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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex index e173f8e..683c8e6 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex @@ -2,7 +2,7 @@ Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem ursprünglichen griechischen Wort \(\mathrm{\Sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\) -\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig, +\footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig, verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr präzise Bedeutung. @@ -44,18 +44,38 @@ nun eingeführt wird. Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird. \end{definition} -Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. Wenn wir -\(r\) eine Drehung von \(2\pi/n\) sein lassen, gibt es eine wohlbekannte Symmetriegruppe +\begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger] + Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen + Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische + Untergruppe von \(G\), und \(g\) wird ihr Erzeuger genannt. Die erzeugte + Untergruppe \(\langle g \rangle\) wird mit spitzen Klammern um den Erzeuger + bezeichnet. +\end{definition} + +Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. +Bezeichnen wir mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\) +um einen Punkt. Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe \[ C_n = \langle r \rangle - = \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}, \] -die zyklische Gruppe heisst. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte -Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\). Die -Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet. -Das liegt daran, dass alle Elemente der Symmetriegruppe aus Kombinationen einer -Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet werden. + = \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\} +\] +der Drehungen eines \(n\)-Gons zu definieren. Das liegt daran, +dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen, der +die Rotationssymmetrie bewahrt. Hier die Potenzen von \(r\) sind als +wiederholte Komposition gemeint, dass heisst \(r^n = r\circ r \circ \cdots +r\circ r\). Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem +Erzeugendensystemen komplexere Strukturen aufbauen. -% TODO: more on generators +\begin{definition}[Erzeugendensysteme] + % please fix this unreadable mess + Jede Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden. + Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer + Symmetriegruppe sein. Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die + sogenannte Definitionsgleichungen gegeben werden, die die + Multiplikationstabelle vollständig definieren. Die Gleichungen sind ebenfalls + in den Klammern angegeben. Die erzeugende Elementen zusammen mit der + Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme. +\end{definition} Die Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit @@ -66,12 +86,6 @@ der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe \mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1} \right\}. \] -Diesmal muss die Generator-Notation die Beziehungen zwischen den beiden -Operationen beinhalten. - -% TODO -% Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die -% letzte empfehlen wir, sie an einem 2D-Quadrat auszuprobieren. Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird. Im |