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@@ -3,7 +3,7 @@
#
# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
#
-all: phasenraum.pdf kartenkreis.pdf karten.pdf
+all: phasenraum.pdf kartenkreis.pdf karten.pdf sl2.pdf
phasenraum.pdf: phasenraum.tex
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@@ -17,3 +17,6 @@ torus.png: torus.pov
karten.pdf: karten.tex torus.png
pdflatex karten.tex
+sl2.pdf: sl2.tex
+ pdflatex sl2.tex
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.pdf b/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.pdf
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+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex
index 8f2d9d5..4f19937 100644
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+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex
@@ -62,12 +62,13 @@
\node at (1.6,-1.6) {$\varphi_{14}$};
\node at (-1.24,1.32)
- [left] {$\varphi_2\circ\varphi_4^{-1}(x)=\sqrt{1-x^2}$};
-\node at (-1.6,-1.6) {$\varphi_{42}$};
+ [left] {$\varphi_2\circ\varphi_3^{-1}(x)=\sqrt{1-x^2}$};
+\node at (-1.6,1.6) {$\varphi_{23}$};
\node at (-1.18,-1.28)
[left] {$\varphi_4\circ\varphi_2^{-1}(y)=-\sqrt{1-y^2}$};
-\node at (-1.6,1.6) {$\varphi_{23}$};
+\node at (-1.6,-1.6) {$\varphi_{42}$};
+
\foreach \y in {0.1,0.3,...,0.9}{
\draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
@@ -90,7 +91,9 @@
({-\x},{-sqrt(1-\x*\x)}) -- ({-\x},-1.5);
}
-\draw[color=gray!20,line width=3pt] (0,0) circle[radius=1];
+%\draw[color=gray!50,line width=3pt] (0,0) circle[radius=1];
+\draw[color=yellow!30,line width=3pt] (0,0) circle[radius=1];
+\node[color=yellow] at ({1/sqrt(2)},{1/sqrt(2)}) [above right] {$S^1$};
\def\r{1.02}
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index 0000000..ffc0759
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex
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index 0000000..0e44aa9
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex
@@ -0,0 +1,146 @@
+%
+% sl2.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\begin{scope}[xshift=-4.5cm]
+ \fill[color=blue!20]
+ (1.4,0) -- (0,1.4) -- (-1.4,0) -- (0,-1.4) -- cycle;
+ \fill[color=red!40,opacity=0.5]
+ (1.96,0) -- (0,1) -- (-1.96,0) -- (0,-1) -- cycle;
+
+ \begin{scope}
+ \clip (-2.1,-2.1) rectangle (2.3,2.3);
+ \draw[color=darkgreen]
+ plot[domain=-1:1,samples=100]
+ ({(1/1.4)*exp(\x)},{(1/1.4)*exp(-\x)});
+ \draw[color=darkgreen]
+ plot[domain=-1:1,samples=100]
+ ({(1/1.4)*exp(\x)},{-(1/1.4)*exp(-\x)});
+ \draw[color=darkgreen]
+ plot[domain=-1:1,samples=100]
+ ({-(1/1.4)*exp(\x)},{(1/1.4)*exp(-\x)});
+ \draw[color=darkgreen]
+ plot[domain=-1:1,samples=100]
+ ({-(1/1.4)*exp(\x)},{-(1/1.4)*exp(-\x)});
+ \end{scope}
+
+ \draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}];
+ \draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
+
+ \draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0);
+ \draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4);
+
+ \draw[->,color=red] (0,0) -- (1.96,0);
+ \draw[->,color=red] (0,0) -- (0,1);
+ \node at (0,-3.2)
+ {$\displaystyle
+ \begin{aligned}
+ A&=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+ \\
+ e^{At}
+ &=\begin{pmatrix}e^t&0\\0&e^{-t}\end{pmatrix}
+ \end{aligned}
+ $};
+
+\end{scope}
+
+
+\begin{scope}
+ \fill[color=blue!20]
+ (0:1.4) -- (90:1.4) -- (180:1.4) -- (270:1.4) -- cycle;
+ \fill[color=red!40,opacity=0.5]
+ (33:1.4) -- (123:1.4) -- (213:1.4) -- (303:1.4) -- cycle;
+
+ \draw[color=darkgreen] (0,0) circle[radius=1.4];
+
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+
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+
+ \draw[->,color=red] (0,0) -- (33:1.4);
+ \draw[->,color=red] (0,0) -- (123:1.4);
+
+ \node at (0,-3.2)
+ {$\displaystyle
+ \begin{aligned}
+ B
+ &=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0 \end{pmatrix}
+ \\
+ e^{Bt}
+ &=
+ \begin{pmatrix}
