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diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex
index fe294d6..56ef096 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex
@@ -10,10 +10,10 @@
 
 Das Thema dieses Buches ist die Konstruktion interessanter 
 mathematischer Objekte mit Hilfe von Matrizen.
-Die Einträge dieser Matrizen sind natürlich Zahlen, wir wollen
-von diesen als den grundlegenden Bausteinen ausgehen.
+Die Einträge dieser Matrizen sind natürlich Zahlen.
+Wir wollen von diesen grundlegenden Bausteinen ausgehen.
 Dies schliesst natürlich nicht aus, dass man auch Zahlenmengen
-mit Hilfe Matrizen beschreiben kann, wie wir es später für die
+mit Hilfe von Matrizen beschreiben kann, wie wir es später für die
 komplexen Zahlen machen werden.
 
 In diesem Kapitel sollen daher die Eigenschaften der bekannten
@@ -21,7 +21,7 @@ Zahlensysteme der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und
 komplexen Zahlen nochmals in einer Übersicht zusammengetragen
 werden.
 Dabei wird besonderes Gewicht darauf gelegt, wie in jedem Fall
-einerseits neue Objekte postuliert werden können, andererseits
+einerseits neue Objekte postuliert, andererseits
 aber auch konkrete Objekte konstruiert werden können.
 
 \input{chapters/05-zahlen/natuerlich.tex}
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
index 8dd4a62..8a13de8 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
@@ -57,7 +57,7 @@ a+b' = a'+b.
 \]
 Man nennt eine solche Menge eine {\em Äquivalenzklasse} der Relation $\sim$.
 
-Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} Ist die Menge aller solchen
+Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} ist die Menge aller solchen
 Äquivalenzklassen.
 Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ist in evidenter Weise
 darin eingebettet als die Menge der Äquivalenzklassen von Paaren der
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
index 0c5eb70..3cbf473 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
@@ -6,8 +6,8 @@
 \section{Komplexe Zahlen
 \label{buch:section:komplexe-zahlen}}
 \rhead{Komplexe Zahlen}
-In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen,
-andere, z.~B.~die Gleichung
+In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen.
+Andere, z.~B.~die Gleichung
 \begin{equation}
 x^2+1=0,
 \label{buch:zahlen:eqn:igleichung}
@@ -50,7 +50,7 @@ wie folgt definiert werden:
 \end{aligned}
 \label{buch:zahlen:cregeln}
 \end{equation}
-Diese Regeln sich ganz natürlich, sie ergeben sich aus den Rechenregeln
+Diese Regeln ergeben sich ganz natürlich aus den Rechenregeln
 in $\mathbb{R}$ unter Berücksichtigung der Regel $i^2=-1$.
 
 Eine komplexe Zahl ist ein solches Paar, die Menge der komplexen Zahlen
@@ -68,7 +68,7 @@ reeller Vektorraum.
 Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der Realteil $a=\Re z$
 und $b$ heisst der Imaginärteil $\Im z$.
 Real- und Imaginärteil sind lineare Abbildungen $\mathbb{C}\to\mathbb{R}$,
-sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechen
+sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechend
 auch die reelle und die imaginäre Achse heissen.
 
 Die Multiplikation mit $i$ vertauscht Real- und Imaginärteil:
@@ -122,8 +122,8 @@ In $\mathbb{R}$ kann man die Ordnungsrelation dazu verwenden zu entscheiden,
 ob eine Zahl $0$ ist. 
 Wenn $x\ge 0$ ist und $x\le 0$, dann ist $x=0$.
 In $\mathbb{C}$ steht diese Ordnungsrelation nicht mehr zur Verfügung.
-Eine komplexe Zahl ist von $0$ verschieden, wenn der Vektor in der
-Zahlenebene Länge verschieden von $0$ ist.
+Eine komplexe Zahl ist von $0$ verschieden, wenn die Länge des Vektors in der
+Zahlenebene verschieden von $0$ ist.
 Wir definieren daher den Betrag einer komplexen Zahl $z=a+bi$ als
 \[
 |z|^2
@@ -145,7 +145,7 @@ Der Betrag ist immer eine reelle Zahl.
 \subsubsection{Division}
 Die Erweiterung zu den komplexen Zahlen muss auch die Division erhalten.
 Dies ist durchaus nicht selbstverständlich.
-Man kann zeigen, dass ein Produkt von Vektoren eines Vektorraums, nur für
+Man kann zeigen, dass ein Produkt von Vektoren eines Vektorraums nur für
 einige wenige, niedrige Dimensionen überhaupt möglich ist.
 Für die Division sind die Einschränkungen noch gravierender, die einzigen
 Dimensionen $>1$, in denen ein Produkt mit einer Division definiert werden
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
index 278aa5e..086658f 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
@@ -34,7 +34,7 @@ $n'\in \mathbb{N}$.
 \item Wenn zwei Zahlen $n,m\in\mathbb{N}$ den gleichen Nachfolger haben,
 $n'=m'$, dann sind sie gleich $n=m$.
 \item Enthält eine Menge $X$ die Zahl $0$ und mit jeder Zahl auch ihren
-Nachfolger, dann ist $X\subset\mathbb{N}$.
+Nachfolger, dann ist $X\subset\mathbb{N}$. %TODO: X = N?...
 \end{enumerate}
 
