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diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/Makefile.inc b/buch/chapters/05-zahlen/Makefile.inc
new file mode 100644
index 0000000..566217d
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/Makefile.inc
@@ -0,0 +1,13 @@
+#
+# Makefile.inc -- Makefile dependencies for chapter 0.5
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+
+CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+	chapters/05-zahlen/natuerlich.tex				\
+	chapters/05-zahlen/ganz.tex					\
+	chapters/05-zahlen/rational.tex					\
+	chapters/05-zahlen/reell.tex					\
+	chapters/05-zahlen/komplex.tex					\
+	chapters/05-zahlen/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex
new file mode 100644
index 0000000..56ef096
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex
@@ -0,0 +1,37 @@
+%
+% chapter.tex -- Kapitel mit den Grunddefinition und Notationen
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\chapter{Zahlen
+\label{buch:chapter:zahlen}}
+\lhead{Zahlen}
+\rhead{}
+
+Das Thema dieses Buches ist die Konstruktion interessanter 
+mathematischer Objekte mit Hilfe von Matrizen.
+Die Einträge dieser Matrizen sind natürlich Zahlen.
+Wir wollen von diesen grundlegenden Bausteinen ausgehen.
+Dies schliesst natürlich nicht aus, dass man auch Zahlenmengen
+mit Hilfe von Matrizen beschreiben kann, wie wir es später für die
+komplexen Zahlen machen werden.
+
+In diesem Kapitel sollen daher die Eigenschaften der bekannten
+Zahlensysteme der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und
+komplexen Zahlen nochmals in einer Übersicht zusammengetragen
+werden.
+Dabei wird besonderes Gewicht darauf gelegt, wie in jedem Fall
+einerseits neue Objekte postuliert, andererseits
+aber auch konkrete Objekte konstruiert werden können.
+
+\input{chapters/05-zahlen/natuerlich.tex}
+\input{chapters/05-zahlen/ganz.tex}
+\input{chapters/05-zahlen/rational.tex}
+\input{chapters/05-zahlen/reell.tex}
+\input{chapters/05-zahlen/komplex.tex}
+
+%\section*{Übungsaufgaben}
+%\aufgabetoplevel{chapters/05-zahlen/uebungsaufgaben}
+%\begin{uebungsaufgaben}
+%\end{uebungsaufgaben}
+
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
new file mode 100644
index 0000000..fab2dcb
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
@@ -0,0 +1,124 @@
+%
+% ganz.tex -- Ganze Zahlen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+% !TeX spellcheck = de_CH
+\section{Ganze Zahlen
+\label{buch:section:ganze-zahlen}}
+\rhead{Ganze Zahlen}
+Die Menge der ganzen Zahlen löst das Problem, dass nicht jede
+Gleichung der Form $x+a=b$ mit $a, b \in \mathbb N$
+eine Lösung $x \in \mathbb N$ hat.
+Dazu ist erforderlich, den natürlichen Zahlen die negativen Zahlen
+hinzuzufügen, also wieder die Existenz neuer Objekte zu postulieren,
+die die Rechenregeln weiterhin erfüllen.
+
+\subsubsection{Paare von natürlichen Zahlen}
+Die ganzen Zahlen können konstruiert werden als Paare $(u,v)$ von 
+natürlichen Zahlen $u,v\in\mathbb{N}$.
+Die Paare der Form $(u,0)$ entsprechen den natürlichen Zahlen, die
+Paare $(0,v)$ sind die negativen Zahlen.
+Die Rechenoperationen sind wie folgt definiert:
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+(a,b)+(u,v) &= (a+u,b+v)
+\\
+(a,b)\cdot (u,v) &= (au+bv,av+bu)
+\end{aligned}
+\label{buch:zahlen:ganze-rechenregeln}
+\end{equation}
+Die Darstellung ganzer Zahlen als Paare von natürlichen Zahlen
+findet man auch in der Buchhaltung, wo man statt eines Vorzeichen
+{\em Soll} und {\em Haben} verwendet.
+Dabei kommt es nur auf die Differenz der beiden Positionen an.
+Fügt man beiden Positionen den gleichen Betrag hinzu, ändert sich
+nichts.
+Viele der Paare $(a,b)$ müssen also als äquivalent angesehen
+werden.
+
+\subsubsection{Äquivalenzrelation}
+Die Definition~\eqref{buch:zahlen:ganze-rechenregeln}
+erzeugt neue Paare, die wir noch nicht interpretieren können.
+Zum Beispiel ist $0=1+(-1) = (1,0) + (0,1) = (1,1)$.
+Die Paare $(u,u)$ müssen daher alle mit $0$ identifiziert werden.
+Es folgt dann auch, dass alle Paare von natürlichen Zahlen mit 
+``gleicher Differenz'' den gleichen ganzzahligen Wert darstellen,
+allerdings können wir das nicht so formulieren, da ja die Differenz
+noch gar nicht definiert ist.
+Stattdessen gelten zwei Paare als äquivalent, wenn
+\begin{equation}
+(a,b) \sim (c,d)
+\qquad\Leftrightarrow\qquad
+a+d = c+b
+\label{buch:zahlen:ganz-aquivalenz}
+\end{equation}
+gilt.
+Diese Bedingung erhält man, indem man zu $a-b=c-d$ die Summe $b+d$ 
+hinzuaddiert.
+Ein ganzen Zahl $z$ ist daher eine Menge von Paaren von natürlichen
+Zahlen mit der Eigenschaft
+\[
+(a,b)\in z\;\wedge (a',b')\in z
+\qquad\Leftrightarrow\qquad
+(a,b)\sim(a',b')
+\qquad\Leftrightarrow\qquad
+a+b' = a'+b.
+\]
+Man nennt eine solche Menge eine {\em Äquivalenzklasse} der Relation $\sim$.
+
+Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} ist die Menge aller solchen
+Äquivalenzklassen.
+Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ist in evidenter Weise
+darin eingebettet als die Menge der Äquivalenzklassen von Paaren der
+Form $(n,0)$.
+
+\subsubsection{Entgegengesetzter Wert}
+Zu jeder ganzen Zahl $z$ dargestellt durch das Paar $(a,b)$ 
+stellt das Paar $(b,a)$ eine ganze Zahl dar mit der Eigenschaft
+\begin{equation}
+z+(b,a)
+=
+(a,b) + (b+a) = (a+b,a+b) \sim (0,0) = 0.
+\label{buch:zahlen:eqn:entgegengesetzt}
+\end{equation}
+Die von $(b,a)$ dargestellte ganze Zahl wird mit $-z$ bezeichnet,
+die Rechnung~\eqref{buch:zahlen:eqn:entgegengesetzt} lässt sich damit
+abgekürzt als $z+(-z)=0$ schreiben.
+
+\subsubsection{Lösung von Gleichungen}
+Gleichungen der Form $a=x+b$ können jetzt für beliebige ganze Zahlen
+immer gelöst werden.
+Dazu schreibt man $a,b\in\mathbb{N}$ als Paare und sucht die
+Lösung in der Form $x=(u,v)$.
+Man erhält
+\begin{align*}
+(a,0) &= (u,v) + (b,0)
+\\
+(a+b,b) &= (u+b,v)
+\end{align*}
+Das Paar $(u,v) = (a,b)$ ist eine Lösung, die man normalerweise als
+$a-b = (a,0) + (-(b,0)) = (a,0) + (0,b) = (a,b)$ schreibt.
+
+\subsubsection{Ring}
+\index{Ring}%
+Die ganzen Zahlen sind ein Beispiel für einen sogenannten Ring,
+eine algebraische Struktur in der Addition, Subtraktion und
+Multiplikation definiert sind.
+Weitere Beispiel werden später vorgestellt,
+der Ring der Polynome $\mathbb{Z}[X]$ in Kapitel~\ref{buch:chapter:polynome}
+und
+der Ring der $n\times n$-Matrizen in
+Kapitel~\ref{buch:chapter:vektoren-und-matrizen}.
+In einem Ring wird nicht verlangt, dass die Multiplikation kommutativ
+ist, Matrizenringe sind nicht kommutativ.
+$\mathbb{Z}$ ist ein kommutativer Ring ebenso sind die Polynomringe 
+kommutativ.
+Die Theorie der nicht kommutativen Ringe ist sehr viel reichhaltiger
+und leider auch komplizierter als die kommutative Theorie.
+\index{Ring!kommutativer}%
+
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf b/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf
new file mode 100644
index 0000000..d502e3c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.tex
new file mode 100644
index 0000000..8cda85b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.tex
@@ -0,0 +1,39 @@
+%
+% komplex.tex -- Betrag und Argument einer komplexen Zahl
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1.5}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\pgfmathparse{atan(2/3)}
+\xdef\winkel{\pgfmathresult}
+\fill[color=blue!20] (0,0) -- (1.5,0) arc (0:\winkel:1.5) -- cycle;
+\draw[->] (-1,0) -- (4,0) coordinate[label={$\Re z$}];
+\draw[->] (0,-1) -- (0,3) coordinate[label={right:$\Im z$}];
+\draw[line width=0.5pt] (3,0) -- (3,2);
+\node at (3,1) [right] {$\Im z=b$};
+\node at (1.5,0) [below] {$\Re z=a$};
+\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (0,0) -- (3,2);
+\node at (3,2) [above right] {$z=a+bi$};
+\def\punkt#1{
+	\fill[color=white] #1 circle[radius=0.04];
+	\draw #1 circle[radius=0.04];
+}
+\punkt{(0,0)}
+\punkt{(3,2)}
+\node[color=red] at (1.5,1) [rotate=\winkel,above] {$r=|z|$};
+\node[color=blue] at ({\winkel/2}:1.0)
+	[rotate={\winkel/2}] {$\varphi=\operatorname{arg}z$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
new file mode 100644
index 0000000..4ccea89
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
@@ -0,0 +1,380 @@
+%
+% komplex.tex -- komplexe Zahlen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Komplexe Zahlen
+\label{buch:section:komplexe-zahlen}}
+\rhead{Komplexe Zahlen}
+In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen.
+Andere, z.~B.~die Gleichung
+\begin{equation}
+x^2+1=0,
+\label{buch:zahlen:eqn:igleichung}
+\end{equation}
+haben weiterhin keine Lösung.
+Der Grund dafür ist das Bestreben bei der Konstruktion der reellen Zahlen, 
+die Ordnungsrelation zu erhalten.
+Diese ermöglicht, Näherungsintervall und Intervallschachtelungen
+zu definieren.
+
+Die Ordnungsrelation sagt aber auch, dass $x^2\ge 0$ ist für jedes
+$x\in\mathbb{R}$, so dass $x^2+1>0$ sein muss.
+Dies ist der Grund, warum die Gleichung \ref{buch:zahlen:eqn:igleichung}
+keine Lösung in $\mathbb{R}$ haben kann.
+Im Umkehrschluss folgt auch, dass eine Erweiterung der reellen Zahlen,
+in der die Gleichung \eqref{buch:zahlen:eqn:igleichung} lösbar ist,
+ohne die Ordnungsrelation auskommen muss.
+Es muss darin Zahlen geben, deren Quadrat negativ ist und der
+Grössenvergleich dieser Zahlen untereinander ist nur eingeschränkt
+möglich.
+
+\subsubsection{Imaginäre und komplexe Zahlen}
+Den reellen Zahlen fehlen also Zahlen, deren Quadrat negativ ist.
+Nach inzwischen bewährtem Muster konstruieren wird die neuen Zahlen
+daher als Paare $(a,b)$.
+Die erste Komponente soll die bekannten reellen Zahlen darstellen,
+deren Quadrat positiv ist.
+Die zweite Komponente soll für die Zahlen verwendet werden, deren Quadrat
+negativ ist.
+Die Zahl, deren Quadrat $-1$ sein soll, bezeichnen wir auch mit dem
+Paar $(0,1)$ und schreiben dafür auch $i=(0,1)$ mit $i^2=-1$.
+
+Die Rechenregeln sollen weiterhin erhalten bleiben, sie müssen daher
+wie folgt definiert werden:
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+(a,b) + (c,d) &= (a+c,b+d) & (a+bi) + (c+di) &= (a+c) + (b+d)i
+\\
+(a,b) \cdot (c,d) & (ad-bd, ad+bc) & (a+bi)\cdot(c+di) &= ac-bd + (ad+bc)i.
+\end{aligned}
+\label{buch:zahlen:cregeln}
+\end{equation}
+Diese Regeln ergeben sich ganz natürlich aus den Rechenregeln
+in $\mathbb{R}$ unter Berücksichtigung der Regel $i^2=-1$.
+
+Eine komplexe Zahl ist ein solches Paar, die Menge der komplexen Zahlen
+ist
+\[
+\mathbb{C}
+=
+\{a+bi\;|\;a,b\in\mathbb{R}\}
+\]
+mit den Rechenoperationen~\eqref{buch:zahlen:cregeln}.
+Die Menge $\mathbb{C}$ verhält sich daher wie eine zweidimensionaler
+reeller Vektorraum.
+
+\subsubsection{Real- und Imaginärteil}
+Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der Realteil $a=\Re z$
+und $b$ heisst der Imaginärteil $\Im z$.
+Real- und Imaginärteil sind lineare Abbildungen $\mathbb{C}\to\mathbb{R}$,
+sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechend
+auch die reelle und die imaginäre Achse heissen.
+
+Die Multiplikation mit $i$ vertauscht Real- und Imaginärteil:
+\[
+\Re (iz)
+=
+-b
+=
+-\Im z
+\qquad\text{und}\qquad
+\Im (iz)
+=
+a
+=
+\Re z.