+ \cos t&-\sin t\\
+ \sin t& \cos t
+ \end{pmatrix}
+ \end{aligned}$};
+\end{scope}
+
+
+\begin{scope}[xshift=4.5cm]
+ \fill[color=blue!20]
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+ \def\x{0.5}
+ \fill[color=red!40,opacity=0.5]
+ ({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x})
+ --
+ ({1.4*sinh(\x},{1.4*cosh(\x)})
+ --
+ ({-1.4*cosh(\x)},{-1.4*sinh(\x})
+ --
+ ({-1.4*sinh(\x},{-1.4*cosh(\x)})
+ -- cycle;
+
+ \begin{scope}
+ \clip (-2.1,-2.1) rectangle (2.2,2.2);
+ \draw[color=darkgreen]
+ plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)});
+ \draw[color=darkgreen]
+ plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*sinh(\x)},{1.4*cosh(\x)});
+ \draw[color=darkgreen]
+ plot[domain=-1:1,samples=100] ({-1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)});
+ \draw[color=darkgreen]
+ plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*sinh(\x)},{-1.4*cosh(\x)});
+ \end{scope}
+
+ \draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}];
+ \draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
+
+ \draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0);
+ \draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4);
+
+ \draw[->,color=red] (0,0) -- ({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)});
+ \draw[->,color=red] (0,0) -- ({1.4*sinh(\x)},{1.4*cosh(\x)});
+
+ \node at (0,-3.2) {$\displaystyle
+ \begin{aligned}
+ C&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+ \\
+ e^{Ct}
+ &=
+ \begin{pmatrix}
+ \cosh t&\sinh t\\
+ \sinh t&\cosh t
+ \end{pmatrix}
+ \end{aligned}
+ $};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
index 48d6b43..6d2531a 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
@@ -48,6 +48,7 @@ schreibt man $l_{g}$ für die Abbildung $h\mapsto gh$, dann
kann man die Kartenabbildung auch $\varphi_g = \varphi_e\circ l_{g^{-1}}$
schreiben.
+\subsubsection{Kartenwechsel}
Die Kartenwechsel-Abbildungen für zwei Karten $\varphi_{g_1}$
und $\varphi_{g_2}$ ist die Abbildung
\[
@@ -93,6 +94,7 @@ Eine {\em Lie-Gruppe} ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare
Mannigfaltigkeit ist derart, dass die Abbildungen
\begin{align*}
G\times G \to G &: (g_1,g_2)\mapsto g_1g_2
+\\
G\to G &: g \mapsto g^{-1}
\end{align*}
differenzierbare Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten sind.
@@ -106,8 +108,79 @@ Das Studium der Matrizengruppen erlaubt uns daher ohne grosse
Einschränkungen ein Verständnis für die Theorie der Lie-Gruppen
zu entwickeln.
+\subsubsection{Tangentialvektoren und die Exponentialabbildung}
+Die Matrizengruppen sind alle in der
+$n^2$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
+enthalten.
+Diffferenzierbare Kurven $\gamma(t)$ in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
+haben daher in jedem Punkt Tangentialvektoren, die als Matrizen in
+$M_n(\mathbb{R})$ betrachtet werden können.
+Wenn $\gamma(t)$ die Matrixelemente $\gamma_{ij}(t)$ hat, dann ist der
+Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$ durch
+\[
+\frac{d}{dt}
+\gamma(t)
+=
+\begin{pmatrix}
+\dot{\gamma}_{11}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{1n}(t)\\
+\vdots &\ddots&\vdots \\
+\dot{\gamma}_{n1}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{nn}(t)
+\end{pmatrix}
+\]
+gegeben.
+
+Im Allgemeinen kann man Tangentialvektoren in verschiedenen Punkten
+einer Mannigfaltigkeit nicht miteinander vergleichen.
+Die Multiplikation $l_g$, die den Punkt $e$ in den Punkt $g$ verschiebt,
+transportiert auch die Tangentialvektoren im Punkt $e$ in
+Tangentialvektoren im Punkt $g$.
+
+\begin{aufgabe}
+Gibt es eine Kurve $\gamma(t)\in\mathbb{GL}_n(\mathbb{R})$ mit
+$\gamma(0)=e$ derart, dass der Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$
+für $t>0$ derselbe ist wie der Tangentialvektor im Punkt $e$, transportiert
+durch Matrixmultiplikation mit $\gamma(t)$?
