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diff --git a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex index c2b3b8c..375c6e7 100644 --- a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex +++ b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex @@ -8,20 +8,20 @@ Wie die komplexen Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen sind, sind die Quaternionen eine Erweiterung der komplexen Zahlen für den dreidimensionalen Raum. Sie haben, wie die komplexen Zahlen, eine dreh-streckende Eigenschaft. Sie finden beispielsweise in der Computergraphik und in der Robotik Anwendung. -Die Quaternionen werden so definiert. +Die Quaternionen \begin{align} q = w + xi + yj + zk \quad w,x,y,z \in \mathbb{R}\enspace q \in \mathbb{H} \end{align} -Eine Drehstreckung wird dabei mit dieser Formel erreicht. +können dabei eine Drehstreckung mit dieser Formel erreichen \begin{align} \label{QuatRot} \begin{split} &v'' = qvq^{-1};\quad q,v,q^{-1} \in \mathbb{H}\\ &\operatorname{Re}(q) = \operatorname{Re}(q^{-1})\quad \operatorname{Im}(q) = -\operatorname{Im}(q^{-1}) \end{split} \end{align} -Man könnte sich nun fragen wieso es drei imaginäre Einheiten $i,j,k$ gibt und nicht zwei, was doch näherliegender wäre. Der Grund liegt darin, weil es in der dritten Dimension 3 Drehachsen gibt, anstatt nur eine. In der geometrischen Algebra ist es leicht herauszufinden wie viele Imaginärteile für jede weitere Dimension existieren. Dabei muss man nur die Anzahl der unabhängigen Bivektoren ermitteln. In der vierten Dimension würden es beispielsweise durch alle Vektorkombinationen von $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4$ insgesamt 8 Bivektoren existieren (Nicht 16, da $\mathbf{e}_{ij} = -\mathbf{e}_{ji}$ nicht unabhängig voneinander sind). +Auffallend ist hier schon die Ähnlichkeit zu dem Kapitel Rotation. Man könnte sich nun fragen wieso es drei imaginäre Einheiten $i,j,k$ gibt und nicht zwei, was doch näherliegender wäre. Der Grund liegt darin, weil es in der dritten Dimension drei Drehachsen gibt, anstatt nur eine. Wie im Kapitel Rotation beschrieben können wir auch hier die drei Drehungen durch Linearkombinationen von drei Bivektoren beschreiben. In der geometrischen Algebra ist es leicht herauszufinden wie viele Imaginärteile für jede weitere Dimension existieren. Dabei muss man nur die Anzahl der unabhängigen Bivektoren ermitteln. In der vierten Dimension würden es beispielsweise durch alle Vektorkombinationen von $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4$ insgesamt 8 Bivektoren existieren (Nicht 16, da $\mathbf{e}_{ij} = -\mathbf{e}_{ji}$ nicht unabhängig voneinander sind). -Leider haben wir nun bei der Darstellung der Quaternionen ein kleines Problem. Wir bräuchten insgesamt vier Achsen. Drei für die imaginären Einheiten und eine für die reelle Einheit. Ein weiterer Nachteil in visueller Hinsicht entsteht beim Anwenden eines Quaternion auf einen Vektor. Sie befinden sich nicht im gleichen Raum und müssen zuerst ineinander umgewandelt werden, um damit zu rechnen, wie man bei $v \in \mathbb{H}$ in der Formel (\ref{QuatRot}) sieht. +Ohne die geometrische Algebra, haben wir jetzt aber leider ein kleines Problem. Für die Darstellung der Quaternionen bräuchten wir insgesamt vier Achsen. Drei für die imaginären Einheiten und eine für die reelle Einheit. Ein weiterer Nachteil in visueller Hinsicht entsteht beim Anwenden eines Quaternion auf einen Vektor. Sie befinden sich nicht im gleichen Raum und müssen zuerst ineinander umgewandelt werden, um damit zu rechnen, wie man bei $v \in \mathbb{H}$ in der Formel (\ref{QuatRot}) sieht. \subsection{Geometrische Algebra} Die geometrische Algebra besitzt die Fähigkeit beide Probleme zu lösen. Die Quaternionen können, wie schon im 2 dimensionalen Fall durch die gerade Grade $G_3^+(\mathbb{R}) \cong \mathbb{H}$ dargestellt werden. Da wir uns jetzt aber in $G_3(\mathbb{R})$ befinden haben wir drei Basisvektoren $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$ und können somit drei Bivektoren bilden $\mathbf{e}_{12}, \mathbf{e}_{23}, \mathbf{e}_{31}$. @@ -33,20 +33,54 @@ Die geometrische Algebra besitzt die Fähigkeit beide Probleme zu lösen. Die Qu \end{definition} Die Probleme werden dadurch gelöst, da wir die Bivektoren im Raum nicht durch einzelne Achsen darstellen müssen, sondern sie als eine orientiere Fläche darstellen können. Anstatt die Vektoren in Quaternionen umzurechnen, können wir jetzt die Vektoren separat im gleichen Raum darstellen. -\\BILD VEKTOR, QUATERNION IN G3\\ +\begin{figure} + \centering + \begin{tikzpicture} + % Koordinatensystem + \draw[thin,gray!40] (-3,-2) grid (3,3); + \draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$}; + \draw[<->] (0,-2)--(0,3) node[above]{$a_2$}; + \draw[<->] (3,3)--(-2,-2) node[left]{$a_3$}; + + % v Vektor + \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,-1) node[anchor=north]{$\boldsymbol{v}$}; + + % q Quaternion + \draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(0.75,0)--(0.75,0.75)--(0,0.75) + node[xshift=0.375cm, yshift=-0.5cm, blue]{$x\boldsymbol{e_{12}}$}; + \draw[->] (0.7,0.55) arc (0:310:0.15); + + \draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(-1,-1)--(-1,0.71)--(0,1.71) + node[xshift=-0.5cm, yshift=-1.5cm, blue]{$y\boldsymbol{e_{23}}$}; + \draw[->] (-0.1,1.1) arc (0:310:0.15); + + \draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(-0.71,-0.71)--(0.29,-0.71)--(1,0) + node[xshift=-0.7cm, yshift=-0.2cm, blue]{$z\boldsymbol{e_{31}}$}; + \draw[->] (0,-0.5) arc (0:310:0.15); + + % Basisvektoren + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{e_1}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north west, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_2}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(-0.71,-0.71) node[anchor=south, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_3}$}; + \end{tikzpicture} + \caption{Darstellung eines Quaternion $\mathbf{q}$ und eines Vektors $\mathbf{v}$ im selben Raum} + \label{BildQuaternionen} +\end{figure} Wie schon im 2 dimensionalen Fall beschreibt ein Bivektor, um wie viel der um 90 grad gedrehte orginale Vektor gestreckt wird. Dabei dreht jeder Bivektor den Vektor um eine andere Achse. \\BILD?\\ In der Computergraphik und Robotik macht eine Drehstreckung aber nicht viel Sinn. Wieso sollte ein Objekt bei einer Drehung zusätzlich noch grösser werden? Darum verwendet man sogenannte Einheitsquaternionen, welche den Betrag $|q|=1$ haben. Sie rotieren die Objekte bzw. Vektoren lediglich. \begin{definition} Einheitsquaternionen \begin{align} - \mathbf{q} = \cos(\alpha) + sin(\alpha)(x\mathbf{e}_{12} + y\mathbf{e}_{23} + z\mathbf{e}_{31}) + \mathbf{q} = \cos(\alpha) + sin(\alpha)(\tilde{x}\mathbf{e}_{12} + \tilde{y}\mathbf{e}_{23} + \tilde{z}\mathbf{e}_{31}) \end{align} \end{definition} -Dabei ist definiert, dass $x^2+y^2+z^2=1$. Somit beträgt der Betrag von immer $\mathbf{q}$ immer 1. +Dabei ist definiert, dass $\tilde{x}^2+\tilde{y}^2+\tilde{z}^2=1$. Somit beträgt der Betrag von $\mathbf{q}$ immer 1. \begin{align} - |\mathbf{q}| = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2(x^2+y^2+z^2) } = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2} = 1 + |\mathbf{q}| = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2(\tilde{x}^2+\tilde{y}^2+\tilde{z}^2) } = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2} = 1 \end{align} +Der Winkel $\alpha$ beschreibt dabei, wie im Bild (...) gezeigt den halben Winkel, um welchen der parallelen Anteil $\mathbf{v_{\perp}}$ des Vektors $\mathbf{v}$ zur kombinierten Bivektorebene $sin(\alpha)^2(\tilde{x}^2+\tilde{y}^2+\tilde{z}^2)$ gedreht wird. + Um einen Vektor zu drehen, verwendet man wieder die gleiche Formel, wie auch schon im zweidimensionalen Fall. \begin{align} \label{QuatRotGA} \begin{split} @@ -54,9 +88,116 @@ Um einen Vektor zu drehen, verwendet man wieder die gleiche Formel, wie auch sch &\operatorname{Re}(\mathbf{q}) = \operatorname{Re}(\mathbf{q}^{-1});\enspace \operatorname{Im}(\mathbf{q}) = -\operatorname{Im}(\mathbf{q}^-1) \end{split} \end{align} -Es ist wichtig bei Quaternionen für eine reine Drehstreckung mit $q$ und $q^{-1}$ beidseitig zu multiplizieren, sonst werden die senkrechten Anteile zu den Bivektorebenen ebenfalls beeinflusst, wie man im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{RotAufPerpPar}) sehen kann -\\BEISPIEL DREHUNG 90 grad um zwei Achsen\\ -\\BILD addition Bivektoren zu Beipsiel?\\ +Es ist wichtig bei Quaternionen für eine reine Drehstreckung mit $q$ und $q^{-1}$ beidseitig zu multiplizieren, sonst werden die senkrechten Anteile zu den Bivektorebenen ebenfalls beeinflusst, wie man im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{RotAufPerpPar}) sehen kann. +\begin{beispiel} + Eine Drehung eines Vektors $\mathbf{v}= 1\mathbf{e}_2$ um 90 Grad um die $\mathbf{e}_1$-Achse und danach 90 Grad um die $\mathbf{e}_2$-Achse. Dafür nehmen wir zuerst einen Einheitsquaternion welcher um die Orientierte Ebene $\mathbf{e}_{23}$ um 90 Grad dreht + \begin{align} + \mathbf{q}_{23} &= \cos(\pi/4) + sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{23}) = e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{23}} &= 0.71 + 0.71\mathbf{e}_{23}\\ + \mathbf{q}_{23}^{-1} &&= 0.71 - 0.71\mathbf{e}_{23} + \end{align} + und danach Einheitsquaternion welcher um die Orientierte Ebene $\mathbf{e}_{31}$ um 90 Grad dreht + \begin{align} + \mathbf{q}_{31} &= \cos(\pi/4) + sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{31}) = e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{31}} &= 0.71 + 0.71\mathbf{e}_{31}\\ + \mathbf{q}_{31}^{-1} &&= 0.71 - 0.71\mathbf{e}_{31} + \end{align} + Um die vollständige Rotation zu beschreiben können die Einheitsquaternion multipliziert werden, wobei die Reihenfolge der Ausführung beachtet werden muss + \begin{align} \label{FormelBeispielQuaternion} + \mathbf{q} &= \mathbf{q}_{31}\mathbf{q}_{23} = (0.71 + 0.71\mathbf{e}_{31})(0.71 + 