+\]
+Zusätzlich kehrt das Vorzeichen der einen Komponente.
+Wir kommen auf diese Eigenschaft zurück, wenn wir später in Abschnitt~XXX
+komplexe Zahlen als Matrizen beschreiben.
+
+\subsubsection{Komplexe Konjugation}
+Der komplexen Zahl $u=a+bi$ ordnen wir die sogenannte
+{\em komplex konjugierte} Zahl $\overline{z} = a-bi$.
+Mit Hilfe der komplexen Konjugation kann man den Real- und Imaginärteil
+algebraisch ausdrücken:
+\[
+\Re z 
+=
+\frac{z+\overline{z}}2
+=
+\frac{a+bi+a-bi}{2}
+=
+\frac{2a}2
+=a
+\qquad\text{und}\qquad
+\Im z
+=
+\frac{z-\overline{z}}{2i}
+=
+\frac{a+bi-a+bi}{2i}
+=
+\frac{2bi}{2i}
+=
+b.
+\]
+In der Gaussschen Zahlenebene ist die komplexe Konjugation eine
+Spiegelung an der reellen Achse.
+
+\subsubsection{Betrag}
+In $\mathbb{R}$ kann man die Ordnungsrelation dazu verwenden zu entscheiden,
+ob eine Zahl $0$ ist. 
+Wenn $x\ge 0$ ist und $x\le 0$, dann ist $x=0$.
+In $\mathbb{C}$ steht diese Ordnungsrelation nicht mehr zur Verfügung.
+Eine komplexe Zahl ist von $0$ verschieden, wenn die Länge des Vektors in der
+Zahlenebene verschieden von $0$ ist.
+Wir definieren daher den Betrag einer komplexen Zahl $z=a+bi$ als
+\[
+|z|^2
+=
+a^2 +b^2
+=
+(\Re z)^2 + (\Im z)^2
+\qquad\Rightarrow\qquad
+|z|
+=
+\sqrt{a^2+b^2}
+=
+\sqrt{(\Re z)^2 + (\Im z)^2}.
+\]
+Der Betrag lässt sich auch mit Hilfe der komplexen Konjugation ausdrücken,
+es ist $z\overline{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2+abi-abi+b^2 = |z|^2$.
+Der Betrag ist immer eine reelle Zahl.
+
+\subsubsection{Division}
+Die Erweiterung zu den komplexen Zahlen muss auch die Division erhalten.
+Dies ist durchaus nicht selbstverständlich.
+Man kann zeigen, dass ein Produkt von Vektoren eines Vektorraums nur für
+einige wenige, niedrige Dimensionen überhaupt möglich ist.
+Für die Division sind die Einschränkungen noch gravierender, die einzigen
+Dimensionen $>1$, in denen ein Produkt mit einer Division definiert werden
+kann\footnote{Der Beweis dieser Aussage ist ziemlich schwierig und wurde
+erst im 20.~Jahrhundert mit Hilfe der Methoden der algebraischen Topologie
+erbracht. Eine Übersicht über den Beweis kann in Kapitel~10 von
+\cite{buch:ebbinghaus} gefunden werden.}, sind $2$, $4$ und $8$.
+Nur in Dimension $2$ ist ein kommutatives Produkt möglich, dies muss das
+Produkt der komplexen Zahlen sein.
+
+Wie berechnet man den Quotienten $\frac{z}{w}$ für zwei beliebige komplexe
+Zahlen $z=a+bi$ und $w=c+di$ mit $w\ne 0$?
+Dazu erweitert man den Bruch mit der komplex konjugierten des Nenners:
+\begin{align*}
+\frac{z}{w}
+&=
+\frac{z\overline{w}}{w\overline{w}}
+=
+\frac{z\overline{w}}{|w|^2}
+\end{align*}
+Da der Nenner $|w|^2>0$ eine reelle Zahl ist, ist die Division einfach,
+es ist die Multiplikation mit der reellen Zahl $1/|w|^2$.
+
+Wir können den Quotienten auch in Komponenten ausdrücken:
+\begin{align*}
+\frac{z}{w}
+&=
+\frac{a+bi}{c+di}
+=
+\frac{(a+bi)(c+di)}{(c+di)(c-di)}
+=
+\frac{ac-bd +(ad+bc)i}{c^2+d^2}.
+\end{align*}
+
+\subsubsection{Gausssche Zahlenebene}
+Beschränkt man die Multiplikation auf einen reellen Faktor, wird $\mathbb{C}$
+zu einem zweidimensionalen reellen Vektorraum.
+Man kann die komplexe Zahl $a+bi$ daher auch als Punkt $(a,b)$ in der
+sogenannten Gaussschen Ebene betrachten.
