diff options
| -rw-r--r-- | buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc | 1 | ||||
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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc index 87e82e4..69468f6 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc @@ -10,4 +10,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/10-matrizenvektoren/ringe.tex \ chapters/10-matrizenvektoren/algebren.tex \ chapters/10-matrizenvektoren/uebungsaufgaben/1001.tex \ + chapters/10-matrizenvektoren/uebungsaufgaben/1002.tex \ chapters/10-matrizenvektoren/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex index b889d9b..6c341bc 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex @@ -16,5 +16,6 @@ \aufgabetoplevel{chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben} \begin{uebungsaufgaben} \uebungsaufgabe{1001} +\uebungsaufgabe{1002} \end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben/1002.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben/1002.tex new file mode 100644 index 0000000..73f22fe --- /dev/null +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben/1002.tex @@ -0,0 +1,97 @@ +Nach Aufgabe \ref{1001} hat die Matrix +\[ +A += +\begin{pmatrix} +0&0&1\\ +1&0&a\\ +0&1&b +\end{pmatrix} +\in +M_2(\mathbb{Z}) +\quad\text{die Inverse}\quad +A^{-1} += +\begin{pmatrix} +-b&1&0\\ +-a&0&1\\ +1&0&0 +\end{pmatrix} +\in +M_2(\mathbb{Z}). +\] +Kann man $A^{-1}$ als Linearkombination der Matrizen $E$, $A$ und $A^2$ +schreiben? + +\begin{loesung} +Wir berechnen zunächst $A^2$: +\[ +A^2 += +\begin{pmatrix} +0&0&1\\ +1&0&a\\ +0&1&b +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +0&0&1\\ +1&0&a\\ +0&1&b +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +0&1&b\\ +0&a&1+ab\\ +1&b&a+b^2 +\end{pmatrix} +\] +Gesucht sind jetzt die Koeffizienten +$\lambda_i$ einer Linearkombination +\[ +A^{-1} = \lambda_0 E + \lambda_1 A + \lambda_2 A^2. +\] +Die drei Matrizen auf der rechten Seite haben in der ersten +Spalte nur Nullen und Einsen, so dass wir an der ersten Spalten von +$A^{+}$ unmittelbar ablesen können, welche Werte wir für $\lambda_i$ +verwenden müssen. +Wir finden $\lambda_0=-b$, $\lambda_1=-a$ und $\lambda_2=1$. +Wir setzen dies ein: +\begin{align*} +-bE-aA+A^2 +&= +{\color{red}-b} +\begin{pmatrix} +1&0&0\\ +0&1&0\\ +0&0&1 +\end{pmatrix} +{\color{blue}-a} +\begin{pmatrix} +0&0&1\\ +1&0&a\\ +0&1&b +\end{pmatrix} ++ +\begin{pmatrix} +0&1&b\\ +0&a&1+ab\\ +1&b&a+b^2 +\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +{\color{red}-b} &{\color{darkgreen}1} &{\color{darkgreen}b}{\color{blue}-a} \\ +{\color{blue}-a} &{\color{red}-b}+{\color{darkgreen}a} &{\color{blue}-a^2}+{\color{darkgreen}1+ab} \\ +{\color{darkgreen}1} &{\color{blue}-a}+{\color{darkgreen}b}&{\color{red}-b}{\color{blue}-ab}+{\color{darkgreen}a+b^2}\\ +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +-b & 1 &b-a \\ +-a &a-b &1+a(b-a) \\ + 1 &b-a &(1-b)(a-b)\\ +\end{pmatrix} +\end{align*} +Diese Matrix kann nur dann mit $A^{-1}$ übereinstimmen, wenn $a-b=0$ ist, +als $a=b$. +\end{loesung} + |