1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
|
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[cm]{manuscript}
\usepackage{xcolor}
\newcommand{\scene}[1]{\par\noindent[ #1 ]\par}
\newenvironment{totranslate}{\color{blue!70!black}}{}
\begin{document}
\section{Das sind wir}
\scene{Camera}
\section{Ablauf}
Zuerst werden wir Symmetrien in 2 Dimensionen anschauen, dann \"uberlegen wir
kurz was es heisst f\"ur eine Symmetrie ``algebraisch'' zu sein. Von da aus
kommt die dritte Dimension hinzu, die man besser mit Matrizen verstehen kann.
Mit der aufgebauten Theorie werden wir versuchen Kristalle zu klassifizieren.
Und zum Schluss kommen wir zu Anwendungen, welche f\"ur Ingenieure von
Interesse sind.
\section{intro}
\scene{Spontan}
\section{2D Geometrie}
\scene{Intro}
Wir fangen mit den 2 dimensionalen Symmetrien an, da man sie sich am
einfachsten vorstellen kann. Eine Symmetrie eines Objektes beschreibt eine
Aktion, welche nachdem sie auf das Objekt wirkt, das Objekt wieder gleich
aussehen l\"asst.
\scene{Viereck}
Die einfachste Aktion, ist das Viereck zu nehmen, und wieder hinzulegen.
Eine andere Aktion k\"onnte sein, das Objekt um eine Achse zu spiegeln,
oder eine Rotation um 90 Grad.
\scene{Zyklische Gruppe}
Fokussieren wir uns auf die einfachste Klassen von Symmetrien: diejenigen die
von einer reinen Drehung generiert werden. Wir sammeln diese in einer Gruppe
\(G\), und notieren das sie von eine Rotation \(r\) generiert worden sind, mit
diesen spitzen Klammern.
Nehmen wir als Beispiel dieses Pentagon. Wenn wir \(r\) 5-mal anwenden, ist es
dasselbe als wenn wir nichts gemacht h\"atten. Wenn wir es noch ein 6. mal
drehen, entspricht dies dasselbe wie \(r\) nur 1 mal zu nutzen.
\scene{Notation}
So, die Gruppe setzt sich zusammen aus dem neutralen Element, und den Potenzen
1 bis 4 von \(r\). Oder im allgemein Gruppen mit dieser Struktur, in welcher die
Aktion \(n-1\) mal angewendet werden kann, heissen ``Zyklische Gruppe''.
\scene{Diedergruppe}
Nehmen wir nun auch noch die Spiegeloperation \(\sigma\) dazu. Weil wir jetzt 2
Operationen haben, m\"ussen wir auch im Generator schreiben wie sie
zusammenh\"angen. Schauen wir dann uns genauer diesen Ausdr\"uck an. Zweimal
Spielegeln ist \"aquivalent zum neutralen Element, sowie 4 mal um 90 Grad
drehen und 2 Drehspiegelungen, welche man auch Inversion nennt.
\scene{Notation}
Daraus k\"onnen wir wieder die ganze Gruppe erzeugen, die im allgemeinen den
Symmetrien eines \(n\)-gons entsprechen.
\scene{Kreisgruppe}
Bis jetzt hatten wir nur diskrete Symmetrien, was nicht zwingend der Fall sein
muss. Ein Ring kann man kontinuierlich drehen, und sieht dabei immer gleich
aus.
Diese Symmetrie ist auch als Kreisgruppe bekannt, die man sch\"on mit dem
komplexen Einheitskreis definieren kann.
\section{Algebra}
\scene{Produkt mit \(i\)}
\"Uberlegen wir uns eine spezielle algebraische Operation: Multiplikation mit
der imagin\"aren Einheit. \(1\) mal \(i\) ist gleich \(i\). Wieder mal \(i\)
ist \(-1\), dann \(-i\) und schliesslich kommen wir z\"uruck auf \(1\). Diese
fassen wir in eine Gruppe \(G\) zusammen. Oder sch\"oner geschrieben:. Sieht das
bekannt aus?
\scene{Morphismen}
Das Gefühl, dass es sich um dasselbe handelt, kann wie folgt formalisiert
werden. Sei \(\phi\) eine Funktion von \(C_4\) zu \(G\) und ordnen wir zu
jeder Symmetrieoperation ein Element aus \(G\). Wenn man die Zuordnung richtig
definiert, dann sieht man die folgende Eigenschaft: Eine Operation nach eine
andere zu nutzen, und dann die Funktion des Resultats zu nehmen, ist gleich wie
die Funktion der einzelnen Operazionen zu nehmen und die Resultate zu
multiplizieren. Dieses Ergebnis ist so bemerkenswert, dass es in der Mathematik
einen Namen bekommen hat: Homorphismus, von griechisch "homos" dasselbe und
"morphe" Form. Manchmal auch so geschrieben. Ausserdem, wenn \(\phi\) eins zu
eins ist, heisst es \emph{Iso}morphismus: "iso" gleiche Form. Was man
typischerweise mit diesem Symbol schreibt.
\scene{Animation}
Sie haben wahrscheinlich schon gesehen, worauf das hinausläuft. Dass die
zyklische Gruppe \(C_4\) und \(G\) isomorph sind ist nicht nur Fachjargon der
mathematik, sondern sie haben wirklich die selbe Struktur.
\scene{Modulo}
Das Beispiel mit der komplexen Einheit, war wahrscheinlich nicht so
\"uberraschend. Aber was merkw\"urdig ist, ist das Beziehungen zwischen
Symmetrien und Algebra auch in Bereichen gefunden werden, welche auf den ersten
Blick, nicht geomerisch erscheinen. Ein R\"atsel für die Neugierigen: die Summe
in der Modulo-Arithmetik. Als Hinweis: Um die Geometrie zu finden denken Sie
an einer Uhr.
\section{3D Geometrie}
2 Dimensionen sind einfacher zu zeichnen, aber leider leben wir im 3
dimensionalen Raum.
\scene{Zyklische Gruppe}
Wenn wir unser bekanntes Viereck mit seiner zyklischer Symmetrie in 3
Dimensionen betrachten, k\"onnen wir seine Drehachse sehen.
\scene{Diedergruppe}
Um auch noch die andere Symmetrie des Rechteckes zu sehen, ben\"otigen wir eine
Spiegelachse \(\sigma\), die hier eine Spiegelebene ist.
\scene{Transition}
Um die Punktsymmetrien zu klassifizieren orientiert man sich an einer Achse, um
welche sich die meisten Symmetrien drehen. Das geht aber nicht immer, wie beim
Tetraeder.
\scene{Tetraedergruppe}
Diese Geometrie hat 4 gleichwertige Symmetrieachsen, die eben eine
Symmetriegruppe aufbauen, welche kreativer weise Tetraedergruppe genannt wird.
Vielleicht fallen Ihnnen weitere Polygone ein mit dieser Eigenschaft, bevor wir
zum n\"achsten Thema weitergehen.
\section{Matrizen}
\scene{Titelseite}
Nun gehen wir kurz auf den Thema unseres Seminars ein: Matrizen. Das man mit
Matrizen Dinge darstellen kann, ist keine Neuigkeit mehr, nach einem
Semester MatheSeminar. Also überrascht es wohl auch keinen, das man alle
punktsymmetrischen Operationen auch mit Matrizen Formulieren kann.
\scene{Matrizen}
Sei dann \(G\) unsere Symmetrie Gruppe, die unsere abstrakte Drehungen und
Spiegelungen enth\"ahlt. Die Matrix Darstellung dieser Gruppe, ist eine
Funktion gross \(\Phi\), von \(G\) zur orthogonalen Gruppe \(O(3)\), die zu
jeder Symmetrie Operation klein \(g\) eine Matrix gross \(\Phi_g\) zuordnet.
Zur Erinnerung, die Orthogonale Gruppe ist definiert als die Matrizen, deren
transponierte auch die inverse ist. Da diese Volumen und Distanzen erhalten,
natuerlich nur bis zu einer Vorzeichenumkehrung, macht es Sinn, dass diese
Punksymmetrien genau beschreiben.
Nehmen wir die folgende Operationen als Beispiele. Die Matrix der trivialen
Operation, dass heisst nichts zu machen, ist die Einheitsmatrix. Eine
Spiegelung ist dasselbe aber mit einem Minus, und Drehungen sind uns schon
dank Herrn M\"uller bekannt.
\section{Kristalle}
\scene{Spontan}
\section{Piezo}
\scene{Spontan}
\section{Licht}
TODO
\section{Outro}
\scene{Camera}
\end{document}
% vim:et ts=2 sw=2:
|
