aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
diff options
context:
space:
mode:
-rw-r--r--buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex2
-rw-r--r--buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc1
-rw-r--r--buch/papers/punktgruppen/main.tex4
-rw-r--r--buch/papers/punktgruppen/piezo.tex1
-rw-r--r--buch/papers/punktgruppen/references.bib40
-rw-r--r--buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex52
6 files changed, 63 insertions, 37 deletions
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
index 9848469..7628942 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
@@ -182,7 +182,7 @@ begegnet, wo wir nur gezeigt haben, dass $AA^{-1}=E$ ist.
Da aber die invertierbaren Matrizen eine Gruppe
bilden, folgt jetzt aus dem Satz automatisch, dass auch $A^{-1}A=E$.
-\subsubsection{Homomorphismen}
+\subsubsection{Homomorphismen} \label{buch:gruppen:subsection:homomorphismen}
Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen zeichnen sich dadurch aus,
dass sie die algebraische Struktur des Vektorraumes respektieren.
Für eine Abbildung zwischen Gruppen heisst dies, dass die Verknüpfung,
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc b/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
index c7a7d64..b6a76c1 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
@@ -9,5 +9,6 @@ dependencies-punktgruppen = \
papers/punktgruppen/intro.tex \
papers/punktgruppen/symmetry.tex \
papers/punktgruppen/crystals.tex \
+ papers/punktgruppen/piezo.tex \
papers/punktgruppen/references.bib
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/main.tex b/buch/papers/punktgruppen/main.tex
index cbd2af6..d88e221 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/main.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/main.tex
@@ -11,7 +11,11 @@
\input{papers/punktgruppen/intro}
\input{papers/punktgruppen/symmetry}
\input{papers/punktgruppen/crystals}
+\input{papers/punktgruppen/piezo}
\nocite{punktgruppen:pinter-algebra}
+\nocite{punktgruppen:sands-crystal}
+\nocite{punktgruppen:lang-elt2}
+
\printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
new file mode 100644
index 0000000..7ee4174
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
@@ -0,0 +1 @@
+\section{Piezoelektrizit\"at}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/references.bib b/buch/papers/punktgruppen/references.bib
index 0d4e30a..9edb8bd 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/references.bib
+++ b/buch/papers/punktgruppen/references.bib
@@ -11,37 +11,25 @@
year = {2010},
month = {1},
day = {10},
- isbn = {978-0486474175},
+ isbn = {978-0-486-47417-5},
inseries = {Dover Books on Mathematics},
- volume = {1}
}
+@book{punktgruppen:sands-crystal,
+ title = {Introduction to Crystallography},
+ author = {Donald E. Sands},
+ publisher = {Dover Publications Inc.},
+ year = {1993},
+ isbn = {978-0-486-67839-9},
+ inseries = {Dover Books on Science},
+}
-@online{punktgruppen:bibtex,
- title = {BibTeX},
- url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
- date = {2020-02-06},
+@book{punktgruppen:lang-elt2,
+ title = {Elektrotechnik 2},
+ author = {Hans-Dieter Lang},
+ publisher = {Fachhochschule Ostschweiz Rapperswil},
year = {2020},
month = {2},
- day = {6}
-}
-
-@book{punktgruppen:numerical-analysis,
- title = {Numerical Analysis},
- author = {David Kincaid and Ward Cheney},
- publisher = {American Mathematical Society},
- year = {2002},
- isbn = {978-8-8218-4788-6},
- inseries = {Pure and applied undegraduate texts},
- volume = {2}
+ inseries = {Vorlesungsskript zum Modul ELT},
}
-@article{punktgruppen:mendezmueller,
- author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
- title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
- journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
- year = 2019,
- volume = 47,
- pages = {607--627},
- url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
-}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 4b179b0..db05ff5 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -2,8 +2,8 @@
Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
ursprünglichen griechischen Wort
\(\mathrm{\sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
-\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ``ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
-verhältnismässig''} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
+\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
+verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
präzise Bedeutung.
\begin{definition}[Symmetrie]
@@ -85,7 +85,7 @@ nun eingeführt wird.
\begin{definition}[Symmetriegruppe]
Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
- Bei einer anderen Operation \(r\) definieren wir die Komposition \(r\circ g\)
+ Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die Komposition \(h\circ g\)
als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter
Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
\end{definition}
@@ -109,7 +109,7 @@ der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle
= \left\{
\mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
- \right\}.
+ \right\}.
\]
Diesmal muss die Generator-Notation die Beziehungen zwischen den beiden
Operationen beinhalten. Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die
@@ -121,10 +121,12 @@ Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?
Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
\begin{definition}[Darstellung einer Gruppe, Gruppenhomomorphismus]
Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
- bzw. \(\star\). Ein Homomorphismus ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass
- für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\). Man
- sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass
- \(H\) eine Darstellung von \(G\) ist.
+ bzw. \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
+ Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist
+ eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt
+ \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\). Man sagt, dass der Homomorphismus
+ \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass \(H\) eine Darstellung von
+ \(G\) ist.
\end{definition}
\begin{beispiel}
Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
@@ -137,8 +139,8 @@ Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
\]
definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von
\(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und
- die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann zwar überprüfen, dass
- \(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
+ die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2
+ \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
\end{beispiel}
\begin{beispiel}
Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
@@ -147,4 +149,34 @@ Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
\end{beispiel}
+Die Symmetrien, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens
+einen Punkt unbesetzt gelassen. Im Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei
+der Spiegelung die Achse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine
+Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt
+verschieben können. Ein aufmerksamer Leser wird bemerken, dass die
+unveränderten Punkte zum Eigenraum\footnote{Zur Erinnerung \(E_\lambda =
+\mathrm{null}(\Phi - \lambda I)\), \(\vec{v}\in E_\lambda \implies \Phi \vec{v}
+= \lambda\vec{v}\)} der Matrixdarstellung der Symmetrieoperation gehören.
+Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
+Punktsymmetrie.
+\begin{definition}[Punktgruppe]
+ Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens
+ einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine
+ Punktgruppe ist.
+\end{definition}
+Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
+eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
+nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie. Von einem mathematischen
+Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\)
+hat, wenn es die Gleichung
+\[
+ U(x) = U(Q(x)) = U(x + a),
+\]
+für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
+Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
+zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
+dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).
+
+% \subsection{Sch\"onflies notation}
+
% vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de: