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diff --git a/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex b/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex index a6b62b1..8433572 100644 --- a/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex +++ b/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex @@ -44,10 +44,9 @@ Zum Beispiel beschreibt die Gleichung x^2+(y-1)^2=4 \] einen Kreis mit Radius $2$ um den Punkt $(0,1)$. -Der Kreis hat natürlich zwei Schnittpunkte mit der $x$-Achse, wie jede -Gerade, deren Abstand vom Mittelpunkt des Kreises kleiner als der Radius -ist. -Die Schnittpunkte haben die Koordinaten $(x_S,0)$ und $x_S$ muss die +Der Kreis hat natürlich zwei Schnittpunkte mit der $x$-Achse, wie mit jeder +Gerade, deren Abstand vom Mittelpunkt des Kreises kleiner ist als der Radius. +Schnittpunkte haben die Koordinaten $(x_S,0)$ und $x_S$ muss die Gleichung \[ x_S^2 + (0-1)^2 = x_S^2+1=4 @@ -75,14 +74,15 @@ hinzufügt, welches als spezielle Eigenschaft die Gleichung $i^2=-1$ hat. Bei $\sqrt{2}$ hat die geometrische Anschauung suggeriert, dass es eine solche Zahl ``zwischen'' den rationalen Zahlen gibt, aber für $i$ gibt es keine solche Anschauung. -Die imaginäre Einheit $i$ erhielt daher auch diesen durchaus +Die imaginäre Einheit $i$ erhielt daher auch diesen durchaus abwertend gemeinten Namen. Die Zahlensysteme lassen sich also verstehen als einfachere Zahlensysteme, denen man zusätzliche Objekte mit besonderen algebraischen Eigenschaften hinzufügt. -Doch was sind das für Objekte, gibt es die überhaupt? -Kann man deren Existenz einfach so postulieren, so wie man das mit $i$ +Doch was sind das für Objekte? +Gibt es die überhaupt? +Kann man deren Existenz einfach so postulieren, so wie man das mit $i$ gemacht hat? Und was macht man, wenn man sich den nächsten ``algebraischen Wunsch'' erfüllen will, auch einfach wieder die Existenz des neuen Objektes @@ -100,7 +100,7 @@ a_{21}&a_{22} gruppiert und die Rechenoperationen \begin{align*} A+B -& +&= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} @@ -128,8 +128,8 @@ b_{21}&b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{21} + a_{12}b_{22} \\ -a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{21} + a_{22}b_{22} +a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ +a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{pmatrix} \end{align*} definiert, kann man neue Objekte mit zum Teil bekannten, zum Teil @@ -161,7 +161,7 @@ J^2 = -E = -A_1. \] Das neue Objekt $J$ ist ein explizit konstruiertes Objekt, welches -die genau die rechnerischen Eigenschaften der imaginären Einheit $i$. +genau die rechnerischen Eigenschaften der imaginären Einheit $i$ hat. Die imaginäre Einheit ist nicht die einzige Grösse, die sich auf diese Weise konstruieren lässt. @@ -171,7 +171,7 @@ W=\begin{pmatrix} 0&2\\1&0 \end{pmatrix} \qquad\text{die Gleichung}\qquad W^2 = \begin{pmatrix} 2&0\\0&2\end{pmatrix} = A_2, \] -die Menge der Matrizen der +die Menge der Matrizen \[ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) = @@ -184,8 +184,8 @@ a,b\in\mathbb{Q} verhält sich daher genau so wie die Menge der rationalen Zahlen, denen man ein ``imaginäres'' neues Objekt $\sqrt{2}$ hinzugefügt hat. -Matrizen sind also ein Werkzeug, mit dem sich algebraisches Systeme -mit fast beliebigen Eigenschaften konstruieren lassen. +Matrizen sind also ein Werkzeug, mit dem sich ein algebraisches Systeme +mit fast beliebigen Eigenschaften konstruieren lässt. Dies führt zu einer Explosion der denkbaren algebraischen Strukturen. Kapitel~\ref{buch:chapter:vektoren-und-matrizen} bringt etwas Ordnung in diese Vielfalt, indem die grundlegenden Strukturen charakterisiert |