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diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex index 0c5eb70..3cbf473 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex @@ -6,8 +6,8 @@ \section{Komplexe Zahlen \label{buch:section:komplexe-zahlen}} \rhead{Komplexe Zahlen} -In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen, -andere, z.~B.~die Gleichung +In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen. +Andere, z.~B.~die Gleichung \begin{equation} x^2+1=0, \label{buch:zahlen:eqn:igleichung} @@ -50,7 +50,7 @@ wie folgt definiert werden: \end{aligned} \label{buch:zahlen:cregeln} \end{equation} -Diese Regeln sich ganz natürlich, sie ergeben sich aus den Rechenregeln +Diese Regeln ergeben sich ganz natürlich aus den Rechenregeln in $\mathbb{R}$ unter Berücksichtigung der Regel $i^2=-1$. Eine komplexe Zahl ist ein solches Paar, die Menge der komplexen Zahlen @@ -68,7 +68,7 @@ reeller Vektorraum. Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der Realteil $a=\Re z$ und $b$ heisst der Imaginärteil $\Im z$. Real- und Imaginärteil sind lineare Abbildungen $\mathbb{C}\to\mathbb{R}$, -sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechen +sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechend auch die reelle und die imaginäre Achse heissen. Die Multiplikation mit $i$ vertauscht Real- und Imaginärteil: @@ -122,8 +122,8 @@ In $\mathbb{R}$ kann man die Ordnungsrelation dazu verwenden zu entscheiden, ob eine Zahl $0$ ist. Wenn $x\ge 0$ ist und $x\le 0$, dann ist $x=0$. In $\mathbb{C}$ steht diese Ordnungsrelation nicht mehr zur Verfügung. -Eine komplexe Zahl ist von $0$ verschieden, wenn der Vektor in der -Zahlenebene Länge verschieden von $0$ ist. +Eine komplexe Zahl ist von $0$ verschieden, wenn die Länge des Vektors in der +Zahlenebene verschieden von $0$ ist. Wir definieren daher den Betrag einer komplexen Zahl $z=a+bi$ als \[ |z|^2 @@ -145,7 +145,7 @@ Der Betrag ist immer eine reelle Zahl. \subsubsection{Division} Die Erweiterung zu den komplexen Zahlen muss auch die Division erhalten. Dies ist durchaus nicht selbstverständlich. -Man kann zeigen, dass ein Produkt von Vektoren eines Vektorraums, nur für +Man kann zeigen, dass ein Produkt von Vektoren eines Vektorraums nur für einige wenige, niedrige Dimensionen überhaupt möglich ist. Für die Division sind die Einschränkungen noch gravierender, die einzigen Dimensionen $>1$, in denen ein Produkt mit einer Division definiert werden |