+\end{aufgabe}
+
+Eine solche Kurve muss die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt}\gamma(t)
+=
+\gamma(t)\cdot A
+\label{buch:gruppen:eqn:expdgl}
+\end{equation}
+erfüllen, wobei $A\in M_n(\mathbb{R})$ der gegebene Tangentialvektor
+in $e=I$ ist.
+
+Die Matrixexponentialfunktion
+\[
+e^{At}
+=
+1+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\frac{A^4t^4}{4!}+\dots
+\]
+liefert eine Einparametergruppe
+$\mathbb{R}\to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ mit der Ableitung
+\[
+\frac{d}{dt} e^{At}
+=
+\lim_{h\to 0} \frac{e^{A(t+h)}-e^{At}}{h}
+=
+\lim_{h\to 0} e^{At}\frac{e^{Ah}-I}{h}
+=
+e^{At} A.
+\]
+Sie ist also Lösung der Differentialgleichung~\eqref{buch:gruppen:eqn:expdgl}.
+
\subsection{Drehungen in der Ebene
\label{buch:gruppen:drehungen2d}}
+Die Drehungen der Ebene sind die orientierungserhaltenden Symmetrien
+des Einheitskreises, der in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}
+als Mannigfaltigkeit erkannt wurde.
+Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrix
+beschrieben werden kann.
+
+\subsubsection{Die Untergruppe
+$\operatorname{SO}(2)\subset \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$}
Drehungen der Ebene können in einer orthonormierten Basis durch
Matrizen der Form
\[
@@ -142,6 +215,21 @@ Funktion ist.
$D_{\bullet}$ bildet die Menge der Winkel $[0,2\pi)$ bijektiv auf
die Menge der Drehmatrizen in der Ebene ab.
+Für jedes Intervall $(a,b)\subset\mathbb{R}$ mit Länge
+$b-a < 2\pi$ ist die Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$ umkehrbar,
+die Umkehrung kann als Karte verwendet werden.
+Zwei verschiedene Karten $\alpha_1\colon U_1\to\mathbb{R}$ und
+$\alpha_2\colon U_2\to\mathbb{R}$ bilden die Elemente $g\in U_1\cap U_2$
+in Winkel $\alpha_1(g)$ und $\alpha_2(g)$ ab, für die
+$D_{\alpha_1(g)}=D_{\alpha_2(g)}$ gilt.
+Dies ist gleichbedeutend damit, dass $\alpha_1(g)=\alpha_2(g)+2\pi k$
+mit $k\in \mathbb{Z}$.
+In einem Intervall in $U_1\cap U_2$ muss $k$ konstant sein.
+Die Kartenwechselabblidung ist also nur die Addition eines Vielfachen
+von $2\pi$, mit der identischen Abbildung als Ableitung.
+Diese Karten führen also auf besonders einfache Kartenwechselabbildungen.
+
+\subsubsection{Die Untergruppe $S^1\subset\mathbb{C}$}
Ein alternatives Bild für die Drehungen der Ebene kann man in der komplexen
Ebene $\mathbb{C}$ erhalten.
Die Multiplikation mit der komplexen Zahl $e^{i\alpha}$ beschreibt eine
@@ -210,16 +298,60 @@ in die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$.
Die Menge der Drehmatrizen in der Ebene kann also mit dem Einheitskreis
in der komplexen Ebene identifiziert werden.
+\subsubsection{Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$}
+Da die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$ eine eindimensionale Gruppe
+ist, kann jede Kurve $\gamma(t)$ durch den Drehwinkel $\alpha(t)$
+mit $\gamma(t) = D_{\alpha(t)}$ beschrieben werden.
+Die Ableitung in $M_2(\mathbb{R})$ ist
+\begin{align*}
+\frac{d}{dt} \gamma(t)
+&=
+\frac{d}{d\alpha}
+\begin{pmatrix}
+\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\
+\sin\alpha(t) & \cos\alpha(t)
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\frac{d\alpha}{dt}
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+-\sin\alpha(t)&-\cos\alpha(t)\\
+ \cos\alpha(t)&-\sin\alpha(t)
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\dot{\alpha}(t)
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\
+\sin\alpha(t) & \cos\alpha(t)
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+0&-1\\
+1&0
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\dot{\alpha}(t)
+=
+D_{\alpha(t)}J\cdot\dot{\alpha}(t).
+\end{align*}
+Alle Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$ im Punkt $D_\alpha$
+entstehen aus $J$ durch Drehung mit der Matrix $D_\alpha$ und Skalierung
+mit $\dot{\alpha}(t)$.
