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-rw-r--r--buch/papers/punktgruppen/crystals.tex59
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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index f8bd9b3..ca1bfc3 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -19,10 +19,11 @@ Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punkt
Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes gewählt und betrachten dies nur in Zwei Dimensionen.
Die eingezeichneten Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt
-und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
+und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben,
+endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor $\vec{c}$ also
\[
- \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c} %maby Problem weil n bei $C_n$ auch verwendet wird
+ \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}
\]
erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind.
Sind die Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben ,
@@ -45,7 +46,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
\subsection{Limitierte Kristallsymmetrien}
Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet.
Was nicht direkt ersichtlich ist, ist das auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können,
- können nur Kristalle erzeugt werden mit Rotationssymmetrien mit Winkel $\alpha \in \{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\}$.
+ können nur Kristalle erzeugt werden mit Rotationssymmetrien mit Winkel $\alpha \in \left\{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\right\}$. %format error!!!
\begin{figure}
\centering
@@ -54,13 +55,13 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
\label{fig:punktgruppen:rot-geometry}
\end{figure}
- \subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ und Rotationssymmetrie $C_\alpha$} % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen
+ \subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ in Kombination mit Rotationssymmetrie $C_\alpha$} % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen
In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} Sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge.
\begin{itemize}
\item $A$ ist unser erster Gitterpunkt.
- \item $A'$ ist gegeben, weil wir $A$ mit der Translation $Q$ verschieben und wir wissen,
+ \item $A'$ ist gegeben, weil wir $A$ mit der Translation $Q$ um einen Grundvektor verschieben und wir wissen,
dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der Verschobenen Stelle sein muss.
\item $B$ entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie $C_\alpha$ auf den Punkt $A$ anwenden.
Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel $\alpha$.
@@ -69,14 +70,54 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
\item $B$ ist unser Name für diesen neuen Punkt.
Da auch die Eigenschaften des Kristallgitter periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir $C_\alpha$ auch auf $A'$ anwenden.
Also wenden wir $C_\alpha$ invertiert
- \footnote{Die Rotationssymmetrie muss auch iin die andere Richtung funktionieren.
- Genauere Überlegungen werden dem Leser überlassen, da die Autoren sich nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.}
+ \footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren.
+ Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.}
auch auf $A'$ an.
Dies dreht $A$ auf einen neuen Punkt.
\item $B'$ ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss.
Die Translationssymmetrie zwischen $B$ und $B'$ ist hier als $Q'$ bezeichnet.
\end{itemize}
-
+ Mit den gegebenen Punkten lassen sich geometrische Folgerungen ziehen.
+ Wir beginnen indem wir die Länge der Translation $Q$ mit jener von $Q'$ vergleichen.
+ Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass $|Q| = |Q'|+ 2x$.
+ Ist $Q$ ein Grundvektor so muss $|Q'|$ ein ganzes vielfaches von $|Q|$ sein. Also
+ \[
+ |Q'| = n|Q| = |Q| + 2x
+ \]
+ Die Strecke $x$ lässt sich auch mit hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel $\alpha$ ausdrücken:
+ \[
+ n|Q| = |Q| + 2|Q|sin(\alpha - \pi/2)
+ \]
+ Wir können mit $|Q|$ dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden,
+ was auch Sinn macht, da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangieren soll.
+ Zusätzlich können wir den Sinusterm vereinfachen.
+ \[
+ n = 1 - 2cos\alpha
+ \alpha = cos^{-1}(\frac{1-n}{2})
+ \]
+ Dies schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf
+ \[
+ \alpha \in \{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\}
+ \]
+ein.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/projections}
+ \caption{Kristallklassen mit zugehöriger Schönfliesnotation}
+ \label{fig:punktgruppen:Kristallkassen}
+\end{figure}
+
+\subsection{Kristallklassen}
+Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
+Mit weiteren ähnlichen überlegungen gezeigt werden kann, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum
+\footnote{Alle $17$ möglichen zweidimensionalen Symmetrien sind als Wandmustergruppen bekannt}
+nur auf genau $32$ Arten punktsymmetrisch sein können.
+Diese $32$ möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
+Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nacht dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies,
+welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinander gesetzt hat.
+Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet.
+Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei $5$ Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht gezeichnet wurden.
+
-%"beweis", das Rotationssymmetrien auch immer invers gehen? \ No newline at end of file