus geht auf seine Erfinder Peter Hart, Nils Nilsson und Bertram Raphael zurück, die den Algorithmus erstmals im Jahr 1968 beschrieben.
Der A*-Algorithmus ist ein heuristischer Suchalgorithmus, der den kürzesten Pfad zwischen zwei Knoten in einem Graphen mit positiven Kantengewichten berechnet.
-Im Gegensatz zu einfachen Suchalgorithmen, wird beim A*-Algorithmus eine Schätzfunktion, die sogenannte Heuristik, verwendet. Dies ermöglicht ein zielgerichtetes Suchen und gleichzeitig wird die Laufzeit verringert.
+Im Gegensatz zu einfachen Suchalgorithmen, wird beim A*-Algorithmus eine Schätzfunktion, die sogenannte Heuristik, verwendet. Dies ermöglicht ein zielgerichtetes Suchen und gleichzeitig wird die Laufzeit verringert.
Ausserdem findet der A*-Algorithmus immer eine optimale Lösung, sofern eine vorhanden ist.
-Der A*-Algorithmus wird als Verallgemeinerung gehandhabt und gilt als Erweiterung des Dijkstra-Algorithmus.
-=======
+Der A*-Algorithmus wird als Verallgemeinerung gehandhabt und gilt als Erweiterung des Dijkstra-Algorithmus.
+
+\subsubsection{Anwendung A*-Algorithmus}
+Wie oben erwähnt basiert der A*-Algorithmus auf dem Shortest-Path-Algorithmus von Dijkstra. Gemäss dem Algorihtmus von Dijkstra werden von einem Startknoten aus die jeweiligen Nachbarknoten, die Nachbarknoten der Nachbarknoten usw. verarbeitet. Die Kantengewichte werden dabei aufsummiert und die Priorität wird auf die Kante gelegt, die das geringste Gewicht aufweist. Mit diesem Verfahren wird sichergestellt, dass die erste gefundene Lösung auch die optimalste Lösung darstellt.\\
+
+Die Kantengewichte werden für jeden Knoten in Form einer Funktion dargestellt
+\begin{equation}f(n)=g(n)\end{equation} mit
+\begin{equation}g(n)=\text{Summe aller Kantengewichte vom Startknoten bis n}\end{equation}\\
+Der A*-Algorithmus erweitert die Vorgehensweise des Algorithmus von Dijkstra um die Heuristik $h(n)$, die für jeden Knoten $n$ die geschätzte Entfernung zum Zielknoten beschreibt.
+Somit gilt:
+\begin{equation}f(n)=g(n)+h(n)\end{equation}\\
+Wie auch der Algorithmus von Dijkstra findet der A*-Algorithmus die optimalste Lösung.
\subsubsection{Floyd-Warshall-Algorithmus}
-Der Floyd-Warshall-Algorithmus wurde erstmals im Jahr 1962 von seinen Namensgebern Robert Floyd und Stephen Warshall vorgestellt.
-Der Floyd-Warshall-Algorithmus sucht kürzeste Wege innerhalb eines Graphen. Er ermittelt aber nicht nur die Distanz zwischen zwei Knoten, sondern berechnet die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren eines gewichteten Graphen. Somit werden die kürzesten , beziehungsweise die optimalsten Wege zwischen allen Paaren von Knoten berechnet, sofern der Graph keinen negativen Kreis (Zyklus) aufweist.
-Ein Kreis in einem Graphen ist ein Weg, bei dem Start- und Endpunkt den gleichen Knoten aufweisen. Dieser wird negativ, wenn die Summe der gewichteten Kanten kleiner als Null wird.
+Der Floyd-Warshall-Algorithmus, auch Tripel-Algorithmus genannt, wurde erstmals im Jahr 1962 von seinen Namensgebern Robert Floyd und Stephen Warshall vorgestellt.
+Der Floyd-Warshall-Algorithmus sucht kürzeste Wege innerhalb eines Graphen. Er ermittelt aber nicht nur die Distanz zwischen zwei Knoten, sondern berechnet die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren eines gewichteten Graphen. Somit werden die kürzesten , beziehungsweise die optimalsten Wege zwischen allen Paaren von Knoten berechnet. Der Floyd-Warhshall-Algrithmus kann ausserdem mit negativen Kantengewichten umgehen, sofern der Graph aber keinen negativen Kreis (Zyklus) aufweist. Ist dies der Fall, führt der Algorithmus zu einem falschen Ergebnis.