0.71\mathbf{e}_{23}) &= 0.5 + 0.5\mathbf{e}_{31} + 0.5 \mathbf{e}_{23} + 0.5 \mathbf{e}_{12}\\ + \mathbf{q}^{-1} &= \mathbf{q}_{23}^{-1}\mathbf{q}_{31}^{-1} = (0.71 - 0.71\mathbf{e}_{23})(0.71 - 0.71\mathbf{e}_{31}) &= 0.5 - 0.5\mathbf{e}_{31} - 0.5 \mathbf{e}_{23} - 0.5 \mathbf{e}_{12} + \end{align} + Wenn wir nun den Quaternion $\mathbf{q}$ auf den Vektor $\mathbf{v}$ anwenden + \begin{align} + \mathbf{v}'' = \mathbf{qvq}^{-1} &= (0.5 + 0.5\mathbf{e}_{31} + 0.5 \mathbf{e}_{23} + 0.5 \mathbf{e}_{12})(1\mathbf{e}_2)(0.5 - 0.5\mathbf{e}_{31} - 0.5 \mathbf{e}_{23} - 0.5 \mathbf{e}_{12})\\ + &= (0.5\mathbf{e}_2 + 0.5 \mathbf{e}_{123} - 0.5 \mathbf{e}_3 + 0.5 \mathbf{e}_1)(0.5 - 0.5\mathbf{e}_{31} - 0.5 \mathbf{e}_{23} - 0.5 \mathbf{e}_{12})\\ + &= (0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25)\mathbf{e}_1 + (0.25 + 0.25 - 0.25 - 0.25)\mathbf{e}_2 +\\ &(-0.25 + 0.25 - 0.25 + 0.25)\mathbf{e}_3 + (0.25 - 0.25 - 0.25 + 0.25)\mathbf{e}_{123}\\ + &= 1e_1 + \end{align} + Anders betrachtet könnte man von der Formel \eqref{FormelBeispielQuaternion} sehen, dass der Drehwinkel + \begin{align} + \alpha = \arccos(w) = \arccos(0.5) = 60° + \end{align} + und die Ebene der kombinierten Bivektoren wie in Abbildung \ref{BildQuaternionBeispiel2} aussieht. + Somit kann man sich ebenfalls Vorstellen, wie der parallele Anteil zur Ebene insgesamt um 120° rotiert wird während der senkrechte Anteil unverändert bleibt +\end{beispiel} + +\begin{figure} + \centering + \begin{tikzpicture} + % Koordinatensystem + \draw[thin,gray!40] (-3,-2) grid (3,3); + \draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$}; + \draw[<->] (0,-2)--(0,3) node[above]{$a_2$}; + \draw[<->] (3,3)--(-2,-2) node[left]{$a_3$}; + + % q Quaternion + \draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(1.41,0)--(1.41,1.41)--(0,1.41) + node[xshift=0.375cm, yshift=-0.5cm, blue]{$x\boldsymbol{e_{12}}$}; + \draw[->] (1.35, 1.2) arc (0:310:0.15); + + \draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(-1,-1)--(-1,0.41)--(0,1.41) + node[xshift=-0.5cm, yshift=-1.5cm, blue]{$y\boldsymbol{e_{23}}$}; + \draw[->] (-0.65,-0.5) arc (0:310:0.15); + + \draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(-1,-1)--(0.41,-1)--(1.41,0) + node[xshift=-0.7cm, yshift=-0.2cm, blue]{$z\boldsymbol{e_{31}}$}; + \draw[->] (0.4,-0.8) arc (0:310:0.15); + + % Basisvektoren + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(2,0) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{e_1}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,2) node[anchor=north west, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_2}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(-1.41,-1.41) node[anchor=south, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_3}$}; + + % v Vektor + \draw[line width=2pt,black,-stealth](-0.05,0)--(-0.05,2) node[anchor=east]{$\boldsymbol{v}$}; + % v'' Vektor + \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0.05)--(2,0.05) node[anchor=north]{$\boldsymbol{v}''$}; + \end{tikzpicture} + \caption{Beispiel für Drehung um 90 Grad je um die $\mathbf{e}_1$- und $\mathbf{e}_2$-Achse.} + \label{BildQuaternionBeispiel} +\end{figure} + +\begin{figure} + \centering + \begin{tikzpicture} + % q Quaternion + \draw[line width=0,fill=blue!40] (-0.75,-1)--(1.5,-0.5)--(0.55,1.35)--(-1.5,1) + node[xshift=0.375cm, yshift=-0.5cm, blue]{$\boldsymbol{q}$}; + \draw[->] (-0.7, 0.5) arc (310:0:0.15); + + % Koordinatensystem + \draw[thin,gray!40] (-3,-2) grid (3,3); + \draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$}; + \draw[<->] (0,-2)--(0,3) node[above]{$a_2$}; + \draw[<->] (3,3)--(-2,-2) node[left]{$a_3$}; + + % Basisvektoren + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(2,0) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{e_1}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,2) node[anchor=north west, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_2}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(-1.41,-1.41) node[anchor=south, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_3}$}; + + % v Vektor + \draw[line width=2pt,black,-stealth](-0.05,0)--(-0.05,2) node[anchor=east]{$\boldsymbol{v}$}; + % vpar Vektor + \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(-0.33,1.25) node[anchor=east]{$\boldsymbol{v_{\parallel}}$}; + % vperp Vektor + \draw[line width=2pt,green,-stealth](-0.33,1.25)--(0,2) node[anchor=east, xshift = -0.05, yshift = -0.3cm]{$\boldsymbol{v_{\perp}}$}; + % v'' Vektor + \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0.05)--(2,0.05) node[anchor=north, xshift = 0.25cm]{$\boldsymbol{v}''$}; + % vpar'' Vektor + \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1.66,-0.75) node[anchor=east, yshift = -0.2cm, xshift = -0.1cm]{$\boldsymbol{v_{\parallel}''}$}; + % vperp'' Vektor + \draw[line width=2pt,green,-stealth](1.66,-0.75)--(2,0) node[anchor=east, xshift = 0.5cm, yshift = -0.65cm]{$\boldsymbol{v_{\perp}''}$}; + + \coordinate (A) at (0,0); + \coordinate (B) at (-0.33,1.25); + \coordinate (C) at (1.66,-0.75); + \tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=2, draw, thick, angle radius=0.75cm, purple}} + \draw pic ["120° $=2\alpha$", anglestyle] {angle = C--A--B}; + \end{tikzpicture} + \caption{Beim Beispiel wird der parallele Anteil um 120° gedreht während der senkrechte Anteil zur kombinierten Ebene (Bivektoraddition) gleich bleibt} + \label{BildQuaternionBeispiel2} +\end{figure} + \subsection{Interpolation} In der Computergrafik wird Interpolation verwendet, um eine flüssige Drehbewegung zu erreichen. Dabei wird die gewünschte Drehbewegungen des Objektes in kleinere aufgeteilt. Man kann dabei mit zwei verschiedenen Systemen arbeiten. \begin{itemize} diff --git a/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex b/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex index 9392285..318d04b 100644 --- a/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex +++ b/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex @@ -6,16 +6,16 @@ \section{Pauli-Matrizen} \rhead{Pauli-Matrizen} -Was ist der beste Weg um einen Computeralgorithmus für die Rechenoperationen in der Clifford-Algebra zu erstellen? Man könnte versuchen ein textueller Rechner zu implementieren der für die Elemente $\mathbf{e}_i$ hartkodierte Vereinfachungen ausführt +Was ist der beste Weg um einen Computeralgorithmus für die Rechenoperationen in der Clifford-Algebra zu erstellen? Man könnte versuchen einen textuellen Rechner zu implementieren der für die Elemente $\mathbf{e}_i$ hartkodierte Vereinfachungen ausführt \begin{beispiel} - der Algorithmus weiss, dass er $a\mathbf{e}_1\cdot b\mathbf{e}_1$ zu $ab\cdot1$ vereinfachen kann + Der Algorithmus weiss, dass er $a\mathbf{e}_1\cdot b\mathbf{e}_1$ zu $ab\cdot1$ vereinfachen kann \begin{align} 3\mathbf{e}_1 \cdot 2\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 \Rightarrow 6 + 3\mathbf{e}_2 \end{align} \end{beispiel} Dies ist aber sehr ineffizient. Die Pauli-Matrizen bilden eine elegante und schnellere Alternative, welche für die dreidimensionale Clifford-Algebra verwendet werden können und alle Operationen aus der Clifford-Algebra gleich wie die Matrixoperationen ausführen lassen. \begin{definition} \label{def:defPauli} - vier Pauli-Matrizen ($\mathbf{e}_0$ = Skalare) + Die Matrizen \begin{align} \mathbf{e}_0 = E = \begin{pmatrix} @@ -38,7 +38,11 @@ Dies ist aber sehr ineffizient. Die Pauli-Matrizen bilden eine elegante und schn 0 & -1 \end{pmatrix}\quad \end{align} - durch normale Matrizenmultiplikation lassen sich die restlichen Basiselemente der dreidimensionalen Clifford-Algebra herleiten + heissen Pauli-Matrizen ($\mathbf{e}_0$ = Skalare) +\end{definition} +Die Matrix-Multiplikationen der Pauli-Matrizen führt auf die gleichen algebraischen Relationen, wie die Multiplikation der Elemente $\mathbf{e}_0, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$. So lassen sich auch die restlichen Elemente der Clifford-Algebra herleiten. +\begin{definition} \label{def:defPauli2} + Die Bivektoren und Trivektoren hergeleitet durch die Pauli-Matrizen \begin{align} \mathbf{e}_{12} = \begin{pmatrix} @@ -64,7 +68,7 @@ Dies ist aber sehr ineffizient. Die Pauli-Matrizen bilden eine elegante und schn \end{definition} Dabei ist wichtig, dass sich die Matrizen gleich verhalten, wie es die Clifford-Algebra für die Basiselemente definiert hat. \begin{align} - \mathbf{e}_1^2 &= \mathbf{e}_0 = + \mathbf{e}_1^2 &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 @@ -72,8 +76,8 @@ Dabei ist wichtig, dass sich die Matrizen gleich verhalten, wie es die Clifford- \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 - \end{pmatrix}\\ - \mathbf{e}_{12}^2 &= -\mathbf{e}_0 = + \end{pmatrix}= \mathbf{e}_0 \\ + \mathbf{e}_{12}^2 &= \begin{pmatrix} j & 0 \\ 0 & -j @@ -81,9 +85,9 @@ Dabei ist wichtig, dass sich die Matrizen gleich verhalten, wie es die Clifford- \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 - \end{pmatrix} + \end{pmatrix} = -\mathbf{e}_0 \end{align} -Man kann bei der Definition \ref{def:defPauli} sehen, dass alle Matrizen linear unabhängig voneinander sind. Das bedeutet, dass wenn man die Matrizen der Basiselemente normal addiert und zu einer grossen Matrix zusammenfasst und anschliessend wieder herausgelesen werden können. +Man kann bei den Definitionen \ref{def:defPauli} und \ref{def:defPauli2} sehen, dass alle Matrizen linear unabhängig voneinander sind. Das bedeutet, dass wenn man die Matrizen der Basiselemente normal addiert und zu einer Matrix zusammenfasst, kann man anschliessend die einzelnen Anteile der Basiselemente wieder herausgelesen. \begin{definition} Multivektor mit Pauli-Matrizen \begin{align} @@ -95,14 +99,18 @@ Man kann bei der Definition \ref{def:defPauli} sehen, dass alle Matrizen linear \end{pmatrix} \end{align} \end{definition} +Die Anteile treten zudem immer paarweise auf und können somit immer je durch zwei Gleichungen bestimmt werden. \begin{beispiel} + Bestimmung der Anteile der Basiselemente \begin{align} - M &= \begin{pmatrix} + M &= + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\\ - &\Rightarrow a_0 + a_3 = 1 \land a_0 - a_3 = 0\\ - &\Rightarrow a_0 = 0.5 \land a_3 = 0.5\\ - M &= 0.5 \mathbf{e}_0 + 0.5 \mathbf{e}_3 + &\Rightarrow a_0 + a_3 = 1 \enspace\land\enspace a_0 - a_3 = 0\\ + &\Rightarrow a_0 = \dfrac{1}{2} \enspace\land\enspace a_3 = \dfrac{1}{2}\\ + M &= \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_0+ \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_3 \end{align} -\end{beispiel}
