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diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/MM.py b/buch/papers/multiplikation/code/MM.py index 47bd6ab..7220ae1 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/MM.py +++ b/buch/papers/multiplikation/code/MM.py @@ -226,28 +226,28 @@ def plot_c_res(ave, num): MM_t = MM[:,0] MM_n = MM[:,1] - MM_t = np.mean(MM_t.reshape(-1,ave),axis=1) - MM_n = np.mean(MM_n.reshape(-1,ave),axis=1) + # MM_t = np.mean(MM_t.reshape(-1,ave),axis=1) + # MM_n = np.mean(MM_n.reshape(-1,ave),axis=1) MM_dc_t = MM_dc[:,0] MM_dc_n = MM_dc[:,1] - MM_dc_t = np.mean(MM_dc_t.reshape(-1,ave),axis=1) - MM_dc_n = np.mean(MM_dc_n.reshape(-1,ave),axis=1) + # MM_dc_t = np.mean(MM_dc_t.reshape(-1,ave),axis=1) + # MM_dc_n = np.mean(MM_dc_n.reshape(-1,ave),axis=1) strassen_t = strassen[:,0] strassen_n = strassen[:,1] - strassen_t = np.mean(strassen_t.reshape(-1,ave),axis=1) - strassen_n = np.mean(strassen_n.reshape(-1,ave),axis=1) + # strassen_t = np.mean(strassen_t.reshape(-1,ave),axis=1) + # strassen_n = np.mean(strassen_n.reshape(-1,ave),axis=1) winograd_t = winograd[:,0] winograd_n = winograd[:,1] - winograd_t = np.mean(winograd_t.reshape(-1,ave),axis=1) - winograd_n = np.mean(winograd_n.reshape(-1,ave),axis=1) + # winograd_t = np.mean(winograd_t.reshape(-1,ave),axis=1) + # winograd_n = np.mean(winograd_n.reshape(-1,ave),axis=1) blas_t = blas[:,0] blas_n = blas[:,1] - blas_t = np.mean(blas_t.reshape(-1,ave),axis=1) - blas_n = np.mean(blas_n.reshape(-1,ave),axis=1) + # blas_t = np.mean(blas_t.reshape(-1,ave),axis=1) + # blas_n = np.mean(blas_n.reshape(-1,ave),axis=1) def func(x, a,b): return b*x**a @@ -261,14 +261,16 @@ def plot_c_res(ave, num): plt.rc('axes', labelsize=23) plt.rc('xtick', labelsize=23) plt.rc('ytick', labelsize=23) - plt.plot(MM_n, MM_t, label='3 For Loops', lw=5) - plt.plot(winograd_n, winograd_t, label='Winograd MM', lw=5) - plt.plot(blas_n, blas_t, label='Blas', lw=5) - plt.plot(strassen_n, strassen_t, label='Strassen', lw=5) - plt.plot(MM_dc_n, MM_dc_t, label='Divide and Conquer', lw=5) + plt.loglog(MM_n, MM_t, label='3 For Loops', lw=5) + plt.loglog(winograd_n, winograd_t, label='Winograd MM', lw=5) + plt.loglog(blas_n, blas_t, label='Blas', lw=5) + plt.loglog(strassen_n, strassen_t, label='Strassen', lw=5) + plt.loglog(MM_dc_n, MM_dc_t, label='Divide and Conquer', lw=5) plt.xlabel("n") + # plt.yscale('log', base=10) + # plt.xscale('log', base=2) plt.ylabel("time (s)") - plt.grid(True) + plt.grid(True, which="both", ls="-") plt.tight_layout() plt.legend(fontsize=19) plt.savefig('c_meas_' + str(num)+ '.pdf') @@ -278,15 +280,17 @@ def plot_c_res(ave, num): # plt.plot(blas_n, func(blas_n, *popt2), 'r-', label='fit MM: a=%5.5f, b=%5.10f' % tuple(popt2)) plt.legend() - + # return [MM_n,winograd_n,blas_n,strassen_n,MM_dc_n] + return [MM_t,winograd_t,blas_t,strassen_t,MM_dc_t] + # test%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if __name__ == '__main__': - # plot_c_res(1, 4096) + # A = plot_c_res(1, 4096) - # arr = plot(1024) - n = np.logspace(1,12,12,base=2,dtype=(np.int)) + arr = plot(1024) + # n = np.logspace(1,12,12,base=2,dtype=(np.int)) # n = np.arange(1,50,2) # A = np.random.randint(-10, 6, (5,3)) # B = np.random.randint(-10, 6, (3,5)) @@ -297,7 +301,7 @@ if __name__ == '__main__': # print(C_test) # print(np.equal(C, C_test)) - t_np = test_perfomance(n) + # t_np = test_perfomance(n) # C = strassen(A, B) # C_test = A@B diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf Binary files differindex 304015a..5236afb 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt index 13b6312..e296dd7 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt @@ -1,5 +1,5 @@ -0.000000,2 -0.000000,4 +0.000001,2 +0.000001,4 0.000001,8 0.000010,16 0.000081,32 diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/blas.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/blas.txt index c3ec7ec..92a61b9 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/blas.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/blas.txt @@ -1,5 +1,5 @@ 0.000001,2 -0.000000,4 +0.000001,4 0.000001,8 0.000003,16 0.000022,32 diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/strassen.