+Ein Kreis (Zyklus) in einem Graphen ist ein Weg, bei dem Start- und Endpunkt den gleichen Knoten aufweisen. Dieser wird negativ, wenn die Summe der gewichteten Kanten kleiner als Null wird.\\
+Der Floyd-Warshall-Algorithmus besteht grundsätzlich aus Floyd's Berechnung der kürzesten Distanzen zwischen zwei Knoten und Warshall's Konstruktion der kürzesten Wege. Werden diese beiden Teilgebiete zusammengefügt, ergibt sich der Floyd-Warshall-Algorithmus.
+
+\subsubsection{Anwendung Floyd-Warshall-Algorithmus}
+
+Wie oben erwähnt, besteht der Floyd-Warshall-Algorithmus aus dem Teil von Floyd zur Berechnung der kürzesten Pfade und dem Teil von Warshall zur Konstruktion der kürzesten Pfade.
+
+%THEORIE...
+Als erstes wird eine Gewichtsmatrix $W$ mit den Matrixeinträgen $W[i, j]$ erstellt.
+Der Algorithmus berechnet danach in einer Hauptschleife alle Knoten $k$ von 1 bis $n$.
+Dabei versucht er in jeder Iteration alle Wege von $i$ nach $j$ durch die Wege $(i, k)$ und $(k, j)$ zu verbessern.
+Falls dieser mögliche Umweg zu einer Verbesserung führt, wird der Algorithmus aktualisiert.
+
+Die aktuelle Gewichtung der Pfade wird mit
+\begin{equation}d[i, j]=min[d[i,j], d[i,k] + d[k,i]]\end{equation}
+ermittelt.
\subsubsection{Euklidische Heuristik}
Bei Verkehrsnetzen ist die euklidische Distanz eine gängige und zuverlässige Heurstik. Dabei wird zu den effektiven Reisekosten zum aktuellen Knoten die euklidische Distanz bis zum Zielknoten hinzuaddiert. Dadurch wird die Kostenfunktion konsequent nie überschätzt. Dies stellt eine Voraussetzung an eine zulässige Heuristik dar.
@@ -40,7 +88,7 @@ Was bei einem physischen Verkehrsnetz einfach zu bewältigen ist, da Koordinaten
Der PageRank-Algorithmus wurde von den Gründern von Google, Larry Page und Sergey Brin im Jahr 1996 entwickelt und zum Patent angemeldet. Zwei Jahre später gründeten sie ihr Unternehmen Google Inc..
Beim PageRank-Algorithmus handelt es sich um den Algorithmus von Google, aus dem die Google-Matrix abgeleitet wird.
Die Google-Matrix ist eine immens grosse Matrix mit Millionen Zeilen und Spalten, die für die schnelle und vor allem exakte Bestimmung der PageRanks (Gewichtung) eine grosse Bedeutung hat.
-Der PageRank-Algorithmus analysiert und gewichtet beispielsweise die Verlinkungsstruktur verschiedener Websites des World Wide Web anhand ihrer Struktur.
+Der PageRank-Algorithmus analysiert und gewichtet beispielsweise die Verlinkungsstruktur verschiedener Websites des World Wide Web anhand ihrer Struktur.
Der PageRank wird umso höher, je mehr hochwertige Links auf eine Webseite verweisen und je höher die Gewichtung einer Webseite ist, desto grösser ist der Effekt.\\
Dabei handelt es sich um einen iterativen Prozess. Ausgegangen wird von der Adjazenz-Matrix $A$, für welche gilt.
@@ -49,7 +97,7 @@ Grundsätzlich setzt sich der PageRank Algorithmus mit der Fragestellung auseina
\begin{equation}
A_{i,j}=\left\{ \begin{matrix}
-1 & \text{Kante von $j$ nach $i$} \\ 0 & \text{keine Kante von $j$ nach $i$}
+1 & \text{Kante von $j$ nach $i$} \\ 0 & \text{keine Kante von $j$ nach $i$}
\end{matrix}
\right.
\label{verkehr:Adja}
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