\ No newline at end of file +\end{beispiel} +Die Clifford-Algebra bei der Darstellung durch Matrizen kein Ausnahmefall. Es lässt sich theoretisch jede algebraische Struktur durch Matrizen darstellen.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex index 1c6d590..6c92711 100644 --- a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex +++ b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex @@ -3,39 +3,69 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Reflexion/ Spiegelung} -\rhead{Reflexion/ Spiegelung} +\section{Spiegelung} +\rhead{Spiegelung} + +Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere, wie beispielsweise die später beschriebene Rotation, ableiten kann. Da die Geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Reflexion auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen. +\begin{figure} + \centering + \begin{tikzpicture} + \draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3); + \draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$}; + \draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$}; + \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$}; + \draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(0,2.5) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$}; + \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=north]{$\boldsymbol{e_1}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{e_2}$}; + \draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,2)--(2,2) node[xshift=-1cm, yshift= + 0.25cm]{$\boldsymbol{v_{\perp u}}$}; + \draw[line width=1.5pt,red,-stealth](-2,2)--(0,2) node[xshift=-1cm, yshift= + 0.25cm]{$\boldsymbol{v_{\perp u}}$}; + \draw[line width=1.5pt,purple,-stealth](0,1.5)--(1,1.5) node[xshift=-0.5cm, yshift=-0.25cm]{$\boldsymbol{\hat{n}}$}; + \end{tikzpicture} + \caption{Spiegelung des Vektors \textbf{v} an Spiegelachse bzw. Vektor \textbf{u}} + \label{BildSpiegelung} +\end{figure} -Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere, wie beispielsweise die später beschriebene Rotation, ableiten kann. Da die Geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Reflexion auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen. \\HIER BILD \subsection{Linearen Algebra} -Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Spiegelung wie folgt beschreiben kann. +Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Spiegelung an einer Ebene wie folgt beschreiben kann. \begin{definition} - Spiegelungsgleichung in der linearen Algebra + Die Spiegelungsgleichung in der linearen Algebra mit dem Normalenvektor $\mathbf{\hat{n}}$ zur Spiegelebene \begin{equation} \label{RefLinAlg} - \mathbf{v^{'}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\perp u}} + \mathbf{v^{'}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\parallel \hat{n}}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\perp u}} \end{equation} + Per Definition sind $\mathbf{v_{\parallel \hat{n}}} = \mathbf{v_{\perp u}}$. In der geometrischen Algebra verwenden wir aber in den Formeln Vektoren, welche Spiegelachsen repräsentieren. \end{definition} - -$\mathbf{u}$ repräsentiert die Spiegelachse und $\mathbf{v_{\perp u}}$ senkrecht auf dieser Achse steht und den orthogonalen Anteil von $\mathbf{v}$ zu $\mathbf{u}$ bildet. Es scheint für diese Formel aber umständlich zu sein, weitere Spiegelungen, mit weiteren Spiegelachsen, anzufügen. Man kann die Abbildung des Vektors auf den gespiegelten Vektor auch als Matrix schreiben, welche aus den Komponenten des zu der Spiegelachse orthonormalen Vektors $\mathbf{\hat{n}}$ besteht. +Es scheint für diese Formel aber umständlich zu sein, weitere Spiegelungen, mit weiteren Spiegelachsen, anzufügen. Man kann dafür aber die Abbildung des Vektors auf den gespiegelten Vektor auch als Matrix schreiben, welche aus den Komponenten des Normalenvektors $\mathbf{\hat{n}}$ der Ebene besteht. \begin{align} \mathbf{\hat{n}}\perp \mathbf{u}\quad \land \quad |\mathbf{\hat{n}}| = 1 \end{align} \begin{align} \label{Spiegelmatrizen} - Spiegelmatrizen... + S = E - 2\dfrac{1}{|\mathbf{n}|^2}\mathbf{nn}^t \enspace\Rightarrow\enspace + S_2 = \begin{pmatrix} + 1-2n_1^2 & -2n_1n_2 \\ + -2n_1n_2 & 1-2n_2^2 + \end{pmatrix} \quad + S_2 = \begin{pmatrix} + 1-2n_1^2 & -2n_1n_2 & -2n_1n_3\\ + -2n_1n_2 & 1-2n_2^2 & -2n_2n_3\\ + -2n_1n_3 & -2n_2n_3 & 1-2n_3^2\\ + \end{pmatrix} \end{align} -Diese Matrizen Spiegelmatrizen gehören der orthogonalen Matrizengruppe $S\in \text{O}(n)$ an. Diese haben die Eigenschaft $S^t S = E$, was bedeutet, dass zweimal eine Spiegelung an der selben Achse keinen Effekt hat. +Diese Spiegelmatrizen gehören der orthogonalen Matrizengruppe $S\in \text{O}(n)$ an. Die Matrizengruppe $\text{O}(n)$ haben die Eigenschaft $S^t S = E$, was bedeutet, dass die Länge und Winkel bei der Abbildung beibehalten bleiben. Zusätzlich sind die Spiegelmatrizen symmetrisch $S^t = S$. Somit liefert zweimal dieselbe Spiegelung wieder die identische Abbildung. \subsection{Geometrische Algebra} -Die Geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel \eqref{RefLinAlg} eine einfache und intuitive Form her, welche auch für weitere Operationen einfach erweitert werden kann. +Die Geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel \eqref{RefLinAlg} für eine Spiegelung eine einfache und intuitive Form her, welche auch für weitere Operationen erweitert werden kann. \begin{definition} - Spiegelungsgleichung in der geometrischen Algebra + Die Spiegelungsgleichung in der geometrischen Algebra mit der Spiegelachse $\mathbf{u}$ \begin{align}\label{RefGA} \mathbf{v}' = \mathbf{uvu}^{-1} \end{align} \end{definition} -Die Inverse eines Vektors ist dabei so definiert, dass multipliziert mit sich dem Vektor selbst das neutrale Element 1 ergibt. +Die Inverse $\mathbf{u}^{-1}$ eines Vektors $\mathbf{u}$ existiert in der geometrischen Algebra und ist dabei so definiert. \begin{definition} - Inverse eines Vektors + Die Inverse multipliziert mit dem Vektor selbst ergibt das neutrale Element 1 \begin{align} \mathbf{u}^{-1} = \dfrac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|^2} \Rightarrow \mathbf{uu}^{-1} = \dfrac{\mathbf{u}^2}{|\mathbf{u}|^2} = 1 \end{align} @@ -45,5 +75,4 @@ verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, wel \begin{align} \mathbf{v'} = \mathbf{\hat{u}v\hat{u}} \end{align} -Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension, wie bei der Definition \eqref{Spiegelmatrizen} ersichtlich, durch andere Matrizen beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise. Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da bis auf das Vektorprodukt in der dritten Dimension keine Multiplikation von Vektoren definiert ist. -\\BEISPIEL?
\ No newline at end of file +Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension, wie bei der Definition \eqref{Spiegelmatrizen} ersichtlich, durch andere Matrizen beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise. Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da bis auf das Vektorprodukt in der dritten Dimension keine Multiplikation von Vektoren definiert ist.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex index 3ef5fbf..4a545ec 100644 --- a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex +++ b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex @@ -7,86 +7,118 @@ \rhead{Rotation} Eine Rotation kann man aus zwei, aufeinanderfolgende Spiegelung bilden. Das war für mich zuerst eine verwirrende Aussage, da man aus den vorherig gezeigten Formeln annehmen könnte, dass die Spiegelung schon für eine Drehung ausreicht. Obwohl sich die Längen, Winkel und Volumen sich bei einer Spiegelung, wie bei einer Rotation, nicht ändert, sind sie doch verschieden, da die Orientierung bei der Spiegelung invertiert wird. Stellt man sich beispielsweise ein Objekt im Dreidimensionalen vor und spiegelt dieses an einer Fläche, dann ist es unmöglich nur durch eine Rotation (egal an welchem Punkt) das ursprüngliche Objekt deckungsgleich auf das Gespiegelte zu drehen. Hingegen ist es wiederum möglich ein zweifach gespiegeltes Objekt durch eine Drehung zu erreichen. Das liegt daran, da die Orientierung zweimal invertiert wurde. -\\BILD +\begin{figure} + \centering + \begin{tikzpicture} + \draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3); + \draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$}; + \draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$}; + \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$}; + \draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(0,2.5) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$}; + \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$}; + \draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,0)--(-2.31, 0.957) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{w}$}; + \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2.828,0) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v''}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=north]{$\boldsymbol{e_1}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north west]{$\boldsymbol{e_2}$}; + + \coordinate (A) at (0,0); + \coordinate (B) at (0,2.5); + \coordinate (C) at (-2.31, 0.957); + \tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, draw, thick, angle radius=1.25cm}} + \draw pic ["$\theta$", anglestyle] {angle = B--A--C}; + \end{tikzpicture} + \caption{Rotation des Vektors $\textbf{v}$ um $2\theta$} + \label{BildRotation} +\end{figure} \subsection{Linearen Algebra} -In der linearen Algebra