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index 37ada17..f2af987 100644
--- a/vorlesungen/punktgruppen/slides.pdf
+++ b/vorlesungen/punktgruppen/slides.pdf
Binary files differ
diff --git a/vorlesungen/punktgruppen/slides.tex b/vorlesungen/punktgruppen/slides.tex
index cc62969..8edaff6 100644
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+++ b/vorlesungen/punktgruppen/slides.tex
@@ -135,6 +135,57 @@
\section{Algebraische Symmetrien}
%% Made in video
+\frame{
+ \begin{columns}[T]
+ \begin{column}{.5\textwidth}
+ Produkt mit \(i\)
+ \begin{align*}
+ 1 \cdot i &= i \\
+ i \cdot i &= -1 \\
+ -1 \cdot i &= -i \\
+ -i \cdot i &= 1
+ \end{align*}
+ \pause
+ %
+ Gruppe
+ \begin{align*}
+ G &= \left\{
+ 1, i, -1, -i
+ \right\} \\
+ &= \left\{
+ 1, i, i^2, i^3
+ \right\} \\
+ C_4 &= \left\{
+ \mathbb{1}, r, r^2, r^3
+ \right\}
+ \end{align*}
+ \pause
+ \end{column}
+ \begin{column}{.5\textwidth}
+ Darstellung \(\phi : C_4 \to G\)
+ \begin{align*}
+ \phi(\mathbb{1}) &= 1 & \phi(r^2) &= i^2 \\
+ \phi(r) &= i & \phi(r^3) &= i^3
+ \end{align*}
+ \pause
+ %
+ Homomorphismus
+ \begin{align*}
+ \phi(r \circ \mathbb{1}) &= \phi(r) \cdot \phi(\mathbb{1}) \\
+ &= i \cdot 1
+ \end{align*}
+ \pause
+ %
+ \(\phi\) ist bijektiv \(\implies C_4 \cong G\)
+ \pause
+ %
+ \begin{align*}
+ \psi : C_4 &\to (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +) \\
+ \psi(\mathbb{1}\circ r^2) &= 0 + 2 \pmod{4}
+ \end{align*}
+ \end{column}
+ \end{columns}
+}
\section{3D Symmetrien}
%% Made in video