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/strassen.txt index 69ea472..fdfbf2b 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/strassen.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/strassen.txt @@ -1,4 +1,4 @@ -0.000000,2 +0.000001,2 0.000003,4 0.000010,8 0.000066,16 diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/winograd.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/winograd.txt index 6e6208a..d185906 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/winograd.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/winograd.txt @@ -1,4 +1,4 @@ -0.000000,2 +0.000001,2 0.000001,4 0.000002,8 0.000011,16 diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf Binary files differindex 3312420..f489a7d 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex index 2d0583d..9f1cb04 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex @@ -17,7 +17,7 @@ Koeffizienten c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}. \label{multiplikation:eq:MM} \end{equation} -Grafisch kann die Matrizenmultiplikation $\mathbf{AB}=\mathbf{C}$ wie in \ref{multiplikation:fig:mm_viz} visualisiert werden. +Grafisch kann die Matrizenmultiplikation $\mathbf{AB}=\mathbf{C}$ wie in Abbildung \ref{multiplikation:fig:mm_viz} visualisiert werden. Im Fall einer Matrizengr\"osse von $2\times 2$ kann die Matrixgleichung \begin{equation} \begin{bmatrix} @@ -34,7 +34,7 @@ C_{11} & C_{12}\\ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix} \end{equation} -explizt als Gleichung +explizt als Gleichung \begin{equation} \label{multiplikation:eq:MM_exp} \begin{split} C_{11} &= A_{11} \cdot B_{11} + A_{12} \cdot B_{21}\\ @@ -49,4 +49,4 @@ der einzelnen Terme geschrieben werden. \includegraphics[]{papers/multiplikation/images/mm_visualisation} \caption{Matrizen Multiplikation} \label{multiplikation:fig:mm_viz} -\end{figure}
\ No newline at end of file +\end{figure} diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf Binary files differindex c29a891..8a53398 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex index a415ccb..9ee3a68 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex @@ -42,56 +42,56 @@ \begin{axis}[ xmode=log, ymode=log, - xmin=1e-0, xmax=5e1, + xmin=1e-0, xmax=5000, ymin=10e-1, ymax=1e7, grid=both, major grid style={black!50}, - xlabel = $n$ (Data Input), - ylabel = {$t$ (time)}, - legend pos=north east, + xlabel = data input size, + ylabel = {time}, + legend pos=north west, very thick, yticklabels=\empty, xticklabels=\empty, scale only axis=true, - width=12cm, height=6cm, + width=12cm, height=8cm, ] \addplot [ - domain= 1:50, + domain= 1:5000, samples=100, color=red, ] {1}; \addlegendentry{$\mathcal{O}(1)$} \addplot [ - domain= 1:50, + domain= 1:5000, samples=100, color=green, ] {x}; \addlegendentry{$\mathcal{O}(n)$} \addplot [ - domain= 1:50, + domain= 1:50000, samples=100, color=blue, ] {x^2}; \addlegendentry{$\mathcal{O}\left(n^2\right)$} \addplot [ - domain= 1:50, + domain= 1:500, samples=100, color=purple, ] {x^3}; \addlegendentry{$\mathcal{O}\left(n^3\right)$} \addplot [ - domain= 1:50, + domain= 1:500, samples=100, color=black, ] {exp(x) - 1.7}; \addlegendentry{$\mathcal{O}\left(e^n\right)$} \addplot [ - domain= 1:50, + domain= 1:5000, samples=100, color=orange, ] @@ -99,7 +99,7 @@ \addlegendentry{$\mathcal{O}(\log n)$} \addplot [ - domain= 1:50, + domain= 1:5000, samples=100, color=gray, ] diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..3a4cfd8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.tex b/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.tex new file mode 100644 index 0000000..818a7e6 --- /dev/null +++ b/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.tex @@ -0,0 +1,143 @@ + +\documentclass[border=10pt,varwidth]{standalone} +\usepackage[left=25mm,right=25mm,top=25mm,bottom=25mm]{geometry} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{times} +\usepackage{geometry} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{lipsum} +\usepackage{amscd} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{fancyhdr} +\usepackage{textcomp} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[all]{xy} +\usepackage{paralist} +\usepackage[colorlinks=true]{hyperref} +\usepackage{array} +\usepackage{tikz} +\usepackage{slashed} +\usepackage{pdfpages} +\usepackage{cite} +\usepackage{url} +\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb} +\usepackage{tikz} +\usepackage{pgfplotstable} +\usetikzlibrary{arrows,matrix,positioning} +\usetikzlibrary{overlay-beamer-styles} +\usetikzlibrary{matrix.skeleton} +\usetikzlibrary{automata,positioning} +\usetikzlibrary{decorations.text} +\usepackage{listings} +\usepackage{multirow} +\usepackage{color} + +\begin{document} + +\begin{tikzpicture} +\begin{axis}[ +xmode=log, ymode=log, +xmin=60, xmax=5000, +ymin=1e-4, ymax=2e3, +grid=both, +major grid style={black!50}, +xlabel = data Input ($n$), +ylabel = {time ($s$)}, +legend pos=north west, +very thick, +scale only axis=true, +width=12cm, height=8cm, + log basis x={10} +] +\addlegendentry{Winograd} +\addplot[ color=purple, +] coordinates { +% (2, 0.000001) +% (4, 0.000001) +% (8, 0.000002) +% (16, 0.000011) +% (32, 0.000100) +(64, 0.000654) +(128, 0.005229) +(256, 0.057440) +(512, 0.517850) +(1024,4.539413) +(2048,130.627663) +(4096,1179.261048) +}; +\addlegendentry{Strassen} +\addplot [ color=black, +]coordinates { + % (2,0.000001 ) + % (4,0.000003 ) + % (8,0.000010 ) + % (16,0.000066 ) + % (32,0.000470 ) + (64,0.003368 ) + (128,0.024232 ) + (256,0.172000 ) + (512,1.209262 ) +(1024,8.457472 ) +(2048,59.267256) +(4096,414.648901) +}; + +\addlegendentry{MM div and conq} +\addplot[ color=green, +] coordinates { + % (2,0.000003 ) + % (4,0.000002 ) + % (8,0.000010 ) + % (16,0.000068 ) + % (32,0.000594 ) + (64,0.004264 ) + (128,0.036289 ) + (256,0.324645 ) + (512,2.612010 ) +(1024,19.928951 ) +(2048,159.333884 ) +(4096,1147.106865) +}; + +\addlegendentry{MM} +\addplot [ color=red, +]coordinates { + % (2,0.000001 ) + % (4,0.000001 ) + % (8,0.000001 ) + % (16,0.000010 ) + % (32,0.000081 ) + (64,0.000654 ) + (128,0.005556 ) + (256,0.054253 ) + (512,0.487317 ) +(1024,4.162845 ) +(2048,125.909034 ) +(4096,1111.312696) +}; +\addlegendentry{BLAS} +\addplot[ color=blue, +] coordinates { + % (2,0.000001 ) + % (4,0.000001 ) + % (8,0.000001 ) + % (16,0.000003 ) + % (32,0.000022 ) + (64,0.000179 ) + (128,0.001278 ) + (256,0.010165 ) + (512,0.074739 ) +(1024,0.704748 ) +(2048,6.845095 ) +(4096,55.845038) +}; +\end{axis} +\end{tikzpicture} + +\end{document} diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..cea2232 --- /dev/null +++ b/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.tex b/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.tex new file mode 100644 index 0000000..ee4db43 --- /dev/null +++ b/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.tex @@ -0,0 +1,137 @@ + +\documentclass[border=10pt,varwidth]{standalone} +\usepackage[left=25mm,right=25mm,top=25mm,bottom=25mm]{geometry} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{times} +\usepackage{geometry} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{lipsum} +\usepackage{amscd} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{fancyhdr} +\usepackage{textcomp} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[all]{xy} +\usepackage{paralist} +\usepackage[colorlinks=true]{hyperref} +\usepackage{array} +\usepackage{tikz} +\usepackage{slashed} +\usepackage{pdfpages} +\usepackage{cite} +\usepackage{url} +\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb} +\usepackage{tikz} +\usepackage{pgfplotstable} +\usetikzlibrary{arrows,matrix,positioning} +\usetikzlibrary{overlay-beamer-styles} +\usetikzlibrary{matrix.skeleton} +\usetikzlibrary{automata,positioning} +\usetikzlibrary{decorations.text} +\usepackage{listings} +\usepackage{multirow} +\usepackage{color} + +\begin{document} + +\begin{tikzpicture} +\begin{axis}[ +xmode=log, ymode=log, +xmin=30, xmax=1050, +ymin=0.01, ymax=900, +grid=both, +major grid style={black!50}, +xlabel = data input ($n$), +ylabel = {time ($s$)}, +legend pos=north west, +very thick, +scale only axis=true, +width=12cm, height=8cm, + log basis x={10} +] +\addlegendentry{Winograd} +\addplot[ color=purple, +] coordinates { +% (2, 2.7895e-05 ) +% (4, 0.000104904) +% (8, 0.000552893) +% (16, 0.0045557 ) +(32, 0.0187144 ) +(64, 0.153069 ) +(128, 1.19476 ) +(256, 8.29899 ) +(512, 68.3699 ) +(1024,537.374 ) + +}; +\addlegendentry{Strassen} +\addplot [ color=black, +]coordinates { + % (2,2.09808e-05 ) + % (4,0.000174284 ) + % (8,0.000943899 ) + % (16,0.00475407 ) + (32,0.0485256 ) + (64,0.220414 ) + (128,1.44718 2 ) + (256,9.93866 0 ) + (512,63.961 2 ) +(1024,461.494 2 ) +}; + +\addlegendentry{MM div and conq} +\addplot[ color=green, +] coordinates { + % (2,8.10623e-06 ) + % (4,9.01222e-05 ) + % (8,0.000729084 ) + % (16,0.00497079 ) + (32,0.02719 ) + (64,0.26528 ) + (128,1.77787 ) + (256,13.27 ) + (512,105.397 ) +(1024,847.321 ) +}; + +\addlegendentry{MM} +\addplot [ color=red, +]coordinates { + % (2,1.85966e-05) + % (4,8.29697e-05 ) + % (8,0.000547171) + % (16,0.00305367 ) + (32, 0.0240743 ) + (64, 0.186895 ) + (128, 1.56369 ) + (256, 11.0062 ) + (512, 85.4768) +(1024,750.757 ) +}; +% \addlegendentry{NumPy} +% \addplot[ color=blue, +% ] coordinates { +% (2,1.83582e-05 ) +% (4,7.86781e-06) +% (8,1.00136e-05) +% (16,5.4121e-05 ) +% (32,4.26769e-05) +% (64,0.000118494) +% (128,0.000244141 ) +% (256,0.000695705 ) +% (512,0.00221705 ) +% (1024,0.0188088 ) +% }; +\end{axis} +\end{tikzpicture} + +\end{document} + + + diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex index 6f1486c..a7612e1 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex @@ -15,7 +15,7 @@ Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen w Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert. Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten. -\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Matrix Multiplication} +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Matrizenmultiplikation} \label{multiplikation:alg:smm} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic}[1] @@ -50,7 +50,7 @@ Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Die Matrizenmultiplikation kann ebenfalls mit solch einem Ansatz berechnet werden. Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der Gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden. Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der Gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ aufgeteilt. -Das Matrizen produklt +Das Matrizen Produkt \begin{equation} \mathbf{A}\mathbf{B}= \begin{bmatrix} @@ -68,15 +68,15 @@ Das Matrizen produklt \end{bmatrix}, \end{equation} \begin{equation} -\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj} +\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}2n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj} \label{multiplikation:eq:MM_block} \end{equation} -ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation wird die Matrizenmultiplikation verwendet. +ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation der Untermatrize $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{kj}$ wird die Matrizenmultiplikation verwendet. Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz, Der Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen. Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ durchgef\"uhrt. -\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Divide and Conquer Matrix Multiplication} +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Divide and Conquer Matrizenmultiplikation} \setlength{\lineskip}{7pt} \label{multiplikation:alg:devide_mm} \begin{algorithmic} @@ -105,7 +105,7 @@ Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ \end{algorithmic} \end{algorithm} -Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algortihmen. +Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algorithmen. Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe $\mathcal{T} $ der Funktion die Laufzeit. In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac} @@ -116,10 +116,10 @@ Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Lau In diesem Fall hat der \textit{Divide and Conquer} Ansatz zu keiner Verbesserung gef\"uhrt. -\subsection{Strassen's Algorithmus} +\subsection{Strassens Algorithmus} -Strassen's Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen von Blockmatrizen. -Die grundlegenden Terme +Strassens Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen von Blockmatrizen. +Die sieben grundlegenden Terme \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen} \begin{split} \text{\textbf{P}} &= \left(\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{22}\right ) \\ @@ -141,7 +141,7 @@ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke \end{split} \end{equation} der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht. -\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Strassen Matrix Multiplication} +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Strassen Matrizenmultiplikation} \label{multiplikation:alg:strassen} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic} @@ -186,20 +186,20 @@ der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht. \EndFunction \end{algorithmic} \end{algorithm} -Strassen's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt. +Strassens Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt. Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ . -Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die addition welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird. +Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die Addition, welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird. Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$. Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition. \begin{figure} \center \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf} - \caption{Strassen's Algorithmus} + \caption{Strassens Algorithmus} \label{multiplikation:fig:strassen} \end{figure} Die Funktion wird sieben mal rekursiv aufgerufen. -Dies f\"uhrt zu einer Laufzeit von +Dies f\"uhrt nach dem \textit{Master Theorem} zu einer Laufzeit von \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitstrassen} \mathcal{T}(n) = 7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2 = \mathcal{O}\left(n^{\log_2 7}\right ) = \mathcal{O}\left(n^{2.8074} \right ) @@ -207,34 +207,46 @@ Dies f\"uhrt zu einer Laufzeit von und ist somit schneller als die Standardmethode. Man beachte, dass die Anzahl von Additionen und Subtraktionen gr\"osser und die Anzahl der Multiplikationen kleiner wurde. -\subsection{Winograd's Algorithmus} +\subsection{Winograds Algorithmus} Einen weiteren Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}. -Er beschrieb einen neuen Algorithmus f\"ur das -\begin{equation} - \langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^{n}x_i y_i +Er beschrieb einen neuen Algorithmus f\"ur das Skalarprodukt +\begin{equation} \label{multiplikation:eq:skalar} + \langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^{n}x_i y_i. \end{equation} -Skalarprodukt. F\"ur jeden Vektor berechne \begin{equation} \xi = \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} x_{2j-1} \cdot x_{2j} \end{equation} und \begin{equation} - \eta = \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} y_{2j-1} \cdot y_{2j}. + \eta = \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} y_{2j-1} \cdot y_{2j}, \end{equation} +die jeweils nur von $x$ und $y$ abhängen. +Dazu werden $2 \cdot \lfloor n/2 \rfloor \leq n$ Multiplikationen benötigt. Das Skalarprodukt ist nun geben mit \begin{equation} \langle x,y \rangle = \begin{cases} - \displaystyle \quad \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} (x_{2j-1} + y_{2j})(x_{2j}+y_{2j-1})-\xi - \eta & \text{if $n$ is even}\\ - \displaystyle \quad \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} (x_{2j-1} + y_{2j})(x_{2j}+y_{2j-1})-\xi - \eta + x_n y_n & \text{if $n$ is odd}. + \displaystyle \quad \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} (x_{2j-1} + y_{2j})(x_{2j}+y_{2j-1})-\xi - \eta & \text{wenn $n$ gerade}\\ + \displaystyle \quad \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} (x_{2j-1} + y_{2j})(x_{2j}+y_{2j-1})-\xi - \eta + x_n y_n & \text{wenn $n$ ungerade}. \end{cases} \end{equation} - +Das Skalarprodukt kann also mit $ \lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor$ weiteren Multiplikationen berechnet werden. Angenommen man hat $N$ Vektoren mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte. Daf\"ur werden $N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor $ Multiplikationen ben\"otigt. - +Die Summen f\"ur $\xi$ und $\eta$ m\"ussen nur einmal berechnet werden. +Für die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:skalar} benötigt man $Tn$ Multiplikationen. +Im Vergleich mit der neuen Methode +\begin{equation} + \begin{split}\label{multiplikation:eq:eff} + N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor \leq Tn \\ + \approx \frac{Nn}{2} + \frac{Tn}{2} \leq Tn \\ + \frac{Nn}{2} \leq \frac{Tn}{2} \\ + N \leq T +\end{split} +\end{equation} +spart man etwas, falls $N\leq T$. Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet. Dies f\"uhrt zu \begin{equation} @@ -243,9 +255,20 @@ Dies f\"uhrt zu Multiplikationen. Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt. Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist. +Mit dem gleichen Ansatz wie in der Gleichung \ref{multiplikation:eq:eff} aber mit quadratischen Matrizen, muss +\begin{equation} + \begin{split} +N=2n, \quad T = n^2 \\ + 2n \leq n^2 \\ + 2 \leq n +\end{split} +\end{equation} +sein, damit man etwas einspart. Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden. - -\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograd Matrix Multiplication} +Falls $m=n=p$ werden $\frac{n^3}/{2}$ Multiplikationen benötigt. +Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \rightarrow \infty$ können Konstanten vernachlässigt werden und + somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die Ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}\left(n^3 \right)$. +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograds Matrizenmultiplikation} \setlength{\lineskip}{7pt} \label{multiplikation:alg:winograd} \begin{algorithmic} @@ -296,10 +319,11 @@ Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen \end{algorithmic} \end{algorithm} + \subsection{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)} -die gebräuchliche Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subroutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)} \cite{multiplikation:BLAS}. -Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}. +Die gebräuchliche Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subroutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)} \cite{multiplikation:BLAS}. +Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}. \textit{BLAS} sind dabei in drei unterschiedliche Levels aufgeteilt. @@ -307,17 +331,17 @@ Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{M \item Level 1 \begin{itemize} \item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{x}+\mathbf{y}$ - \item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n)$ karakteristik + \item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n)$ Charakteristik \end{itemize} \item Level 2 \begin{itemize} \item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{x}+\beta \mathbf{y}$ - \item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ karakteristik + \item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ Charakteristik \end{itemize} \item Level 3 \begin{itemize} \item Operationen der Art: $\mathbf{C} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{B}+\beta\mathbf{C}$ - \item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ karakteristik + \item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ Charakteristik \end{itemize} \end{itemize} @@ -356,13 +380,13 @@ Folgende Algorithmen wurden jeweils in \texttt{C} und \texttt{Python} implementi \begin{itemize} \item Standard Matrizenmultiplikation \item \textit{Devide and Conquer} Matrizenmultiplikation - \item Strassen's Matrizenmultiplikation - \item Winograd's Matrizenmultiplikation + \item Strassens Matrizenmultiplikation + \item Winograds Matrizenmultiplikation \item \texttt{BLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C} \item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python} \end{itemize} -Der Code kann im dazugehörigen \textit{GitHub} Repository gefunden werden. +Der Code kann im zum Buch gehörigem \textit{GitHub} \footnote{\url{https://github.com/AndreasFMueller/SeminarMatrizen.git}} Repository gefunden werden. Anzumerken ist, dass die Matrizenmultiplikation von \texttt{NumPy} als einzige Implementation Multiprocessing und Multithreading verwendet, dies f\"uhrt zu den tiefen Messzeiten. In Abbildung \ref{multiplikation:fig:python} und Abbildung \ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} sind de Messresultate grafisch dargestellt. Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_Python} und Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_C} ersichtlich. Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{multiplikation:tab:pc_config} aufgelistet. @@ -392,8 +416,8 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul \caption{Messresultate \texttt{C}} \label{multiplikation:tab:messung_C} \end{table} - - + + \begin{table} \begin{center} @@ -440,7 +464,7 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul \begin{figure} \center - \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/c_meas_4096} + \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_c} \caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{C}} \label{multiplikation:fig:c_meas_4096} \end{figure} @@ -448,7 +472,7 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul \begin{figure} \center - \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_1024} + \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_python} \caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{Python}} \label{multiplikation:fig:python} \end{figure} @@ -456,8 +480,8 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul \section{Fazit} \rhead{Fazit} -Wie man im Abschnitt\ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen, trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen. -Einen optimierten Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus. +Wie man im Abschnitt \ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen. +Ein optimierter Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus. Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung. Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden. diff --git a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex index cd5aaaa..e53b0de 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex @@ -5,13 +5,16 @@ % \section{Problemstellung} \rhead{Problemstellung} -Dank der breiten Anwendung der Matrizenmultiplikation ist eine effiziente L\"osung dieser Operation von grosser Bedeutung. +Wegen der breiten Anwendung der Matrizenmultiplikation ist eine effiziente L\"osung dieser Operation von grosser Bedeutung. Das Ziel dieses Papers ist, verschiedenen Algorithmen der Matrizenmultiplikation vorzustellen. -Gezielt werden auf Algorithmen, welche das Problem schneller als der Standard Algorithmus L\"osen eingegangen. +Gezielt wird auf Algorithmen eingegangen, welche das Problem schneller als der Standard Algorithmus l\"osen. \subsection{Big $\mathcal{O}$ Notation} -Die Big $\mathcal{O}$ Notation beschreibt die Laufzeitkomplexit\"at eines Algorithmus \cite{multiplikation:bigo}. +\label{muliplikation:sec:bigo} +Die Big $\mathcal{O}$ Notation beschreibt die Laufzeitkomplexit\"at eines Algorithmus in Abhängigkeit zur Inputgrösse \cite{multiplikation:bigo}. $f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt, dass die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$ wenn $x \rightarrow \infty$. +% Es gibt eine Konstante $K$ derart, dass $f(x) \le K g(x)$ für $x\to\infty$ +Als Beispiel: benötigt eine Funktion $g$ $\mathcal{O}\left(n^2 \right)$ Multiplikationen, so wächst $f$ mit $\mathcal{O}\left(n+ n^2 \right)$ nicht wesentlich schneller falls $x\to\infty$. Vereinfacht werden f\"ur Algorithmen die folgende Notation verwendet: \begin{itemize} \item $f \in \mathcal{O}(1) \rightarrow f$ ist beschr\"ankt @@ -23,88 +26,97 @@ Vereinfacht werden f\"ur Algorithmen die folgende Notation verwendet: \item usw. \end{itemize} -In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die verschiedenen Laufzeiten miteinander verglichen werden. +In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die verschiedenen Laufzeiten miteinander verglichen werden. +Bei einer logarithmischen Darstellung werden Polynome der Form $f(x) = x^k$ als Gerade und Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a^x$ als nach oben gekr\"ummte Kurven dargestellt. +Sch\"on zu erkennen ist, dass Logarithmische Kurven beschr\"ankt sind. -\begin{figure} - \center - \includegraphics[]{papers/multiplikation/images/bigo} - \caption{Verschiedene Laufzeiten} - \label{multiplikation:fig:bigo} -\end{figure} \subsubsection{Beispiel Algorithmen} -Folgend einige Beispiele von Algorithmen welche zu einer bestimmten Zeitkomplexit\"atsklasse zugeteilt werden k\"onnen. -\paragraph{Beschr\"ankter Algorithmus} +Es folgen einige Beispiele von Algorithmen welche zu einer bestimmten