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diff --git a/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex b/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex index e4e58ee..e885631 100644 --- a/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex +++ b/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex @@ -11,8 +11,9 @@ Die Mathematik befasst sich neben dem Rechnen mit Zahlen, der Arithmetik, mit einer Vielzahl von Abstraktionen, die oft überhaupt nichts mit Zahlen zu tun haben. Die Geometrie studiert zum Beispiel Objekte wie Punkte, Geraden, Kreise -und deren Beziehungen untereinander, die man definieren kann ganz ohne -das Wissen, was eine Zahl ist. +und deren Beziehungen untereinander, die man +ganz ohne das Wissen, was eine Zahl ist, +definieren kann. Apollonius von Perga (262--190 BCE) hat in seinem Buch über Kegelschnitte \index{Apollonius von Perga}% \index{Perga, Appollonius von}% @@ -75,7 +76,7 @@ Die reellen Zahlen erweitern die rationalen Zahlen derart, dass damit zum Beispiel quaddratische Gleichungen gelöst werden können. Dies ist aber nicht die einzige mögliche Vorgehensweise. Die Zahl $\alpha=\sqrt{2}$ ist ja nur ein Objekt, mit dem gerechnet werden -kann wie mit jeder anderen Zahl, welche aber die zusätzliche Rechenregel +kann wie mit jeder anderen Zahl, welches aber die zusätzliche Rechenregel $\alpha^2=2$ erfüllt. Die Erweiterung von $\mathbb{R}$ zu den komplexen Zahl verlangt nur, \index{komplexe Zahlen}% @@ -154,7 +155,8 @@ aI a\in\mathbb{Q} \] zum Beispiel erfüllen alle Regeln für das Rechnen mit rationalen Zahlen. -$\mathbb{Q}$ kann man also als Teilmenge des neuen ``Zahlensystems'' ansehen. +$\mathbb{Q}$ kann man also als Teilmenge des neuen ``Zahlensystems'' ansehen +mit der Matrix $I$ als Element, welches die Funktion der Eins übernimmt. Aber die Matrix \[ J @@ -221,7 +223,8 @@ wie der Determinanten auf. \index{Determinante}% Tatsächlich lassen sich Permutationen auch als Matrizen schreiben und die Rechenregeln für Determinanten sind ein direktes Abbild -gewisser Eigenschaften von Transpositionen. +gewisser Eigenschaften von speziellen Permutationen, den sogenannten +Transpositionen. \index{Transposition}% Einmal mehr haben Matrizen ermöglicht, ein neues Konzept in einer bekannten Sprache auszudrücken. |