+
%
% Isometrien von R^n
%
\subsection{Isometrien von $\mathbb{R}^n$
\label{buch:gruppen:isometrien}}
-Lineare Abbildungen der Ebene $\mathbb{R}^n$ mit dem üblichen Skalarprodukt
-können durch $n\times n$-Matrizen beschrieben werden.
-Die Matrizen, die das Skalarprodukt erhalten, bilden eine Gruppe,
-die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden soll.
-Eine Matrix $A\in M_{2}(\mathbb{R})$ ändert das Skalarprodukt nicht, wenn
+
+\subsubsection{Skalarprodukt}
+Lineare Abbildungen des Raumes $\mathbb{R}^n$ können durch
+$n\times n$-Matrizen beschrieben werden.
+Die Matrizen, die das Standardskalarprodukt $\mathbb{R}^n$ erhalten,
+bilden eine Gruppe, die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden soll.
+Eine Matrix $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ ändert das Skalarprodukt, wenn
für jedes beliebige Paar $x,y$ von Vektoren gilt
$\langle Ax,Ay\rangle = \langle x,y\rangle$.
Das Standardskalarprodukt kann mit dem Matrixprodukt ausgedrückt werden:
@@ -271,6 +403,60 @@ n^2 - \frac{n(n+1)}{2}
\]
Im Spezialfall $n=2$ ist die Gruppe $O(2)$ eindimensional.
+\subsubsection{Tangentialvektoren}
+Die orthogonalen Matrizen bilden eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
+von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, nicht jede Matrix $M_n(\mathbb{R})$
+kann also ein Tangentialvektor von $O(n)$ sein.
+Um herauszufinden, welche Matrizen als Tangentialvektoren in Frage
+kommen, betrachten wir eine Kurve $\gamma\colon\mathbb{R}\to O(n)$
+von orthogonalen Matrizen mit $\gamma(0)=I$.
+Orthogonal bedeutet
+\[
+\begin{aligned}
+&&
+0
+&=
+\frac{d}{dt}I
+=
+\frac{d}{dt}
+(\gamma(t)^t\gamma(t))
+=
+\dot{\gamma}(t)^t\gamma(t))
++
+\gamma(t)^t\dot{\gamma}(t))
+\\
+&\Rightarrow&
+0
+&=
+\dot{\gamma}(0)^t \cdot I + I\cdot \dot{\gamma(0)}
+=
+\dot{\gamma}(0)^t + \dot{\gamma}(0)
+=
+A^t+A=0
+\\
+&\Rightarrow&
+A^t&=-A
+\end{aligned}
+\]
+Die Tangentialvektoren von $\operatorname{O}(n)$ sind also genau
+die antisymmetrischen Matrizen.
+
+Für $n=2$ sind alle antisymmetrischen Matrizen Vielfache der Matrix
+$J$, wie in Abschnitt~\ref{buch:gruppen:drehungen2d}
+gezeigt wurde.
+
+Für jedes Paar $i<j$ ist die Matrix $A_{ij}$ mit den Matrixelementen
+$(A_{ij})_{ij}=-1$ und $(A_{ij})_{ji}=1$
+antisymmetrisch.
+Für $n=2$ ist $A_{12}=J$.
+Die $n(n-1)/2$ Matrizen $A_{ij}$ bilden eine Basis des
+$n(n-1)/2$-dimensionale Tangentialraumes von $\operatorname{O}(n)$.
+
+Tangentialvektoren in einem anderen Punkt $g\in\operatorname{O}(n)$
+haben die Form $gA$, wobei $A$ eine antisymmetrische Matrix ist.
+Diese Matrizen sind nur noch in speziellen Fällen antisymmetrisch,
+zum Beispiel im Punkt $-I\in\operatorname{O}(n)$.
+
\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(n)$}
Die Gruppe $\operatorname{O}(n)$ enhält auch Isometrien, die
die Orientierung des Raumes umkehren, wie zum Beispiel Spiegelungen.
@@ -298,31 +484,40 @@ Der Drehwinkel ist der dritte Parameter.