Zeitkomplexit\"atsklasse zugeteilt werden k\"onnen. + +\begin{minipage}{0.4\textwidth} + \begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} + \label{multiplikation:alg:b1} + \setlength{\lineskip}{7pt} + \begin{algorithmic} + \Function{B1}{$a, b$} + \State \textbf{return} $a+b$ + \EndFunction + \end{algorithmic} + \end{algorithm} + + \begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} + \setlength{\lineskip}{7pt} + \begin{algorithmic} + \label{multiplikation:alg:linear} + \Function{L}{$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,n} + \State $ sum \gets 0$ + \For{$i = 0,1,2 \dots,n$} + \State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[i] $ + \EndFor + + \State \textbf{return} $sum$ + + \EndFunction + \end{algorithmic} + \end{algorithm} +\end{minipage} +\hspace{2cm} +\begin{minipage}{0.4\textwidth} + + \begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} + \label{multiplikation:alg:b2} + \setlength{\lineskip}{7pt} + \begin{algorithmic} + \Function{B2}{$a, b$} + \State $ x \gets a+b $ + \State $ y \gets a \cdot b $ + \State \textbf{return} $x+y$ + \EndFunction + \end{algorithmic} + \end{algorithm} + + + \begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} + \label{multiplikation:alg:q1} + \setlength{\lineskip}{7pt} + \begin{algorithmic} + \Function{Q}{$\mathbf{A}, \mathbf{B}$,n} + \State $ sum \gets 0$ + \For{$i = 0,1,2 \dots,n$} + \For{$j = 0,1,2 \dots,n$} + \State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[j] $ + \EndFor + \EndFor + \State \textbf{return} $sum$ + \EndFunction + \end{algorithmic} + \end{algorithm} + +\end{minipage} -Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden. Da $a$ und $b$ Skalare sind, hat keine Gr\"osse $n$ einen einfluss auf die Laufzeit. +\paragraph{Beschr\"ankter Algorithmus} -\begin{algorithm}\footnotesize\caption{} - \label{multiplikation:alg:b1} - \setlength{\lineskip}{7pt} - \begin{algorithmic} - \Function{B1}{$a, b$} - \State \textbf{return} $a+b$ - \EndFunction - \end{algorithmic} -\end{algorithm} +Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden. Da $a$ und $b$ Skalare sind, hat keine Gr\"osse $n$ einen Einfluss auf die Laufzeit. Konstanten werden nicht beachtet, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$. -\begin{algorithm}\footnotesize\caption{} - \label{multiplikation:alg:b2} - \setlength{\lineskip}{7pt} - \begin{algorithmic} - \Function{B2}{$a, b$} - \State $ x \gets a+b $ - \State $ y \gets a \cdot b $ - \State \textbf{return} $x+y$ - \EndFunction - \end{algorithmic} -\end{algorithm} - \paragraph{Linearer Algorithmus} -Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares Verhalten. +Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:linear} hat ein lineares Verhalten. Die \texttt{for}-Schleife wird $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}(n)$. -\begin{algorithm}\footnotesize\caption{} - \setlength{\lineskip}{7pt} - \begin{algorithmic} - \label{multiplikation:alg:l1} - \Function{L}{$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,n} - \State $ sum \gets 0$ - \For{$i = 0,1,2 \dots,n$} - \State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[i] $ - \EndFor - - \State \textbf{return} $sum$ - - \EndFunction - \end{algorithmic} -\end{algorithm} - \paragraph{Quadratischer Algorithmus} -Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches Verhalten. -Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchglaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}\left(n^2\right)$. - - -\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} - \label{multiplikation:alg:q1} - \setlength{\lineskip}{7pt} - \begin{algorithmic} - \Function{Q}{$\mathbf{A}, \mathbf{B}$,n} - \State $ sum \gets 0$ - \For{$i = 0,1,2 \dots,n$} - \For{$j = 0,1,2 \dots,n$} - \State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[j] $ - \EndFor - \EndFor - \State \textbf{return} $sum$ - \EndFunction - \end{algorithmic} -\end{algorithm} +Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches Verhalten. +Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}\left(n^2\right)$. +\begin{figure} + \center + \includegraphics[]{papers/multiplikation/images/bigo} + \caption{Verschiedene Laufzeiten} + \label{multiplikation:fig:bigo} +\end{figure} |