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diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex index 7e0ec8c..827346d 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex @@ -93,7 +93,7 @@ $-z$ heisst der $z$ {\em entgegengesetzte Wert} oder die {\em entgegengesetzte Zahl} zu $z$. \subsubsection{Lösung von Gleichungen} -Gleichungen der Form $a=x+b$ können jetzt für beliebige ganze Zahlen +Gleichungen der Form $a=x+b$ können jetzt für beliebige natürliche Zahlen immer gelöst werden. Dazu schreibt man $a,b\in\mathbb{N}$ als Paare und sucht die Lösung in der Form $x=(u,v)$. @@ -106,11 +106,31 @@ Man erhält Das Paar $(u,v) = (a,b)$ ist eine Lösung, die man normalerweise als $a-b = (a,0) + (-(b,0)) = (a,0) + (0,b) = (a,b)$ schreibt. +Für ganze Zahlen $a=(a_+,a_-)$ und $b=(b_+,b_-)$ kann man die Gleichung +mit der gleichen Methode lösen, man addiert $-b=(b_-,b_+)$ und bekommt +die Lösung +\[ +\begin{aligned} +(a_+,a_-) &= (u,v) + (b_+,b_-) +& +\quad &\Rightarrow \quad +& +(u,v)+(b_+,b_-) + (b_-,b_+) +&= +(a_+,a_-) + (b_-,b_+) +\\ +&& +\quad &\Rightarrow \quad +& +(u,v) &= (a_++b_-,a_-+b_+). +\end{aligned} +\] + \subsubsection{Ring} \index{Ring}% Die ganzen Zahlen sind ein Beispiel für einen sogenannten {\em Ring}, \index{Ring}% -eine algebraische Struktur in der Addition, Subtraktion und +eine algebraische Struktur, in der Addition, Subtraktion und Multiplikation definiert sind. Weitere Beispiele von Ringen werden später vorgestellt, darunter |