Drehungen mit kleinen Drehwinkeln können zusammengesetzt werden
aus den Matrizen
-\[
+\begin{align*}
D_{x,\alpha}
-=
+&=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\
0&\sin\alpha& \cos\alpha
\end{pmatrix},
-\qquad
+&
D_{y,\beta}
-=
+&=
\begin{pmatrix}
\cos\beta&0&\sin\beta\\
0 &1& 0 \\
-\sin\beta&0&\cos\beta
\end{pmatrix},
-\qquad
+&
D_{z,\gamma}
-=
+&=
\begin{pmatrix}
\cos\gamma&-\sin\gamma&0\\
\sin\gamma& \cos\gamma&0\\
0 & 0 &1
-\end{pmatrix},
-\]
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+e^{A_{23}t}
+&
+&=
+e^{-A_{13}t}
+&
+&=
+e^{A_{21}t}
+\end{align*}
die Drehungen um die Koordinatenachsen um den Winkel $\alpha$
beschreiben.
Auch die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ können als die
@@ -330,6 +525,254 @@ drei Koordinaten der Mannigkfaltigkeit $\operatorname{SO}(3)$
angesehen werden.
%
+% Spezielle lineare Gruppe
+%
+\subsection{Volumenerhaltende Abbildungen und
+die Gruppe $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
+\label{buch:gruppen:sl}}
+Die Elemente der Gruppe $SO(n)$ erhalten Längen, Winkel und die
+Orientierung, also auch das Volumen.
+Es gibt aber volumenerhaltende Abbildungen, die Längen oder Winkel
+nicht notwendigerweise erhalten.
+Matrizen $A\in M_n(\mathbb{R})$, die das Volumen erhalten,
+haben die Determinante $\det A=1$.
+Wegen $\det(AB)=\det A\det B$ ist das Produkt zweier Matrizen mit
+Determinante $1$ wieder eine solche, sie bilden daher eine Gruppe.
+
+\begin{definition}
+Die volumenerhaltenden Abbildungen bilden die Gruppe
+\[
+\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})
+=
+\{
+A\in M_n(\mathbb{R})
+\;|\;
+\det (A) = 1
+\}
+\]
+sie heisst die {\em spezielle lineare Gruppe}.
+\end{definition}
+
+Wir wollen jetzt die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
+bestimmen.
+Dazu sei $A(t)$ eine Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
+mit $A(0)=I$.
+Für alle $t\in\mathbb{R}$ ist $\det A(t)=1$, daher ist die Ableitung
+\[
+\frac{d}{dt} \det A(t) = 0
+\quad\text{an der Stelle $t=0$.}
+\]
+Für $n=2$ ist
+\begin{align*}
+A(t)
+&=
+\begin{pmatrix}
+a(t)&b(t)\\
+c(t)&d(t)
+\end{pmatrix}
+\in
+\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})
+&&\Rightarrow&
+\frac{d}{dt}
+\det A(t)\bigg|_{t=0}
+&=
+\dot{a}(0) d(0)+a(0)\dot{d}(0)
+-
+\dot{b}(0) c(0)-b(0)\dot{c}(0)
+\\
+&&&&
+&=
+\dot{a}(0) + \dot{d}(0)
+\\
+&&&&
+&=
+\operatorname{Spur}\frac{dA}{dt}.
+\end{align*}
+Dies gilt nicht nur im Falle $n=2$, sondern ganz allgemein für beliebige
+$n\times n$-Matrizen.
+
+\begin{satz}
+Ist $A(t)$ eine differenzierbare Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{B})$
+mit $A(0)=I$, dann ist $\operatorname{Spur}\dot{A}(0)=0$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Die Entwicklung der Determinante von $A$ nach der ersten Spalte ist
+\[
+\det A(t) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \det A_{i1}(t).
+\]
+Die Ableitung nach $t$ ist
+\[
+\frac{d}{dt} \det A(t)
+=
+\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \dot{a}_{i1}(t) \det A_{i1}(t).
++
+\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \frac{d}{dt}\det A_{i1}(t).
+\]
+An der Stelle $t=0$ enthält $\det A_{i1}(0)$ für $i\ne 1$
+eine Nullzeile, der einzige nichtverschwindende Term in der ersten
+Summe ist daher der erste.
+In der zweiten Summe ist das einzige nicht verschwindende $a_{i1}(0)$
+jenes für $i=1$, somit ist die Ableitung von $\det A(t)$
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt} \det A(t)
+=
+\dot{a}_{11}(t) \det A_{11}(t).
++
+\frac{d}{dt}\det A_{11}(t)
+=
+\dot{a}_{11}(0)
++
+\frac{d}{dt}\det A_{11}(t).
+\label{buch:gruppen:eqn:detspur}
+\end{equation}
+Die Beziehung \eqref{buch:gruppen:eqn:detspur} kann für einen Beweis mit
+vollständiger Induktion verwendet werden.