haben wir Drehungen durch die Matrizen der Gruppe $\text{SO}(n)$ beschrieben. Die $\text{SO}(2)$ werden beispielsweise auf diese Weise gebildet. +In der linearen Algebra haben wir Drehungen durch die Matrizen der Gruppe $\text{SO}(n)$ beschrieben. Beispielsweise besteht $\text{SO}(2)$ aus den Matrizen \begin{align} D = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) - \end{pmatrix} + \end{pmatrix},\quad + \alpha \in [0, 2\pi) \end{align} -Diese Drehmatrizen gehören der speziellen orthogonalen Matrizengruppe $D\in \text{SO}(n) = \text{SL}_n(\mathbb{R})\enspace \cap \enspace \text{O}(n)$ an. $\text{SL}_n(\mathbb{R})$ beinhaltet die Matrizen mit scherenden Eigenschaften. Diese Drehmatrizen haben die Eigenschaft $D^t D = E \enspace \land \enspace det(D)=1$. Dadurch dass die $det(D) = 1$ und nicht $-1$ sein kann fallen alle Spiegelungen aus der Menge raus. $det(D) = -1$ bedeutet, dass eine Orientierungsinversion stattfindet. +Diese Drehmatrizen gehören der speziellen orthogonalen Matrizengruppe $D\in \text{SO}(n) = \text{SL}_n(\mathbb{R})\enspace \cap \enspace \text{O}(n)$ an. $\text{SL}_n(\mathbb{R})$ beinhaltet die Matrizen mit scherenden Eigenschaften. Diese Drehmatrizen haben die Eigenschaft $D^t D = E \enspace \land \enspace det(D)=1$. Dadurch dass die $det(D) = 1$ und nicht $-1$ sein kann fallen alle Spiegelungen aus der Menge heraus. $det(D) = -1$ bedeutet, dass eine Orientierungsinversion stattfindet. \\BILD Mengen Spezieller Matrizen von Herrn Müller Präsentation \subsection{Geometrische Algebra} Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Rotation durch zwei Spiegelungen gebildet werden kann, können wir die Rotation mit der Formel \eqref{RefGA} einfach herleiten. -\begin{align} \label{rotGA} - \mathbf{v}'' = \mathbf{wv}'\mathbf{w}^{-1} = \mathbf{w}(\mathbf{uvu}^{-1})\mathbf{w}^{-1} -\end{align} +\begin{satz} + Eine Rotation lässt sich durch zwei nacheinander angewendete Spiegelungen beschreiben + \begin{align} \label{rotGA} + \mathbf{v}'' = \mathbf{wv}'\mathbf{w}^{-1} = \mathbf{w}(\mathbf{uvu}^{-1})\mathbf{w}^{-1} = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) + \end{align} +\end{satz} Die Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ bilden hier wiederum die Spiegelachsen. Diese Formel versuchen wir jetzt noch durch Umstrukturierung zu verbessern. -\subsubsection{Polarform und Exponentialform} -Dazu leiten wir zuerst die Exponentialform her. (Anmerkung: Hier wird eine Rotation auf der $\mathbf{e}_{12}$ Ebene hergeleitet. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e}_{ij}, i\not=j$ Ebenen erreicht werden). Dafür verwenden wir die Polarform des Vektors. +\subsubsection{Exponentialform} +Dazu leiten wir zuerst die Exponentialform eines Vektors her. Es wird dabei zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass alle Vektoren $\mathbf{w}, \mathbf{u}, \mathbf{v}$ in der $\mathbf{e}_{12}$ Ebene liegen. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e}_{ij}, i\not=j$ Ebenen erreicht werden. Für die Herleitung erweitern wir nun als erstes die Polarform eines Vektors \begin{align} \mathbf{w} = |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\right) \end{align} -Dabei können wir ausnützen, dass $\mathbf{e}_1^2 = 1$ ist. Was nichts ändert wenn wir es einfügen. Zudem klammern wir dann $\mathbf{e}_1$ aus. +mit $\mathbf{e}_1^2 = 1$ beim Sinus \begin{align}\label{e1ausklammern} - \mathbf{w} = |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\right) + \mathbf{w} &= |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\right) \end{align} +um dann $\mathbf{e}_1$ ausklammern zu können. \begin{align} - \mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right) + \mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right) \label{ExponentialGA} \end{align} -Durch die Reihenentwicklung der $\sin$ und $\cos$ Funktionen +Die Ähnlichkeit des Klammerausdrucks zu der Eulerschen Formel bei den Komplexen Zahlen ist nun schon gut erkennbar. Versuchen wir nun mithilfe der Reihenentwicklung den Zusammenhang auch hier herzustellen. \begin{align} \sin(\theta_w)\mathbf{e}_{12}&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n+1}}{(2n+1)!}}\mathbf{e}_{12} =\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots \\ - cos(\theta_w)&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n}}{(2n)!}} =1-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}-\cdots + \cos(\theta_w)&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n}}{(2n)!}} =1-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}-\cdots \end{align} -ist es uns leicht möglich die $\sin$ und $\cos$ Terme in die Exponentialfunktion umzuwandeln. Dabei verwenden wir zusätzlich noch unsere Erkenntnis, dass $\mathbf{e}_{12}^2=-1, \enspace\mathbf{e}_{12}^3=-\mathbf{e}_{12}, ...$ +Verwenden wir jetzt noch die Eigenschaft, dass $\mathbf{e}_{12}^2=-1, \enspace\mathbf{e}_{12}^3=-\mathbf{e}_{12}, \dots$, bei dem Klammerausdruck in Formel \eqref{ExponentialGA} \begin{align} \cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12} &= 1+\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots\\ - \cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12} &= 1 \mathbf{e}_{12}^0+\theta_w\mathbf{e}_{12}^1+{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}\mathbf{e}_{12}^2+{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}^3+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}\mathbf{e}_{12}^4+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}^5-\cdots\\ + &= 1 \mathbf{e}_{12}^0+\theta_w\mathbf{e}_{12}^1+{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}\mathbf{e}_{12}^2+{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}^3+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}\mathbf{e}_{12}^4+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}^5+\cdots + \label{ExponentialGA2} \end{align} -Aus der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion folgt nun +dann sieht man die Übereinstimmung mit der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion. \begin{align} &e^{\theta_w\mathbf{e}_{12}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{n}}{n!}}={\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{0}}{0!}}+{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{1}}{1!}}+{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{2}}{2!}}+{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{3}}{3!}}+\cdots\\ &\Rightarrow \mathbf{w} = |w|\mathbf{e}_1 e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}} = |w|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right) \end{align} -Man kann es so interpretieren, dass der Einheitsvektor $\mathbf{e}_1$ um die Länge $|\mathbf{w}|$ gestreckt und um $\theta_w$ gedreht wird. +Man kann die Exponentialform des Vektors ähnlich wie die der komplexen Zahlen interpretieren. Der Einheitsvektor $\mathbf{e}_1$ wird um die Länge $|\mathbf{w}|$ gestreckt und um $\theta_w$ gedreht. +Bei den komplexen Zahlen würden man vom Punkt 1 anstatt $\mathbf{e}_1$ ausgehen. \subsubsection{Vektormultiplikation} -Nun werden wir den Effekt von zwei aneinandergereihten Vektoren $\mathbf{wu}$ betrachten. +Nun werden wir das Produkt von zwei Vektoren $\mathbf{wu}$ \begin{align} - \mathbf{wu} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}|u|\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}} + \mathbf{wu} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}|\mathbf{u}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}} \end{align} -Um die beiden $\mathbf{e}_1$ zu kürzen, können wir die Reihenfolge des Exponentialterms mit $\mathbf{e}_1$ wechseln, indem man bei der Gleichung \eqref{e1ausklammern}, anstatt mit $\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2$ mit $\mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1$ erweitert. +so umformen, dass wir eine bessere Darstellung erhalten. Wir tauschen dafür zuerst beim Vektor $\mathbf{w}$ die Reihenfolge von +$\mathbf{e}_1$ mit dem Exponentialterm $e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}$, indem wir bei der Gleichung \eqref{e1ausklammern}, anstatt mit $\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2$ mit $\mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1$ erweitern \begin{align} - \mathbf{w} = |\mathbf{w}|\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\right)\mathbf{e}_1 -\end{align} -Da $\mathbf{e}_2\mathbf{e}_1 = -\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2$ können wir einfach den Winkel negieren und $e_1e_1 = 1$ kürzen. Die Längen können als Skalare beliebig verschoben werden und die Exponentialterme zusammengefasst werden. -\begin{align} - \mathbf{wu} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}} + \mathbf{w} &= |\mathbf{w}|\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\right)\mathbf{e}_1\\ + &= |\mathbf{w}|e^{\theta_w \mathbf{e}_{21}}\mathbf{e}_1\\ + &= |\mathbf{w}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1 \end{align} +und umstrukturiert wieder in die Vektorproduktformel einsetzen \begin{align} + \mathbf{wu} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}\\ \mathbf{wu} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e}_{12}} \end{align} -der Term $\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}$ kann durch die selbe Methode zusammengefasst werden. +Der Term $\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}$ kann durch die selbe Methode zusammengefasst werden \begin{align} \mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e}_{12}} \end{align} -Dabei definieren wir den Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$. +Wenn wir den Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$ definieren erhalten wir die finale Form der Vektorprodukte +\begin{align} + \mathbf{wu} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}\\ + \mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}} +\end{align} \subsubsection{Umstrukturierte Drehungsgleichung} -Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung \eqref{rotGA} ein. +Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung \eqref{rotGA} ein \begin{align} - \mathbf{v''} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} v \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}} + \mathbf{v''} = (|\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}) \mathbf{v}( \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}) +\end{align} +erhalten wir durch die Kürzungen der Längen die vereinfachte Drehungsgleichung +\begin{align} + \mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} v e^{\theta \mathbf{e}_{12}} \end{align} -\begin{satz} - Vereinfachte Drehungsgleichung in Exponentialschreibweise - \begin{align} - \mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} v e^{\theta \mathbf{e}_{12}} - \end{align} -\end{satz} Wir wissen nun, dass das diese beidseitige Multiplikation die Länge von $\mathbf{v}$ nicht verändert, da sich die Längen von $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ kürzen. Betrachten wir nun den Effekt der Exponentialterme auf $\mathbf{v}$. Dabei Teilen wir den Vektor $\mathbf{v}$ auf in einen Anteil $\mathbf{v_\parallel}$, welcher auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ liegt, und einen Anteil $\mathbf{v_\perp}$, welcher senkrecht zu der Ebene steht. \begin{align} \label{RotAufPerpPar} @@ -102,8 +134,8 @@ Auf eine allgemeine Herleitung wird hier zwar verzichtet, aber man kann zeigen, \begin{align} \mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} + \mathbf{v_\parallel} e^{2\theta \mathbf{e}_{12}} \end{align} -Man kann an dieser Gleichung sehen, dass nur der parallele Anteil des Vektors $\mathbf{v}$ auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ um $2\theta$ gedreht wird. Der senkrechte Anteil bleibt gleich. Wichtig dabei zu sehen ist, dass nur der Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ von Bedeutung ist. Die Länge und Richtung der einzelnen Vektoren spielt keine Rolle. -\begin{beispiel} +Man kann an dieser Gleichung sehen, dass nur der parallele Anteil des Vektors $\mathbf{v}$ auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ um $2\theta$ gedreht wird. Der senkrechte Anteil bleibt gleich. Wichtig dabei zu sehen ist, dass nur der Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ von Bedeutung ist. Die Länge und Richtung der einzelnen Vektoren spielt keine Rolle. Zeigen wir nun diese Eigenschaften an einem Beispiel +\begin{beispiel} \begin{align} \begin{split} \mathbf{v} &= 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 + 3\mathbf{e}_3\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v_\parallel} = 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 \quad \mathbf{v_\perp} = 3\mathbf{e}_3\\ @@ -120,5 +152,5 @@ Man kann an dieser Gleichung sehen, dass nur der parallele Anteil des Vektors $\ & 1\mathbf{e}_1 - 2\mathbf{e}_2 + 3\mathbf{e}_3 \end{split} \end{align} -\end{beispiel} -Man sieht, dass sich der Vektor $\mathbf{v_\parallel}$ sich um $2\cdot90^\circ$ gedreht hat und der Vektor $\mathbf{v_\perp}$ unverändert blieb.
\ No newline at end of file + Man sieht, dass sich der Vektor $\mathbf{v_\parallel}$ sich um $2\cdot90^\circ$ gedreht hat und der Vektor $\mathbf{v_\perp}$ unverändert blieb. +\end{beispiel}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex index 120828b..70107da 100644 --- a/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex +++ b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex @@ -6,18 +6,19 @@ \section{Komplexe Zahlen} \rhead{Komplexe Zahlen} -Die komplexen Zahlen finden eine Vielzahl von Anwendungsgebiete in den Ingenieurwissenschaften. Das liegt daran, weil die komplexen Zahlen Rotationen und Schwingungen gut beschreiben können. Nachdem vorherigen Kapitel überrascht es wahrscheinlich nicht viele, dass es möglich ist komplexe Zahlen in der geometrischen Algebra darzustellen. Sie können durch die geraden Grade der 2 Dimensionalen geometrischen Algebra vollständig beschrieben werden: $G_2^+(\mathbb{R}) \cong \mathbb{C}$. Das bedeutet eine komplexe Zahl kann durch ein Skalar (Grad 0) und einem Bivektor (Grad 2) dargestellt werden. Als Abkürzung nehme ich die Bezeichnung $\mathbf{g}_n \in G_2^+(\mathbb{R})$. +Die komplexen Zahlen finden eine Vielzahl von Anwendungsgebiete in den Ingenieurwissenschaften. Das liegt daran, weil die komplexen Zahlen Rotationen und Schwingungen gut beschreiben können. Nach dem vorherigen Kapitel überrascht es wahrscheinlich nicht viele, dass es möglich ist komplexe Zahlen in der geometrischen Algebra darzustellen. Sie können durch die geraden Grade der 2 Dimensionalen geometrischen Algebra vollständig beschrieben werden: $\mathbf{g}_n \in G_2^+(\mathbb{R}) \cong \mathbb{C}$. Das bedeutet eine komplexe Zahl kann durch ein Skalar (Grad 0) und einem Bivektor (Grad 2) dargestellt werden \begin{align} - a_0 + a_1 j \cong a_0 + a_1 \mathbf{e}_{12} = \mathbf{g}_n\quad a_0, a_1 \in \mathbb{R} + a_0 + a_1 j \cong a_0 + a_1 \mathbf{e}_{12} = \mathbf{g}_n\quad a_0, a_1 \in \mathbb{R}\\ + |r|e^{\theta j} \cong |r|e^{\theta \mathbf{e}_{12}} = \mathbf{g}_n; \quad r, \theta \in \mathbb{R} \end{align} -oder in Polarform. +weil $j$ und $\mathbf{e}_{12}$ beide die Eigenschaft besitzen quadriert $-1$ zu ergeben \begin{align} - |r|e^{\theta j} \cong |r|e^{\theta \mathbf{e}_{12}} = \mathbf{g}_n; \quad r, \theta \in \mathbb{R} + j^2 = -1\quad \mathbf{e}_{12}^2 = -1 \end{align} Man beachte, dass wenn wir, wie bei den komplexen Zahlen, Elemente von $G_2^+(\mathbb{R})$ miteinander Multiplizieren, ist es nicht, wie im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{rotGA})beschrieben, eine Multiplikation von zwei $g_n$ mit einem Vektor. Im zweidimensionalen bewirken beide Multiplikationen grundsätzlich das Gleiche (eine Drehstreckung), aber die Multiplikation von mehreren $g_n$ ist kommutativ, wie wir es von den komplexen Zahlen kennen. \begin{align} \mathbf{g}_1\mathbf{g}_2 = \mathbf{g}_2\mathbf{g}_1 \quad&\Leftrightarrow\quad (a + b \mathbf{e}_{12})(f + g \mathbf{e}_{12}) = (f + g \mathbf{e}_{12})(a + b \mathbf{e}_{12})\\ - \mathbf{g}_1\mathbf{v}\mathbf{g}_2\not= \mathbf{g}_2\mathbf{v}\mathbf{g}_1 \quad&\Leftrightarrow\quad(a + b \mathbf{e}_{12})(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)(f + g \mathbf{e}_{12}) \not= (a + b \mathbf{e}_{12})(f + g \mathbf{e}_{12})(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2) + \mathbf{g}_1\mathbf{v}\not= \mathbf{v}\mathbf{g}_1 \quad&\Leftrightarrow\quad(a + b \mathbf{e}_{12})(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)\not= (x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)(a + b \mathbf{e}_{12}) \end{align} Um später die Auswirkung der Quaternionen besser zu verstehen, möchte ich kurz darauf eingehen, was ein $g_n$ für eine Auswirkung auf einen Vektor hat. Wir kennen diesen Effekt schon von den komplexen Zahlen. Wenn eine komplexe Zahl $c_1=a+bj$ mit einer zweiten $c_2=f+gj$ multipliziert wird, dann kann man diese so aufteilen. diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/GimbalLock.png b/buch/papers/clifford/Bilder/GimbalLock.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..733c535 --- /dev/null +++ b/buch/papers/clifford/Bilder/GimbalLock.png diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/Links.txt b/buch/papers/clifford/Bilder/Links.txt new file mode 100644 index 0000000..8e8edfe --- /dev/null +++ b/buch/papers/clifford/Bilder/Links.txt @@ -0,0 +1,3 @@ +MatrizenGruppen: Vorlesung 10 Drehmatrizen Müller +GimbalLock: https://www.thetechgame.com/News/sid=2444/fifa-12-demo-glitches-causing-youtube-stir/start=10.html +RotSpieg: http://www.math.uni-bremen.de/didaktik/ma/ralbers/Veranstaltungen/MaDenken1313/Material/Kap2KonAbb.pdf
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/MatrizenGruppen.png b/buch/papers/clifford/Bilder/MatrizenGruppen.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..398de5a --- /dev/null +++ b/buch/papers/clifford/Bilder/MatrizenGruppen.png diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/RotSpieg.pdf b/buch/papers/clifford/Bilder/RotSpieg.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..c4c107d --- /dev/null +++ b/buch/papers/clifford/Bilder/RotSpieg.pdf diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/RotSpieg.png b/buch/papers/clifford/Bilder/RotSpieg.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..27a5eb2 --- /dev/null +++ b/buch/papers/clifford/Bilder/RotSpieg.png diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/test.png b/buch/papers/clifford/Bilder/test.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..1633a2e --- /dev/null +++ b/buch/papers/clifford/Bilder/test.png diff --git a/buch/papers/clifford/packages.tex b/buch/papers/clifford/packages.tex index 8fb4bd9..0d354db 100644 --- a/buch/papers/clifford/packages.tex +++ b/buch/papers/clifford/packages.tex @@ -7,3 +7,5 @@ % if your paper needs special packages, add package commands as in the % following example %\usepackage{packagename} + +\usetikzlibrary{calc,angles,quotes,babel}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex b/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex new file mode 100644 index 0000000..83e0f94 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex @@ -0,0 +1,93 @@ +% +% anwendungen.tex -- Anwendungen des Reed-Solomon-Codes +% +% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil +% +\section{Anwendungen des Reed-Solomon-Codes + \label{reedsolomon:section:anwendung}} +\rhead{Anwendungen} +\textcolor{red}{Platzierung der Bilder? Quellenangabe der Bilder?