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diff --git a/vorlesungen/punktgruppen/script.pdf b/vorlesungen/punktgruppen/script.pdf Binary files differindex 5374af4..31cdde4 100644 --- a/vorlesungen/punktgruppen/script.pdf +++ b/vorlesungen/punktgruppen/script.pdf diff --git a/vorlesungen/punktgruppen/script.tex b/vorlesungen/punktgruppen/script.tex index ef16338..c542702 100644 --- a/vorlesungen/punktgruppen/script.tex +++ b/vorlesungen/punktgruppen/script.tex @@ -158,7 +158,54 @@ dank Herrn M\"uller bekannt. \scene{Spontan} \section{Licht} -TODO +Als Finale, haben wir ein schwieriges Problem aus der Physik. Das Ziel dieser +Folie ist nicht jedes Zeichen zu versehen, sondern zu zeigen wie man von hier +weiter gehen kann. Wir mochten sehen wie Licht in einem Kristall sich +verhaltet. Genauer, wir m\"ochten wie die Amplitude einer +elektromagnetischer Welle in einem Kristall wissen. + +Das Beispiel richtet sich mehr an Elektrotechnik Studenten, aber die Theorie +ist die gleiche bei mechanischen Wellen in Materialien mit einer +Spannungstensor wie dem, den wir letzte Woche gesehen haben. Ganz grob gesagt, +ersetzt man E durch Xi und epsilon durch den sigma. + +Um eine Welle zu beschreiben, verwenden wir die Helmholtz-Gleichung, die einige +von uns bereits in anderen Kursen gel\"ost haben. Schwierig wird aber dieses +Problem, wenn der Term vor der Zeitableitung ein Tensor ist (f\"ur uns eine Matrix). + +Zur Vereinfachung werden wir eine ebene Welle verwenden. Setzt man dieses E in +die Helmholtz-Gleichung ein, erhält man folgendes zurück: ein Eigenwertproblem. + +Physikalisch bedeutet dies, dass die Welle in diesem Material ihre Amplitude in +Abhängigkeit von der Ausbreitungsrichtung ändert. Und die Eigenwerte sagen +aus, wie stark die Amplitude der Welle in jeder Richtung skaliert wird. + +Ich sagte, in jede Richtung skaliert, aber welche Richtungen genau? +Physikalisch hängt das von der kristallinen Struktur des Materials ab, aber +mathematisch können wir sagen: in Richtung der Eigenvektoren! Aber diesen +Eigenraum zu finden, in dem die Eigenvektoren wohnen, ist beliebig schwierig. + +Hier kommt unsere Gruppentheorie zu Hilfe. Wir können die Symmetrien unseres +Kristalls kennen. Und zu jeder dieser Symmetrien lässt sich bekanntlich eine +einfache Matrix finden, deren Eigenraum ebenfalls relativ leicht zu finden ist. +Zum Beispiel ist der Eigenraum der Rotation \(r\), die Rotationsachse, für die +Reflexion \(\sigma\) eine Ebene, und so weiter. + +Nun die frage ist, ob man diese Eingenraume der Symmetrienoperationen +kombinieren kann um den Eigenraum des physikalisches Problems zu finden. + +Aber leider ist meine Zeit abgelaufen, also müssen Sie mir einfach glauben, +dass es einen Weg gibt. Und es ist gar nicht so schlimm, wenn man die Notation +einmal gelernt hat. + +Nachdem wir den Eigenraum U gefunden haben, können wir einen Vektor E darin +nehmen und dann direkt lambda ablesen. Das sagt uns, wie die Amplitude der +Welle, in diese Richtung gedämpft wurde. + +Diese Methode ist nicht spezifisch für dieses Problem, im Gegenteil, ich habe +gesehen, dass sie in vielen Bereichen eingesetzt wird, wie z.B.: +Kristallographie, Festkörperphysik, Molekülschwingungen in der Quantenchemie +und numerische Simulationen von Membranen. \section{Outro} \scene{Camera} |