+
+Die Induktionsverankerung für $n=1$ besagt, dass $\det A(t)=a_{11}(t)$
+genau dann konstant $=1$ ist, wenn $\dot{a}_{11}(0)=\operatorname{Spur}A(0)$
+ist.
+Unter der Induktionsannahme, dass für eine $(n-1)\times(n-1)$-Matrix
+$\tilde{A}(t)$ mit $\tilde{A}(0)=I$ die Ableitung der Determinante
+\[
+\frac{d}{dt}\tilde{A}(0)
+=
+\operatorname{Spur}\dot{\tilde{A}}(0)
+\]
+ist, folgt jetzt mit
+\eqref{buch:gruppen:eqn:detspur}, dass
+\[
+\frac{d}{dt}A(0)
+=
+\dot{a}_{11}(0)
++
+\frac{d}{dt} \det A_{11}(t)\bigg|_{t=0}
+=
+\dot{a}_{11}(0)
++
+\operatorname{Spur}\dot{A}_{11}(0)
+=
+\operatorname{Spur}\dot{A}(0).
+\]
+Damit folgt jetzt die Behauptung für alle $n$.
+\end{proof}
+
+\begin{beispiel}
+Die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ sind
+die spurlosen Matrizen
+\[
+A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
+\quad\Rightarrow\quad
+\operatorname{Spur}A=a+d=0
+\quad\Rightarrow\quad
+A=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}.
+\]
+Der Tangentialraum ist also dreidimensional.
+Als Basis könnte man die folgenden Vektoren verwenden:
+\begin{align*}
+A
+&=
+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+&&\Rightarrow&
+e^{At}
+&=
+\begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}
+\\
+B
+&=
+\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
+&&\Rightarrow&
+e^{Bt}
+&=
+\begin{pmatrix}
+\cos t & -\sin t\\
+\sin t & \cos t
+\end{pmatrix}
+\\
+C
+&=
+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+&&\Rightarrow&
+e^{Ct}
+&=
+I + Ct + \frac{C^2t^2}{2!} + \frac{C^3t^3}{3!} + \frac{C^4t^4}{4!}+\dots
+\\
+&&&&
+&=
+I\biggl(1 + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!}+\dots \biggr)
++
+C\biggl(t + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!}+\dots \biggr)
+\\
+&&&&
+&=
+I\cosh t + C \sinh t
+=
+\begin{pmatrix}
+\cosh t & \sinh t\\
+\sinh t & \cosh t
+\end{pmatrix},
+\end{align*}
+wobei in der Auswertung der Potenzreihe für $e^{Ct}$ verwendet wurde,
+dass $C^2=I$.
+
+Die Matrizen $e^{At}$ Streckungen der einen Koordinatenachse und
+Stauchungen der anderen derart, dass das Volumen erhalten bleibt.
+Die Matrizen $e^{Bt}$ sind Drehmatrizen, die Längen und Winkel und
+damit erst recht den Flächeninhalt erhalten.
+Die Matrizen der Form $e^{Ct}$ haben die Vektoren $(1,\pm1)$ als
+Eigenvektoren:
+\begin{align*}
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+&\mapsto
+e^{Ct}
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+=
+(\cosh t +\sinh t)
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+=
+\biggl(
+\frac{e^t+e^{-t}}2
++
+\frac{e^t-e^{-t}}2
+\biggr)
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+=
+e^t
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+\\
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+&\mapsto
+e^{Ct}
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+=
+(\cosh t -\sinh t)
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+=
+\biggl(
+\frac{e^t+e^{-t}}2
+-
+\frac{e^t-e^{-t}}2
+\biggr)
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+=
+e^{-t}
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+\end{align*}
+Die Matrizen $e^{Ct}$ strecken die Richtung $(1,1)$ um $e^t$ und
+die dazu orthogonale Richtung $(1,-1)$ um den Faktor $e^{-t}$.
+Dies ist die gegenüber $e^{At}$ um $45^\circ$ verdrehte Situation,
+auch diese Matrizen sind flächenerhaltend.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/sl2.pdf}
+\caption{Tangentialvektoren und die davon erzeugen Einparameteruntergruppen
+für die Lie-Gruppe $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ der flächenerhaltenden
+linearen Abbildungen von $\mathbb{R}^2$.
+\label{buch:gruppen:fig:sl2}}
+\end{figure}%
+\end{beispiel}
+
+%
% Die Gruppe SU(2)
%
\subsection{Die Gruppe $\operatorname{SU}(2)$
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
index e7c3240..7364c85 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
@@ -136,7 +136,7 @@ den Nullpunkt.