} + +In den vorherigen Abschnitten haben wir betrachtet, wie Reed-Solomon-Codes in der Theorie Funktionieren. +In diesem Abschnitt werden wir einige Anwendungen vorstellen, bei denen ein Reed-Solomon-Code zum Einsatz kommt. +Obwohl alle diese Codes nach dem gleichen Prinzip arbeiten gibt es starke Unterschiede in deren Funktionsweise. +Dies kommt vor allem daher, da die Codes nur Ressourcen zur Verfügung haben, die von der Hardware bereitstellt wird, auf denen die Codes implementiert wurden. +Diese Codes bedienen sich daher verschiedener Tricks und Optimierungen um möglichst effizient zu arbeiten. +% +%Dies kommt vor allem daher, da diese Codes an ihre Hardware gebunden sind, auf denen sie implementiert worden sind. +%Deshalb wurden diese Codes stark optimiert damit sie möglichst Effizient arbeiten können. +% +%Um diese Hardware möglichst effizient zu nutzen wurden gewisse mathematische tricks angewendet um den Code möglichst effizient zu nutzen. +% +% um mit maximaler Effizienz zu arbeiten. +%Es überrascht daher nicht, dass vor allem ältere Codes im binären Körper $\mathbb{F}_{2}$ arbeiten. +% +% um den Code mit maximaler Effizienz zu nutzen. +% +%Alle diese Anwendungen verfügen über eigene spezifizierten Eigenschaften. +% +%, wobei bei allen dieser Anwendungen jeweils eine unterschiedliche Version des Codes implementiert wurden. +% +%Dies kommt vor allem daher, da diese Codes immer an ihre dementsprechende Hardware gebunden sind, auf denen sie implementiert wurden um den Code mit maximaler Effizienz zu nutzen. +% +% eigene Version des Codes implementiert haben. +% +%Bei einer Technischen Umsetzung eines solchen Codes werden wir auf eine reihe neuer Probleme stossen wie Ressourceneffizienz, Laufzeitoptimierung, usw. +% +%Hinzu kommt, dass für verschiedene Anwendungen verschiedene Versionen des Reed-Solomon-Codes zur Anwendung kommen. +% +%Nachfolgend werden wir ein paar dieser Anwendungen Vorstellen, da sich herausstellt, dass Reed-Solomon-Code sehr +% +%Als letzte Frage stellt sich jetzt nur noch, wo diese Codes eingesetzt werden. +% +%Bisher haben wir +% +%In den letzten abschnitten haben wir uns ausführlich die Funktionsweise des Reed-Solomon-Codes angeschaut. In diesem Abschnitt möchten wir dem Leser ein paar bekannte beispiele vorstellen, in denen Reed-Solomon-Codes zum einsatz kommen. Es sei jedoch angemerkt, dass diese Anwendungen in der Umsetzung oft ein wenig anderst funktionieren als hier vorgestellt. Dies wurde vor allem wegen technischen optimierungen realisiert. (technische tricks und finessen), von der logik jedoch sehr stark an unserem Beispiel orientieren + +\subsection{Raumfahrt} +Obwohl Reed-Solomon-Codes bereits in den 1960er entwickelt wurden fanden sie erstmals Anwendung in der Voyager Raumsonde der NASA. Die Daten der zwei im Jahre 1977 gestarteten Sonden werden mit einem RS(255,233)-Code \textcolor{red}{benötigt das weitere erklärungen, wie z.b. 255: grösse nachrichtenblock, 233: anzahl der nutzbaren daten ?} zusammen mit einem konventionellen Faltungscode übertragen. + +% +% Die zwei im Jahre 1977 gestarteten Sonden senden Daten mit der Hilfe eines RS(255,233)-Code für die digitalen Bilder sowie einem konventionellen Faltungscode. +% +% +%mit der Erde mit einem RS(255,233)-Code für die digitalen Bilder sowie einem konventionellen Faltungscode. + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/Voyager_Sonde} + \caption{Voyager Raumsonde} + \label{fig:voyager} +\end{figure} + +\subsection{CD/DVD} +Compact discs verwenden sogar zwei ineinander verschachtelte Reed-Solomon-Codes, einen (32,28)-Code und einen (28,24)-Code. +Beide Codes sind in der Lage, Fehler aus dem jeweils anderen gelesenen Block zu korrigieren. Dieses spezielle zusammenspielen dieser beiden Codes werden auch Cross-interleaved Reed-Solomon-Codes (CIRC) genannt. +Diese Vorgehensweise erzielt eine hohe Robustheit gegenüber Produktionsfehler oder Verschmutzung auf der Disc. Bei CD's sind diese in der Lage bis zu 4000 fehlerhafte Bits am Stück (ca. $2.5mm$) zu erkennen und zu korrigieren. + +Die Digital Video Disc funktioniert nach dem selben Konzept mit grösseren Codeblöcken. Die DVD verwendet einen (208,192)-Code und einen (182,172)-Code. + +%Beide lesen +% wobei beide Codes auch Fehler aus dem jeweiligen anderen Block korrigieren + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/Compact_Disc} + \caption{Compact Disc} + \label{fig:cd} +\end{figure} + +\subsection{QR-Codes} +Quick Response Codes funktionieren nach einem sehr ähnlichen Prinzip wie in unserem Beispiel, nur dass QR-Codes in einem $\mathbb{F}_{256}$ Körper arbeiten. Je nach grösse der Codierung ist der QR-Code im Endeffekt robuster gegen Beschädigungen. Bei Low Level Codes können 7\% der Daten Wiederhergestellt werden, beim High Level Code sind das sogar 30\%. + +\begin{figure} + \centering + \subfigure[]{ + \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/qrcode_h} + } + \subfigure[]{ + \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/qrcode_l} + } + \caption{(a) High Level Code, (b) Low Level Code} + \label{fig:qr} +\end{figure} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex b/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex index 0339d9c..8430ebd 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex @@ -1,17 +1,16 @@ % -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 +% codebsp.tex -- Codierung eines Beispiels % -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil % \section{Codierung eines Beispiels \label{reedsolomon:section:codebsp}} \rhead{Codierung eines Beispiels} -Um die Funktionsweise eines Reed-Solomon-Codes besser zu verstehen werden wir die einzelnen Probleme und ihre Lösungen anhand eines Beispiels betrachten. -Da wir in endlichen Körpern rechnen, werden wir zuerst solch einen Körper festlegen. Dabei müssen wir die \textcolor{red}{Definition 4.6 (verweis auf eine Definition im Buch ohne label)} berücksichtigen, die besagt, dass nur Primzahlen für endliche Körper in Frage kommen. +Um die Funktionsweise eines Reed-Solomon-Codes besser zu verstehen, werden wir die einzelnen Probleme und ihre Lösungen anhand eines Beispiels betrachten. +Da wir in endlichen Körpern rechnen, werden wir zuerst solch einen Körper festlegen. Dabei müssen wir die Definition \ref{buch:endlichekoerper:def:galois-koerper} berücksichtigen, die besagt, dass nur Primzahlen für endliche Körper in Frage kommen. Wir legen für unser Beispiel den endlichen Körper $\mathbb{F}_{q}$ mit $q = 11$ fest. -Zur Hilfestellung können dazu die beiden Tabellen \ref{reedsolomon:subsection:adtab} und -\ref{reedsolomon:subsection:mptab} hinzugezogen werden. Diese Tabellen enthalten die Resultate der arithmetischen Operationen im Körper $\mathbb{F}_{11}$, die durchgeführt werden können. +Zur Hilfestellung zum Rechnen in $\mathbb{F}_{11}$ können die beiden Tabellen \ref{reedsolomon:subsection:adtab} und \ref{reedsolomon:subsection:mptab} hinzugezogen werden. Diese Tabellen enthalten die Resultate der arithmetischen Operationen im Körper $\mathbb{F}_{11}$, die durchgeführt werden können. Aus der Definition der endlichen Körper (ersichtlich auch in den Tabellen) folgt, dass uns nur die Zahlen \[\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\] zur Verfügung stehen und somit $11 = 0$ gelten muss. % OLD TEXT @@ -78,15 +77,16 @@ dar. \label{reedsolomon:subsection:diskFT}} In einem vorherigen Abschnitt \textcolor{red}{(???)} haben wir schon einmal die diskrete Fouriertransformation zum Codieren einer Nachricht verwendet. In den endlichen Körpern wird dies jedoch nicht gelingen, da die Eulerische Zahl $e$ in endlichen Körpern nicht existiert. -Wir wählen deshalb eine Zahl $a$, die die gleichen Aufgaben haben soll wie $e^{\frac{j}{2 \pi}}$ in der diskreten Fouriertransformation, nur mit dem Unterschied, dass $a$ in $\mathbb{F}_{11}$ ist. Dazu soll die Potenz von $a$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken, um +Wir wählen deshalb eine Zahl $a$, die die gleichen Aufgaben haben soll wie $e^{\frac{j}{2 \pi}}$ in der diskreten Fouriertransformation, nur mit dem Unterschied, dass $a$ in $\mathbb{F}_{11}$ ist. Dazu soll die Potenz von $a$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken. +Dazu ändern wir die Darstellung von \[ \mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \] -in +in die von $a$ abhängige Schreibweise \[ \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9\}. \] -umzuschreiben. +%Jetzt brauchen wir nur noch eine geeignete Zahl für $a$ zu finden. % Old Text %Wir suchen also eine Zahl $a$, die in endlichen Körpern existiert und den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken kann. %Dazu schreiben wir @@ -116,7 +116,7 @@ umzuschreiben. \subsubsection{Die primitiven Einheitswurzeln \label{reedsolomon:subsection:primsqrt}} -Wenn wir jetzt sämtliche Zahlen von $\mathbb{F}_{11}$ in $a$ einsetzen +Wenn wir jetzt Zahlen von $\mathbb{F}_{11}$ an Stelle von $a$ einsetzen, erhalten wir \begin{center} \begin{tabular}{c c c c c c c} $a = 1$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\}$ & $\neq$ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\ @@ -128,7 +128,7 @@ $a = 6$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 6, 3, 7, 9, 1 $a = 7$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8\}$ & $ = $ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\ $a = 8$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 8, 9, 6, 4, 10, 3, 2, 5, 7\}$ & $ = $ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\ $a = 9$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 9, 4, 3, 5, 1, 9, 4, 3, 5\}$ & $\neq$ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\ -$a = 10$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10\}$ & $\neq$ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\ +$a = 10$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10\}$ & $\neq$ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$. \\ \end{tabular} \end{center} %\begin{center} @@ -146,13 +146,15 @@ $a = 10$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 10, 1, 10, 1 %$a = 10 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10\}$ %\end{tabular} %\end{center} -so fällt uns auf, dass für $a$ die Zahlen $2,6,7,8$ erhalten, die tatsächlich den gesamten Zahlenraum von $\mathbb{F}_{11}$ abbilden. Solche Zahlen werden \em primitive Einheitswurzel \em genannt. +Es fällt auf, dass wir für $a$ die Zahlen $2,6,7,8$ Mengen erhalten, die tatsächlich den gesamten Zahlenraum von $\mathbb{F}_{11}$ abbilden. Solche Zahlen werden \em primitive Einheitswurzel \em genannt. Wenden wir diese Vorgehensweise auch für andere endliche Körper an, so werden wir sehen, dass wir immer mindestens zwei solcher Einheitswurzel finden werden. Somit ist es uns überlassen, eine dieser Einheitswurzel auszuwählen, mit der wir weiter rechnen wollen. Für das Beispiel wählen wir die Zahl $a = 8$. \subsubsection{Bildung einer Transformationsmatrix \label{reedsolomon:subsection:transMat}} -Mit der Wahl einer Einheitswurzel ist es uns jetzt möglich, unsere Nachricht zu Codieren. Daraus sollen wir dann einen Übertragungsvektor $v$ erhalten, den wir an den Empfänger schicken können. Für die Codierung müssen wir alle $a^i$ in das Polynom $m(X)$ einsetzen. Da wir $a^i = 8^i$ gewählt haben, ergibt sich daraus +Mit der Wahl einer Einheitswurzel ist es uns jetzt möglich, unsere Nachricht zu Codieren. Daraus sollen wir dann einen Übertragungsvektor $v$ erhalten, den wir an den Empfänger schicken können. +Für die Codierung setzen wir alle Zahlen in $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ nacheinander in $m(X)$ ein. Da wir zuvor eine von $a$ abhängige Schreibweise gewählt haben setzen wir stattdessen $a^i$ ein mit $a = 8$ als die von uns gewählten primitiven Einheitswurzel. Daraus ergibt sich +%Für die Codierung müssen wir alle $a^i$ in das Polynom $m(X)$ einsetzen. Da wir $a^i = 8^i$ gewählt haben, ergibt sich daraus % %Damit wir unsere Nachricht codieren können, müssen wir $8^i$ in $m(X)$ einsetzen. % @@ -168,7 +170,7 @@ als unser Übertragungsvektor. \subsection{Allgemeine Codierung \label{reedsolomon:subsection:algCod}} -Um das Ganze noch ein wenig übersichtlicher zu gestalten können wir die Polynome zu einer Matrix zusammenfassen, die unsere Transformationsmatrix $A$ bildet. +Um das Ganze noch ein wenig übersichtlicher zu gestalten, können wir die Polynome zu einer Matrix zusammenfassen, die unsere Transformationsmatrix $A$ bildet. Für die allgemeine Codierung benötigen wir die Nachricht $m$, die codiert werden soll, sowie die Transformationsmatrix $A$. Daraus erhalten wir den Übertragungsvektor $v$. Setzen wir die Zahlen aus dem Beispiel ein erhalten wir folgende Darstellung: \[ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex b/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex index a46d7da..598cf68 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex @@ -1,7 +1,7 @@ % -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 +% decmitfehler.tex -- Decodierung mit Fehler % -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil % \section{Decodierung: Ansatz mit Fehlerkorrektur \label{reedsolomon:section:decmitfehler}} @@ -16,7 +16,7 @@ Der Übertragungskanal im Beispiel weisst jetzt den Fehlervektor u = [0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 0] \] auf. -Senden wir jetzt unser Übertragungsvektor $v$ durch diesen Kanal addiert sich der Fehlervektor $u$ auf unsere Übertragung und wir erhalten +Senden wir jetzt unser Übertragungsvektor $v$ durch diesen Kanal, addiert sich der Fehlervektor $u$ auf unsere Übertragung und wir erhalten \begin{center} \begin{tabular}{c | c r } @@ -127,7 +127,7 @@ Setzen wir jetzt unsere Einheitswurzel aus dem Beispiel ein so erhalten wir \end{tabular} \end{center} und damit die Information, dass allen Stellen, die nicht Null sind, Fehler enthalten. -Aus der Tabelle lesen wir, das in unserem Beispiel die Fehler an der Stelle drei und acht zu finden sind. +Aus der Tabelle lesen wir ab, das in unserem Beispiel die Fehler an der Stelle drei und acht zu finden sind. Für das einfache Bestimmen von Hand mag dies ja noch ausreichen, jedoch können wir mit diesen Stellen nicht das Lokatorpolynom bestimmen, denn dafür bräuchten wir alle Nullstellen, an denen es Fehler gegeben hat (also sozusagen genau das umgekehrte). Um dies zu erreichen wenden wir eine andere Herangehensweise und nehmen uns den Satz von Fermat sowie den kleinsten gemeinsamen Teiler zur Hilfe. @@ -140,7 +140,7 @@ f(X) = X^{q-1} -1 = 0 \] gilt für jedes $X$. Setzen wir das $q$ von unserem Beispiel ein \[ -f(X) = X^{10}-1 = 0 \qquad \text{für } X = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} +f(X) = X^{10}-1 = 0 \qquad \text{für } X \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \] und stellen dies als Faktorisierung dar. So ergibt sich die Darstellung \[ @@ -173,7 +173,7 @@ Das kgV hat nämlich die Eigenschaft sämtliche Nullstellen zu finden, also nich ersichtlich ist. Aus dem vorherigen Abschnitt wissen wir auch, dass $d(X)$ alle korrekten Nullstellen beinhaltet. Teilen wir das kgV jetzt auf in \[ -\operatorname{kgV}(f(X),d(X)) = d(X) \cdot l(X) +\operatorname{kgV}(f(X),d(X)) = d(X) \cdot l(X), \] sollten wir für $l(X)$ eine Liste mit allen fehlerhaften Nullstellen erhalten. Somit ist @@ -192,14 +192,16 @@ In Abschnitt \ref{reedsolomon:section:decmitfehler} haben wir d(X) = r(X) - m(X) \] in Abhängigkeit von $m(X)$ berechnet. -Jedoch haben wir ausser acht gelassen, dass $m(X)$ auf der Empfängerseite nicht existiert und somit gänzlich unbekannt ist. +Jedoch haben wir ausser acht gelassen, dass $m(X)$ auf der Empfängerseite nicht verfügbar und somit gänzlich unbekannt ist. Es scheint so als würde dieser Lösungsansatz, den wir bisher verfolgt haben, nicht funktioniert. -Wir könnten uns höchstens noch fragen, ob wir tatsächlich nichts über den Nachrichtenvektor im Beispiel wissen. Wenn wir noch einmal den Vektor betrachten als +Wir könnten uns höchstens noch fragen, ob wir tatsächlich nichts über den Nachrichtenvektor im Beispiel wissen. + +Wenn wir noch einmal den Vektor betrachten als \[ m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1] \] -fällt uns aber auf, dass wir doch etwas über diesen Vektor wissen, nämlich den Wert der ersten $2t$ (im Beispiel vier) stellen. -Im Normalfall sollen diese nämlich den Wert null betragen und somit sind nur die letzten $k$ stellen (im Beispiel sechs) für uns unbekannt, dargestellt als +fällt uns aber auf, dass wir doch etwas über diesen Vektor wissen, nämlich den Wert der ersten $2t$ (im Beispiel vier) Stellen. +Im Normalfall sollen diese nämlich den Wert $0$ haben und somit sind nur die letzten $k$ Stellen (im Beispiel sechs) für uns unbekannt, dargestellt als \[ m = [0,0,0,0,?,?,?,?,?,?]. \] diff --git a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex index 0470db0..50bd8d6 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex @@ -1,7 +1,7 @@ % -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 +% decohnefehler.tex -- Decodierung ohne Fehler % -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil % \section{Decodierung: Ansatz ohne Fehler \label{reedsolomon:section:decohnefehler}} @@ -33,11 +33,12 @@ Definiert ist sie als \[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j\omega t} dt \qquad \Rightarrow \qquad \mathfrak{F}^{-1}(F(\omega)) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega. \] -Damit beschäftigen wir uns im Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:sfaktor} weiter, konkret suchen wir momentan aber eine Inverse für unsere primitive Einheitswurzel $a$. +Im wesentlichen ändert sich bei der inversen diskreten Fouriertransformation $e^{j/2\pi}$ zu $e^{-j/2\pi}$. Zusätzlich benötigt die inverse noch einen Korrekturfaktor $1/n$. Wir erwarten daher, dass wir auch im endlichen Körper $A$ die Zahl $a$ durch $a^{-1}$ ersetzen können. Mit der primitiven Einheitswurzel ergibt das +%Damit beschäftigen wir uns im Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:sfaktor} weiter, konkret suchen wir momentan aber eine Inverse für unsere primitive Einheitswurzel $a$. \[ -8^1 \qquad \rightarrow \qquad 8^{-1} +8^1 \qquad \rightarrow \qquad 8^{-1}. \] -Mit einem solchen Problem haben wir uns bereits in Abschnitt \ref{buch:section:euklid} befasst und so den euklidischen Algorithmus kennengelernt, den wir auf unseren Fall anwenden können. +Mit einem solchen Problem haben wir uns bereits in Abschnitt \ref{buch:section:euklid} befasst und so den euklidischen Algorithmus kennengelernt, den wir auf diesen Fall anwenden können. % Old Text %Im Abschnitt \textcolor{red}{4.1} haben wir den euklidischen Algorithmus kennengelernt, den wir auf unseren Fall anwenden können. @@ -76,7 +77,9 @@ Daraus erhalten wir \end{tabular} \end{center} -als Inverse der primitiven Einheitswurzel. Die inverse Transformationsmatrix $A^{-1}$ bilden wir, indem wir jetzt die inverse primitive Einheitswurzel anstelle der primitiven Einheitswurzel in die Matrix einsetzen: +als Inverse der primitiven Einheitswurzel. +Alternativ können wir das Resultat auch aus der Tabelle \ref{reedsolomon:subsection:mptab} ablesen. +Die inverse Transformationsmatrix $A^{-1}$ bilden wir, indem wir jetzt die inverse primitive Einheitswurzel anstelle der primitiven Einheitswurzel in die Matrix einsetzen: \[ \begin{pmatrix} 8^0 & 8^0 & 8^0 & 8^0 & \dots & 8^0 \\ @@ -102,9 +105,9 @@ als Inverse der primitiven Einheitswurzel. Die inverse Transformationsmatrix $A^ \subsection{Der Faktor $s$ \label{reedsolomon:subsection:sfaktor}} Die diskrete Fouriertransformation benötigt für die Inverse einen Vorfaktor von $\frac{1}{2\pi}$. -Primitiv nehmen wir an, dass wir für die Inverse Transformationsmatrix ebenfalls einen benötigen. +Wir müssen also damit rechnen, dass wir für die Inverse Transformationsmatrix ebenfalls einen solchen Vorfaktor benötigen. Nur stellt sich jetzt die Frage, wie wir diesen Vorfaktor in unserem Fall ermitteln können. -Dafür betrachten wir eine Regel aus der Linearen Algebra, nämlich dass +Dafür betrachten wir eine Regel aus der linearen Algebra, nämlich dass \[ A \cdot A^{-1} = E @@ -148,7 +151,7 @@ Aus der letzten Matrix folgt, dass wir \[ s = \dfrac{1}{10} \] -als unseren Vorfaktor setzen müssen um die Gleichung \ref{reedsolomon:equation:sfaktor} zu erfüllen. Da wir in $\mathbb{F}_{11}$ nur mit ganzen Zahlen arbeiten schreiben wir $\frac{1}{10}$ in $10^{-1}$ um und bestimmen diese Inverse erneut mit dem euklidischen Algorithmus und erhalten