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diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex index 8a13de8..4809e29 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex @@ -3,11 +3,13 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % +% !TeX spellcheck = de_CH \section{Ganze Zahlen \label{buch:section:ganze-zahlen}} \rhead{Ganze Zahlen} -Die Menge der ganzen Zahlen löst das Problem, dass nicht jede ganzzahlige -Gleichung der Form $x+a=b$ eine Lösung hat. +Die Menge der ganzen Zahlen löst das Problem, dass nicht jede +Gleichung der Form $x+a=b$ mit $a, b \in \mathbb N$ +eine Lösung $x \in \mathbb N$ hat. Dazu ist erforderlich, den natürlichen Zahlen die negativen Zahlen hinzuzufügen, also wieder die Existenz neuer Objekte zu postulieren, die die Rechenregeln weiterhin erfüllen. @@ -15,9 +17,9 @@ die die Rechenregeln weiterhin erfüllen. \subsubsection{Paare von natürlichen Zahlen} Die ganzen Zahlen können konstruiert werden als Paare $(u,v)$ von natürlichen Zahlen $u,v\in\mathbb{N}$. -Die Paare der Form $(u,0)$ entsprechen den natürlichn Zahlen, die +Die Paare der Form $(u,0)$ entsprechen den natürlichen Zahlen, die Paare $(0,v)$ sind die negativen Zahlen. -Die Rechenoperatioen sind wie folgt definiert: +Die Rechenoperationen sind wie folgt definiert: \begin{equation} \begin{aligned} (a,b)+(u,v) &= (a+u,b+v) @@ -30,8 +32,8 @@ Die Rechenoperatioen sind wie folgt definiert: \subsubsection{Äquivalenzrelation} Die Definition~\eqref{buch:zahlen:ganze-rechenregeln} erzeugt neue Paare, die wir noch nicht interpretieren können. -Zum Beispiel ist $0=1+(-1) = (1,0) + (0,1) = (1,1)$, die Paare $(u,u)$ -müssen daher alle mit der ganzen Zahl $0$ identifiziert werden. +Zum Beispiel ist $0=1+(-1) = (1,0) + (0,1) = (1,1)$. +Die Paare $(u,u)$ müssen daher alle mit $0$ identifiziert werden. Es folgt dann auch, dass alle Paare von natürlichen Zahlen mit ``gleicher Differenz'' den gleichen ganzzahligen Wert darstellen, allerdings können wir das nicht so formulieren, da ja die Differenz @@ -40,7 +42,7 @@ Stattdessen gelten zwei Paare als äquivalent, wenn \begin{equation} (a,b) \sim (c,d) \qquad\Leftrightarrow\qquad -a+d = c+d +a+d = c+b \label{buch:zahlen:ganz-aquivalenz} \end{equation} gilt. |