Ein Homomorphismus $\varphi\colon\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
von der additiven Gruppe $\mathbb{R}$ in die allgemeine lineare Gruppe
heisst eine {\em Einparameter-Untergruppe} von
-$\operatorname{GL}(\mathbb{R})$.
+$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
\end{definition}
Die Abbildung
@@ -468,18 +468,22 @@ Die Kreislinie in in der Ebene ist eine $1$-dimensionale Mannigfaltigkeit.
Natürlich kann sie nicht mit einer einzigen Karte beschrieben werden,
da es keine umkehrbaren Abbildungen zwischen $\mathbb{R}$ und der Kreislinie
gibt.
-Man kann aber die folgenden vier Karten verwenden:
+Die Projektionen auf die einzelnen Koordinaten liefern die folgenden
+vier Karten:
\begin{align*}
-\varphi_1&\colon U_{x>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x>0\} \to
+\varphi_1&\colon U_{x>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x>0\} \to\mathbb{R}
:
-(x,y) \mapsto y\\
-\varphi_2&\colon U_{x<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x<0\} \to
+(x,y) \mapsto y
+\\
+\varphi_2&\colon U_{x<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x<0\} \to\mathbb{R}
:
-(x,y) \mapsto y\\
-\varphi_3&\colon U_{y>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y>0\} \to
+(x,y) \mapsto y
+\\
+\varphi_3&\colon U_{y>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y>0\} \to\mathbb{R}
:
-(x,y) \mapsto x\\
-\varphi_4&\colon U_{y<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y<0\} \to
+(x,y) \mapsto x
+\\
+\varphi_4&\colon U_{y<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y<0\} \to\mathbb{R}
:
(x,y) \mapsto x
\end{align*}
@@ -493,13 +497,47 @@ Dasselbe gilt für $\varphi_3$ und $\varphi_4$.
Die nichtleeren Schnittmengen der verschiedenen Kartengebiete beschreiben
jeweils die Punkte der Kreislinie in einem Quadranten.
-Die Umrechnung zwischen den Koordinaten erfolgt je nach Quadrant durch
-\[
-x\mapsto y=\pm\sqrt{1-x^2\mathstrut}
-\qquad\text{oder}\qquad
-y\mapsto x=\pm\sqrt{1-y^2\mathstrut},
-\]
-diese Abbildungen sind im offenen Intervall $(-1,1)$ differenzierbar,
+Die Umrechnung zwischen den Koordinaten und ihre Ableitung
+ist je nach Quadrant durch
+\begin{align*}
+&\text{1.~Quadrant}&
+\varphi_{31}
+&=
+\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-y^2\mathstrut}
+&
+D\varphi_{31}
+&=
+-\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}}
+\\
+&\text{2.~Quadrant}&
+\varphi_{24}
+&=
+\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-x^2\mathstrut}
+&
+D\varphi_{24}
+&=
+-\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}}
+\\
+&\text{3.~Quadrant}&
+\varphi_{42}
+&=
+\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto-\sqrt{1-y^2\mathstrut}
+&
+D\varphi_{42}
+&=
+\phantom{-}\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}}
+\\
+&\text{4.~Quadrant}&
+\varphi_{14}
+&=
+\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto-\sqrt{1-x^2\mathstrut}
+&
+D\varphi_{14}
+&=
+\phantom{-}\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}}
+\end{align*}
+gegeben.
+Diese Abbildungen sind im offenen Intervall $(-1,1)$ differenzierbar,
Schwierigkeiten mit der Ableitungen ergeben sich nur an den Stellen
$x=\pm1$ und $y=\pm 1$, die in einem Überschneidungsgebiet von Karten
nicht vorkommen können.
@@ -572,7 +610,9 @@ folgt durch Ableitung nach dem Kurvenparameter $t$, dass
\[
\frac{d}{dt}\gamma_\beta(t)
=
-D\varphi_{\beta\alpha} \frac{d}{dt}\gamma_\alpha(t).
+D\varphi_{\beta\alpha}
+\cdot
+\frac{d}{dt}\gamma_\alpha(t).
\]
Die Ableitung $D\varphi_{\beta\alpha}$ von $\varphi_{\beta\alpha}$
an der Stelle $\gamma_\alpha(t)$ berechnet also aus dem Tangentialvektor
@@ -589,6 +629,91 @@ mit dem die Unmöglichkeit einer globalen Besschreibung einer
Mannigfaltigkeit $M$ mit einem einzigen globalen Koordinatensystem
ohne Singularitäten umgangen werden kann.
