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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex index 9848469..7628942 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex @@ -182,7 +182,7 @@ begegnet, wo wir nur gezeigt haben, dass $AA^{-1}=E$ ist. Da aber die invertierbaren Matrizen eine Gruppe bilden, folgt jetzt aus dem Satz automatisch, dass auch $A^{-1}A=E$. -\subsubsection{Homomorphismen} +\subsubsection{Homomorphismen} \label{buch:gruppen:subsection:homomorphismen} Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen zeichnen sich dadurch aus, dass sie die algebraische Struktur des Vektorraumes respektieren. Für eine Abbildung zwischen Gruppen heisst dies, dass die Verknüpfung, diff --git a/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc b/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc index c7a7d64..b6a76c1 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc +++ b/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc @@ -9,5 +9,6 @@ dependencies-punktgruppen = \ papers/punktgruppen/intro.tex \ papers/punktgruppen/symmetry.tex \ papers/punktgruppen/crystals.tex \ + papers/punktgruppen/piezo.tex \ papers/punktgruppen/references.bib diff --git a/buch/papers/punktgruppen/main.tex b/buch/papers/punktgruppen/main.tex index cbd2af6..d88e221 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/main.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/main.tex @@ -11,7 +11,11 @@ \input{papers/punktgruppen/intro} \input{papers/punktgruppen/symmetry} \input{papers/punktgruppen/crystals} +\input{papers/punktgruppen/piezo} \nocite{punktgruppen:pinter-algebra} +\nocite{punktgruppen:sands-crystal} +\nocite{punktgruppen:lang-elt2} + \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex new file mode 100644 index 0000000..7ee4174 --- /dev/null +++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex @@ -0,0 +1 @@ +\section{Piezoelektrizit\"at} diff --git a/buch/papers/punktgruppen/references.bib b/buch/papers/punktgruppen/references.bib index 0d4e30a..9edb8bd 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/references.bib +++ b/buch/papers/punktgruppen/references.bib @@ -11,37 +11,25 @@ year = {2010}, month = {1}, day = {10}, - isbn = {978-0486474175}, + isbn = {978-0-486-47417-5}, inseries = {Dover Books on Mathematics}, - volume = {1} } +@book{punktgruppen:sands-crystal, + title = {Introduction to Crystallography}, + author = {Donald E. Sands}, + publisher = {Dover Publications Inc.}, + year = {1993}, + isbn = {978-0-486-67839-9}, + inseries = {Dover Books on Science}, +} -@online{punktgruppen:bibtex, - title = {BibTeX}, - url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX}, - date = {2020-02-06}, +@book{punktgruppen:lang-elt2, + title = {Elektrotechnik 2}, + author = {Hans-Dieter Lang}, + publisher = {Fachhochschule Ostschweiz Rapperswil}, year = {2020}, month = {2}, - day = {6} -} - -@book{punktgruppen:numerical-analysis, - title = {Numerical Analysis}, - author = {David Kincaid and Ward Cheney}, - publisher = {American Mathematical Society}, - year = {2002}, - isbn = {978-8-8218-4788-6}, - inseries = {Pure and applied undegraduate texts}, - volume = {2} + inseries = {Vorlesungsskript zum Modul ELT}, } -@article{punktgruppen:mendezmueller, - author = { Tabea Méndez and Andreas Müller }, - title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration }, - journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.}, - year = 2019, - volume = 47, - pages = {607--627}, - url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} -} diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex index 4b179b0..db05ff5 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex @@ -2,8 +2,8 @@ Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem ursprünglichen griechischen Wort \(\mathrm{\sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\) -\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ``ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig, -verhältnismässig''} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein +\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig, +verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr präzise Bedeutung. \begin{definition}[Symmetrie] @@ -85,7 +85,7 @@ nun eingeführt wird. \begin{definition}[Symmetriegruppe] Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt. - Bei einer anderen Operation \(r\) definieren wir die Komposition \(r\circ g\) + Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die Komposition \(h\circ g\) als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird. \end{definition} @@ -109,7 +109,7 @@ der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle = \left\{ \mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1} - \right\}. + \right\}. \] Diesmal muss die Generator-Notation die Beziehungen zwischen den beiden Operationen beinhalten. Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die @@ -121,10 +121,12 @@ Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut? Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein. \begin{definition}[Darstellung einer Gruppe, Gruppenhomomorphismus] Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\) - bzw. \(\star\). Ein Homomorphismus ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass - für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\). Man - sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass - \(H\) eine Darstellung von \(G\) ist. + bzw. \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere + Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist + eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt + \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\). Man sagt, dass der Homomorphismus + \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass \(H\) eine Darstellung von + \(G\) ist. \end{definition} \begin{beispiel} Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine @@ -137,8 +139,8 @@ Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein. \] definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von \(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und - die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann zwar überprüfen, dass - \(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\). + die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2 + \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\). \end{beispiel} \begin{beispiel} Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen @@ -147,4 +149,34 @@ Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein. ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben. \end{beispiel} +Die Symmetrien, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens +einen Punkt unbesetzt gelassen. Im Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei +der Spiegelung die Achse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine +Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt +verschieben können. Ein aufmerksamer Leser wird bemerken, dass die +unveränderten Punkte zum Eigenraum\footnote{Zur Erinnerung \(E_\lambda = +\mathrm{null}(\Phi - \lambda I)\), \(\vec{v}\in E_\lambda \implies \Phi \vec{v} += \lambda\vec{v}\)} der Matrixdarstellung der Symmetrieoperation gehören. +Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man +Punktsymmetrie. +\begin{definition}[Punktgruppe] + Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens + einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine + Punktgruppe ist. +\end{definition} +Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren: +eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr +nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie. Von einem mathematischen +Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\) +hat, wenn es die Gleichung +\[ + U(x) = U(Q(x)) = U(x + a), +\] +für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche +Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine +zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\) +dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\). + +% \subsection{Sch\"onflies notation} + % vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de: |