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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex index f8bd9b3..ca1bfc3 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex @@ -19,10 +19,11 @@ Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punkt Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes gewählt und betrachten dies nur in Zwei Dimensionen. Die eingezeichneten Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt. Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt -und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort. +und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, +endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort. Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor $\vec{c}$ also \[ - \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c} %maby Problem weil n bei $C_n$ auch verwendet wird + \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c} \] erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind. Sind die Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben , @@ -45,7 +46,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben. \subsection{Limitierte Kristallsymmetrien} Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet. Was nicht direkt ersichtlich ist, ist das auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können, - können nur Kristalle erzeugt werden mit Rotationssymmetrien mit Winkel $\alpha \in \{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\}$. + können nur Kristalle erzeugt werden mit Rotationssymmetrien mit Winkel $\alpha \in \left\{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\right\}$. %format error!!! \begin{figure} \centering @@ -54,13 +55,13 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben. \label{fig:punktgruppen:rot-geometry} \end{figure} - \subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ und Rotationssymmetrie $C_\alpha$} % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen + \subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ in Kombination mit Rotationssymmetrie $C_\alpha$} % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} Sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge. \begin{itemize} \item $A$ ist unser erster Gitterpunkt. - \item $A'$ ist gegeben, weil wir $A$ mit der Translation $Q$ verschieben und wir wissen, + \item $A'$ ist gegeben, weil wir $A$ mit der Translation $Q$ um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der Verschobenen Stelle sein muss. \item $B$ entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie $C_\alpha$ auf den Punkt $A$ anwenden. Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel $\alpha$. @@ -69,14 +70,54 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben. \item $B$ ist unser Name für diesen neuen Punkt. Da auch die Eigenschaften des Kristallgitter periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir $C_\alpha$ auch auf $A'$ anwenden. Also wenden wir $C_\alpha$ invertiert - \footnote{Die Rotationssymmetrie muss auch iin die andere Richtung funktionieren. - Genauere Überlegungen werden dem Leser überlassen, da die Autoren sich nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} + \footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren. + Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} auch auf $A'$ an. Dies dreht $A$ auf einen neuen Punkt. \item $B'$ ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss. Die Translationssymmetrie zwischen $B$ und $B'$ ist hier als $Q'$ bezeichnet. \end{itemize} - + Mit den gegebenen Punkten lassen sich geometrische Folgerungen ziehen. + Wir beginnen indem wir die Länge der Translation $Q$ mit jener von $Q'$ vergleichen. + Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass $|Q| = |Q'|+ 2x$. + Ist $Q$ ein Grundvektor so muss $|Q'|$ ein ganzes vielfaches von $|Q|$ sein. Also + \[ + |Q'| = n|Q| = |Q| + 2x + \] + Die Strecke $x$ lässt sich auch mit hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel $\alpha$ ausdrücken: + \[ + n|Q| = |Q| + 2|Q|sin(\alpha - \pi/2) + \] + Wir können mit $|Q|$ dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, + was auch Sinn macht, da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangieren soll. + Zusätzlich können wir den Sinusterm vereinfachen. + \[ + n = 1 - 2cos\alpha + \alpha = cos^{-1}(\frac{1-n}{2}) + \] + Dies schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf + \[ + \alpha \in \{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\} + \] +ein. + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/projections} + \caption{Kristallklassen mit zugehöriger Schönfliesnotation} + \label{fig:punktgruppen:Kristallkassen} +\end{figure} + +\subsection{Kristallklassen} +Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind. +Mit weiteren ähnlichen überlegungen gezeigt werden kann, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum +\footnote{Alle $17$ möglichen zweidimensionalen Symmetrien sind als Wandmustergruppen bekannt} +nur auf genau $32$ Arten punktsymmetrisch sein können. +Diese $32$ möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet. +Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nacht dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, +welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinander gesetzt hat. +Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet. +Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei $5$ Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht gezeichnet wurden. + -%"beweis", das Rotationssymmetrien auch immer invers gehen?
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