 \subsubsection{Addition}
@@ -145,7 +145,7 @@ a\cdot(b+c) = ab+ac
 \qquad\text{und}\qquad
 (a+b)c = ac+bc
 \]
-gilt.
+gelten.
 Das Distributivgesetz drückt die wohlbekannte Regel des
 Ausmultiplizierens aus.
 Ein Distributivgesetz ist also grundlegend dafür, dass man mit den
@@ -165,13 +165,14 @@ Lösung in $\mathbb{N}$ hat.
 \index{teilbar}%
 Jede natürlich Zahl $n$ ist durch $1$ teilbar und auch durch sich selbst,
 denn $n\cdot 1 = n$.
-Andere Teiler sind dagegen nicht selbstverständlich, die Zahlen
+Andere Teiler sind dagegen nicht selbstverständlich.
+Die Zahlen
 \[
 \mathbb{P}
 =
-\{2,3,5,7,11,17,19,23,29,\dots\}
+\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\dots\}
 \]
-haben keine weiteren Teiler, sie heissen {\em Primzahlen}.
+haben keine weiteren Teiler. Sie heissen {\em Primzahlen}.
 \index{Primzahl}%
 Die Menge der natürlichen Zahlen ist die naheliegende Arena
 für die Zahlentheorie.
@@ -205,7 +206,7 @@ Die natürlichen Zahl sind also nacheinander die Mengen
 \begin{align*}
 0 &= \emptyset 
 \\
-1 &= \emptyset \cup \{\emptyset\} = \{0\}
+1 &= 0 \cup \{0\} = \emptyset \cup \{0\} = \{0\}
 \\
 2 &= 1 \cup \{ 1\} = \{0\}\cup\{1\} = \{0,1\}
 \\
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
index 1f241a2..4064887 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
@@ -12,8 +12,8 @@ Dass die Gleichung $x^2=2$ keine rationale Lösung hat, ist schon den
 Pythagoräern aufgefallen.
 Die geometrische Intuition der Zahlengeraden führt uns dazu, nach
 Zahlen zu suchen, die gute Approximationen für $\sqrt{2}$ sind.
-Wir können zwar keine Bruch angeben, dessen Quadrat $2$ ist, aber 
-wenn es eine Zahl $\sqrt{2}$ mit dieser Eigenschaft git, dann können
+Wir können zwar keinen Bruch angeben, dessen Quadrat $2$ ist, aber
+wenn es eine Zahl $\sqrt{2}$ mit dieser Eigenschaft gibt, dann können
 wir dank der Ordnungsrelation feststellen, dass sie in all den folgenden,
 kleiner werdenden Intervallen
 \[
@@ -28,13 +28,13 @@ schnell, sie sind mit der sogenannten Kettenbruchentwicklung der
 Zahl $\sqrt{2}$ gewonnen.}.
 Jedes der Intervalle enthält auch das nachfolgende Intervall, und
 die intervalllänge konvergiert gegen 0.
-Eine solche Intervallschachtelung beschreibt also genau eine Zahl,
+Eine solche \emph{Intervallschachtelung} beschreibt also genau eine Zahl,
 aber möglicherweise keine, die sich als Bruch schreiben lässt.
 
-Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann auch als die Menge 
-aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$. 
-Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn für jedes $\varepsilon>0$
-es eine Zahl $N(\varepsilon)$ gibt derart, dass $|a_n-a_m|<\varepsilon$
+Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann man auch als Menge
+aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ betrachten.
+Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn es für jedes $\varepsilon>0$
+eine Zahl $N(\varepsilon)$ gibt derart, dass $|a_n-a_m|<\varepsilon$
 für $n,m>N(\varepsilon)$.
 Ab einer geeigneten Stelle $N(\varepsilon)$ sind die Folgenglieder also
 mit Genauigkeit $\varepsilon$ nicht mehr unterscheidbar.