+\begin{beispiel}
+Das Beispiel des Kreises in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}
+zeigt, dass die Tangentialvektoren je nach Karte sehr verschieden
+aussehen können.
+Der Tangentialvektor der Kurve $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ im Punkt
+$\gamma(t)$ ist $\dot{y}(t)$ in den Karten $\varphi_1$ und $\varphi_2$
+und $\dot{x}(t)$ in den Karten $\varphi_3$ und $\varphi_4$.
+
+Die spezielle Kurve $\gamma(t) = (\cos t,\sin t)$ hat in einem Punkt
+$t\in (0,\frac{\pi}2)$.
+in der Karte $\varphi_1$ den Tangentialvektor $\dot{y}(t)=\cos t$,
+in der Karte $\varphi_3$ aber den Tangentialvektor $\dot{x}=-\sin t$.
+Die Ableitung des Kartenwechsels in diesem Punkt ist die $1\times 1$-Matrix
+\[
+D\varphi_{31}(\gamma(t))
+=
+-\frac{y(t)}{\sqrt{1-y(t)^2}}
+=
+-\frac{\sin t}{\sqrt{1-\sin^2 t}}
+=
+-\frac{\sin t}{\cos t}
+=
+-\tan t.
+\]
+Die Koordinatenumrechnung ist gegeben durch
+\[
+\dot{x}(t)
+=
+D\varphi_{31}(\gamma(t))
+\dot{y}(t)
+\]
+wird für die spezielle Kurve $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ wird dies zu
+\[
+D\varphi_{31}(\gamma(t))
+\cdot
+\dot{y}(t)
+=
+-\tan t\cdot \cos t
+=
+-\frac{\sin t}{\cos t}\cdot \cos t
+=
+-\sin t
+=
+\dot{x}(t).
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
+
+Betrachtet man die Kreislinie als Kurve in $\mathbb{R}^2$,
+dann ist der Tangentialvektor durch
+$\dot{\gamma}(t)=(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ gegeben.
+Da die Karten Projektionen auf die $x$- bzw.~$y$-Achsen sind,
+entsteht der Tangentialvektor in der Karte durch Projektion
+von $(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ auf die entsprechende Komponente.
+
+Die Tangentialvektoren in zwei verschiedenen Punkten der Kurve können
+im Allgemeinen nicht miteinander verglichen werden.
+Darüber hinweg hilft auch die Tatsache nicht, dass die Kreislinie
+in den Vektorraum $\mathbb{R}^2$ eingebettet sind, wo sich Vektoren
+durch Translation miteinander vergleichen lassen.
+Ein nichtverschwindender Tangentialvektor im Punkt $(1,0)$ hat,
+betrachtet als Vektor in $\mathbb{R}^2$ verschwindende $x$-Komponente,
+für Tangentialvektoren im Inneren eines Quadranten ist dies nicht
+der Fall.
+
+Eine Möglichkeit, einen Tangentialvektor in $(1,0)$ mit einem
+Tangentialvektor im Punkt $(\cos t,\sin t)$ zu vergleichen, besteht
+darin, den Vektor um den Winkel $t$ zu drehen.
+Dies ist möglich, weil die Kreislinie eine kontinuierliche Symmetrie,
+nämlich die Drehung um den Winkel $t$ hat, die es erlaubt, den Punkt $(1,0)$
+in den Punkt $(\cos t,\sin t)$ abzubilden.
+Erst diese Symmetrie ermöglicht den Vergleich.
+Dieser Ansatz ist für alle Matrizen erfolgreich, wie wir später sehen werden.
+
+Ein weiterer Ansatz, Tangentialvektoren zu vergleichen, ist die Idee,
+einen sogenannten Zusammenhang zu definieren, eine Vorschrift, wie
+Tangentialvektoren infinitesimal entlang von Kurven in der Mannigfaltigkeit
+transportiert werden können.
+Auf einer sogenannten {\em Riemannschen Mannigfaltigkeit} ist zusätzlich
+zur Mannigfaltigkeitsstruktur die Längenmessung definiert.
+Sie kann dazu verwendet werden, den Transport von Vektoren entlang einer
+Kurve so zu definieren, dass dabei Längen und Winkel erhalten bleiben.
+Dieser Ansatz ist die Basis der Theorie der Krümmung sogenannter
+Riemannscher Mannigfaltigkeiten.
+
\subsection{Der Satz von Noether
\label{buch:subsection:noether}}