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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/jnorm.maxima b/buch/chapters/40-eigenwerte/jnorm.maxima new file mode 100644 index 0000000..d4c349b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/jnorm.maxima @@ -0,0 +1,6 @@ +J: matrix([a+b*%i, 1], [0, a+b*%i]); +v: matrix([cos(t)],[sin(t)]); +w: J.v; +n: expand(transpose(conjugate(w)).w); +d: expand(diff(n,t)); + diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex index cbbe3ad..1cdaf35 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex @@ -439,9 +439,99 @@ Faktor $\frac23$ kleiner geworden ist. \end{beispiel} \begin{beispiel} -Wir berechnen die Norm eines Jordan-Blocks. - -XXX TODO +Wir berechnen die Norm eines $2\times2$-Jordan-Blocks. +Ein $2$-dimensionaler Einheitsvektor kann als +\[ +v\colon +t\mapsto v(t)= +\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix} +\] +parametrisiert werden. +Für die Zahl $\lambda=a+bi$ bildet der +Jordanblock $J_2(\lambda)$ den Vektor $v(t)$ auf den Vektor +\[ +J_2(\lambda)v(t) += +\begin{pmatrix} +\lambda&1\\ +0&\lambda +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +\lambda\cos t + \sin t\\ +\lambda\sin t +\end{pmatrix} +\] +ab +mit der Länge +\begin{align*} +|J_2(\lambda)v(t)|^2 +&= +|\lambda\cos t + \sin t|^2 + |\lambda\sin t|^2 += +(\Re\lambda \cos t + \sin t)^2 ++ +(\Im\lambda \cos t)^2 ++ +|\lambda|^2 \sin^2t +\\ +&= +a^2\cos^2 t ++ +2a\cos t\sin t + \sin^2 t + b^2\cos^2t + (a^2+b^2) \sin^2 t +\\ +&= +(a^2+b^2)(\cos^2t + \sin^2t) + \sin^2t + 2a\cos t\sin t += +|\lambda|^2+2a\cos t\sin t + \sin^2 t +\\ +&= +|\lambda|^2 + a\sin 2t + \frac12(1-\cos 2t). +\end{align*} +Um den maximalen Wert zu finden, leiten wir nach $t$ ab und finden +\begin{align*} +\frac{d}{dt} +|J_2(\lambda)v(t)|^2 +&= +2a\cos 2t ++ +\sin 2t += +0. +\end{align*} +Dividieren wir durch $\cos t$, ergibt sich die Gleichung +\[ +\tan 2t = -2a +\quad\Rightarrow\quad +2t += +\arctan(-2a) +\quad\Rightarrow\quad +\left\{ +\renewcommand{\arraystretch}{2.1} +\setlength\arraycolsep{1pt} +\begin{array}{ccc} +\cos 2t &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+4a^2}}\phantom{.}\\ +\sin 2t &=& \displaystyle\frac{-2a}{\sqrt{1+4a^2}}. +\end{array} +\right. +\] +Setzt man dies in die ursprüngliche Formel für die Länge des +Bildvektors ein, erhält man +\begin{align*} +\|J_2\|^2 += +|J_2(\lambda)v(t)|^2 +&= +|\lambda|^2 + \frac{-2a}{\sqrt{1+4a^2}} + \frac12\biggl(1-\frac{1}{\sqrt{1+4a^2}}\biggr) +\\ +&= +|\lambda|^2 ++ \frac12 +-\frac{1+4a}{2\sqrt{1+4a^2}}. +\end{align*} +Für $a\to\infty$ wächst dies asymptotisch wie $a^2-1$. \end{beispiel} % |