für $10^{-1} = 10$ als unseren Vorfaktor in $\mathbb{F}_{11}$. +als unseren Vorfaktor setzen müssen um, die Gleichung \ref{reedsolomon:equation:sfaktor} zu erfüllen. Da wir in $\mathbb{F}_{11}$ nur mit ganzen Zahlen arbeiten, schreiben wir $\frac{1}{10}$ in $10^{-1}$ um und bestimmen diese Inverse erneut mit dem euklidischen Algorithmus. So erhalten wir $10^{-1} = 10$ als Vorfaktor in $\mathbb{F}_{11}$. % %erfüllt wird. Wir schreiben den Bruch um in $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ und wenden darauf erneut den euklidischen Algorithmus an und erhalten somit den Vorfaktor $10^{-1} = 10 = s$ in $\mathbb{F}_{11}$. % diff --git a/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex index 19e5dd4..1d196fd 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex @@ -1,7 +1,7 @@ % -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper +% endlichekoerper.tex -- endliche Körper % -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil % \section{Reed-Solomon in Endlichen Körpern \label{reedsolomon:section:endlichekoerper}} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex b/buch/papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex index b006f21..24fabdf 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex @@ -1,8 +1,7 @@ % -% hilfstabellen.tex -% Autor: Michael Steiner +% hilfstabellen.tex -- Hilfstabellen % -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil % \section{Hilfstabellen für $\mathbb{F}_{11}$ \label{reedsolomon:section:hilfstabellen}} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/Compact_Disc.png b/buch/papers/reedsolomon/images/Compact_Disc.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..7e3f870 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/images/Compact_Disc.png diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/Voyager_Sonde.png b/buch/papers/reedsolomon/images/Voyager_Sonde.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..e4dc400 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/images/Voyager_Sonde.png diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/qrcode_h.png b/buch/papers/reedsolomon/images/qrcode_h.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4dc5779 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/images/qrcode_h.png diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/qrcode_l.png b/buch/papers/reedsolomon/images/qrcode_l.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..69f807f --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/images/qrcode_l.png diff --git a/buch/papers/reedsolomon/main.tex b/buch/papers/reedsolomon/main.tex index ec8fa22..6bd04f2 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/main.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/main.tex @@ -40,7 +40,7 @@ Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren \input{papers/reedsolomon/decmitfehler} \input{papers/reedsolomon/rekonstruktion} \input{papers/reedsolomon/zusammenfassung} -%\input{papers/reedsolomon/anwendungen} -> geplant +\input{papers/reedsolomon/anwendungen} \input{papers/reedsolomon/hilfstabellen} \nocite{reedsolomon:weitz} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex index 04e748c..b099e68 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex @@ -1,10 +1,9 @@ % -% rekonstruktion.tex -% Autor: Michael Steiner +% rekonstruktion.tex -- Rekonstruktion % -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil % -\section{Nachricht Rekonstruieren +\section{Nachricht rekonstruieren \label{reedsolomon:section:rekonstruktion}} \rhead{Rekonstruktion der Nachricht} Im letzten Abschnitt haben wir eine Möglichkeit gefunden, wie wir die fehlerhaften Stellen lokalisieren können. @@ -49,7 +48,7 @@ Wir stellen also die Matrix auf und markieren gleichzeitig die Fehlerstellen: \end{pmatrix} . \] -Die rot markierten Stellen im Übertragungsvektor enthalten Fehler und bringt uns daher keinen weiterer Nutzen. +Die rot markierten Stellen im Übertragungsvektor enthalten Fehler und bringt uns daher keinen weiteren Nutzen. Aus diesem Grund werden diese Stellen aus dem Vektor entfernt, was wir hier ohne Probleme machen können, da dieser Code ja über Fehlerkorrekturstellen verfügt, deren Aufgabe es ist, eine bestimmte Anzahl an Fehler kompensieren zu können. Die dazugehörigen Zeilen in der Matrix werden ebenfalls entfernt, da die Matrix gleich viele Zeilen wie im Übertragungsvektor aufweisen muss, damit man ihn decodieren kann. @@ -78,6 +77,7 @@ Daraus resultiert Die Matrix ist jedoch nicht mehr quadratisch, was eine Rekonstruktion durch Inversion ausschliesst. Um die quadratische Form wieder herzustellen müssen wir zwei Spalten aus der Matrix entfernen. Wir kennen aber das Resultat aus den letzten vier Spalten, da wir wissen, das die Nachricht aus Nutzdatenteil und Fehlerkorrekturteil besteht, wobei der letzteres bekanntlich aus lauter Nullstellen besteht. +Wir nehmen die markierten Spalten in \[ \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\ @@ -98,7 +98,7 @@ Wir kennen aber das Resultat aus den letzten vier Spalten, da wir wissen, das di m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ \textcolor{darkgreen}{m_6} \\ \textcolor{darkgreen}{m_7} \\ \textcolor{darkgreen}{m_8} \\ \textcolor{darkgreen}{m_9} \\ \end{pmatrix} \] -Wir nehmen die entsprechenden Spalten aus der Matrix heraus und erhalten so das Überbestimmte Gleichungssystem +aus der Matrix heraus und erhalten so das Überbestimmte Gleichungssystem \[ \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ \textcolor{red}{7} \\ \textcolor{red}{4} \\ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/restetabelle1.tex b/buch/papers/reedsolomon/restetabelle1.tex index 3969ef2..b9a0e59 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/restetabelle1.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/restetabelle1.tex @@ -1,6 +1,8 @@ -% created by Michael Steiner % -% Restetabelle von F_11: Addition +% restetabelle1.tex -- Restetabelle von F_11: Addition +% +% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil +% % alternatives design %\begin{figure} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/restetabelle2.tex b/buch/papers/reedsolomon/restetabelle2.tex index 1a9815c..3b13ea2 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/restetabelle2.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/restetabelle2.tex @@ -1,6 +1,8 @@ -% created by Michael Steiner % -% Restetabelle von F_11: Multiplikation +% restetabelle2.tex -- Restetabelle von F_11: Multiplikation +% +% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil +% % alternatives design %\begin{figure} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/zusammenfassung.tex b/buch/papers/reedsolomon/zusammenfassung.tex index 3624f16..c24fcf3 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/zusammenfassung.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/zusammenfassung.tex @@ -1,15 +1,66 @@ +% +% zusammenfassung.tex -- Zusammenfassung +% +% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil +% \section{Zusammenfassung \label{reedsolomon:section:zf}} \rhead{Zusammenfassung} Dieser Abschnitt beinhaltet eine Übersicht über die Funktionsweise eines Reed-Solomon-Codes für beliebige endliche Körper. -TODO: - \subsubsection{Schritt 1: primitives Element} +Zu Beginn soll entschieden werden, in welchem endlichen Körper $\mathbb{F}_{q}$ gerechnet werden soll. +Ausserdem muss im gewählten Körper eine primitive Einheitswurzel gefunden, bzw. bestimmt werden. \subsubsection{Schritt 2: Codierung} +Für die Codierung wird die Nachricht als Koeffizienten des Polynoms $m(X)$ geschrieben, anschliessend wird $a^i$ in $m(X)$ eingesetzt. +Daraus ergibt sich die Codierungsmatrix +\[ +A(a) = +\begin{pmatrix} +a^0 & a^0 & a^0 & \dots \\ +a^0 & a^1 & a^2 & \dots \\ +a^0 & a^2 & a^4 & \dots \\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots +\end{pmatrix} +. +\] +Mit dieser Matrix können wir den Nachrichtenblock zum Übertragungsvektor codieren. \subsubsection{Schritt 3: Decodierung ohne Fehler} +Im ersten Schritt zur Decodierung muss geprüft werden, ob der Übertragungsvektor Fehler beinhaltet. +Ist dies nicht der Fall, so kann die Matrix $A(a)$ invertiert werden mit +\[ +A(a)^{-1} = \frac{1}{q-1} \cdot A(a^{-1}). +\] +Die Codierungsmatrix ändert sich somit zur Decodierungsmatrix +\[ +\begin{pmatrix} + a^0 & a^0 & a^0 & \dots \\ + a^0 & a^1 & a^2 & \dots \\ + a^0 & a^2 & a^4 & \dots \\ + \vdots&\vdots&\vdots &\ddots +\end{pmatrix} += +\frac{1}{q-1} +\cdot +\begin{pmatrix} + a^0 & a^0 & a^0 & \dots \\ + a^0 & a^{-1} & a^{-2} & \dots \\ + a^0 & a^{-2} & a^{-4} & \dots \\ + \vdots&\vdots&\vdots&\ddots +\end{pmatrix} +. +\] +Daraus lässt sich der Nachrichtenblock aus dem Übertragungsvektor rekonstruieren. \subsubsection{Schritt 4: Decodierung mit Fehler} - +Sollte der Übertragungsvektor fehlerhaft empfangen werden, so kann der Nachrichtenblock nicht durch invertieren der Matrix rekonstruiert werden. +Zur Lokalisierung der Fehlerstellen nehmen wir das Polynom $f(X)$ zur Hilfe, welches wir über den Satz von Fermat bestimmt haben. +Berechnen wir daraus das $\operatorname{kgV}$ von $f(X)$ und $d(X)$, so erhalten wir ein Lokatorpolynom. +Durch das bestimmen der Exponenten erhalten wir die Fehlerhaften Stellen im Übertragungsvektor. +Für die Rekonstruktion stellen wir ein Gleichungssystem auf und entfernen daraus die Fehlerhaften Zeilen. +Im Anschluss kann das verkleinerte Gleichungssystem gelöst werden. +Als Resultat erhalten wir die fehlerfreie Nachricht. +%Aus diesem Grund suchen wir nach einem Lokatorpolynom, welches uns die Fehlerhaften Stellen im Übertragungsvektor anzeigt. +%Dazu nehmen wir das Polynom $f(X)$, welches wir durch den Satz von Fermat erhalten, und berechnen so das $\operatorname{kgV}(f(X),d(X))$ und kommen so auf das Lokatorpolynom $l(X)$. Durch das bestimmen von den Exponenten erhalten wir die Fehlerstellen, welche wir aus dem Gleichungssystem entfernen müssen. Übrig bleibt das berechnen dieses Gleichungssystems. |