+Die Addition von komplexen Zahlen ist in diesem Bild die vektorielle
+Addition, die Multiplikation mit reellen Zahlen werden wir weiter unten
+genauer untersuchen müssen.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf}
+\caption{Argument und Betrag einer komplexen Zahl $z=a+ib$ in der 
+Gaussschen Zahlenebene
+\label{buch:zahlen:cfig}}
+\end{figure}
+Die Zahlenebene führt auf eine weitere Parametrisierung einer
+komplexen Zahl.
+Ein Punkt $z$ der Ebene kann in Polarkoordinaten auch durch den Betrag
+und den Winkel zwischen der reellen Achse und dem Radiusvektor zum Punkt
+beschrieben werden.
+
+
+\subsubsection{Geometrische Interpretation der Rechenoperationen}
+Die Addition kompelxer Zahlen wurde bereits als Vektoraddition
+in der Gausschen Zahlenebene. 
+Die Multiplikation ist etwas komplizierter, wir berechnen Betrag
+und Argument von $zw$ separat.
+Für den Betrag erhalten wir
+\begin{align*}
+|zw|^2
+&=
+z\overline{z}w\overline{w}
+=
+|z|^2|w|^2
+\end{align*}
+Der Betrag des Produktes ist also das Produkt der Beträge.
+
+Für das Argument verwenden wir, dass
+\[
+\tan\operatorname{arg}z
+=
+\frac{\Im z}{\Re z}
+=
+\frac{b}{a}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+b=a\tan\operatorname{arg}z
+\]
+und analog für $w$.
+Bei der Berechnung des Produktes behandeln wir nur den Fall $a\ne 0$ 
+und $c\ne 0$, was uns ermöglicht, den Bruch durch $ac$ zu kürzen:
+\begin{align*}
+\tan\arg wz
+&=
+\frac{\Im wz}{\Re wz}
+=
+\frac{ad+bc}{ac-bd}
+=
+\frac{\frac{d}{c} + \frac{b}{a}}{1-\frac{b}{a}\frac{d}{c}}
+=
+\frac{
+\tan\operatorname{arg}z+\tan\operatorname{arg}w
+}{
+1+
+\tan\operatorname{arg}z\cdot\tan\operatorname{arg}w
+}
+=
+\tan\bigl(
+\operatorname{arg}z+\operatorname{arg}w
+\bigr).
+\end{align*}
+Im letzten Schritt haben wir die Additionsformel für den Tangens verwendet.
+Daraus liest man ab, dass das Argument eines Produkts die Summe der
+Argumente ist.
+Die Multiplikation mit einer festen komplexen Zahl führt also mit der ganzen
+komplexen Ebene eine Drehstreckung durch.
+Auf diese geometrische Beschreibung der Multiplikation werden wir zurückkommen,
+wenn wir die komplexen Zahlen als Matrizen beschreiben wollen.
+
+\subsubsection{Algebraische Vollständigkeit}
+Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ sind als Erweiterung von $\mathbb{R}$
+so konstruiert worden, dass die Gleichung $x^2+1=0$ eine Lösung hat.
+Etwas überraschend ist dagegen, dass in dieser Erweiterung jetzt jede
+beliebige algebraische Gleichung lösbar geworden.
+Dies ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra.
+
+\begin{satz}[Fundamentalsatz der Algebra]
+\index{Fundamentalsatz der Algebra}%
+Jede algebraische Gleichung der Form
+\[
+p(x)=x^n + a_{n-1}x^{n-1}+a_1x+a_0=0,\qquad a_k\in\mathbb{C}
+\]
+mit komplexen Koeffizienten hat $n$ möglicherweise mit Vielfachheit
+gezähle Nullstellen $\alpha_1,\dots,\alpha_m$, d.~h.~das Polynom $p(x)$
+lässt sich in Linearfaktoren
+\[
+p(x)
+=
+(x-\alpha_1)^{k_1}(x-\alpha_2)^{k_2}\cdot\ldots\cdot(x-\alpha_m)^{k_m}
+\]
+zerlegen, wobei $k_1+k_2+\dots+k_m=n$.
+Die Zahlen $k_j$ heisst die {\em Vielfachheit} der Nullstelle $\alpha_j$.
+\end{satz}
+
+Der Fundamentalsatz der Algebra wurde erstmals von Carl Friedrich Gauss
+\index{Gauss, Carl Friedrich}%
+bewiesen.
+Seither sind viele alternative Beweise mit Methoden aus den verschiedensten
+Gebieten der Mathematik gegeben worden.
+Etwas salopp könnten man sagen, dass der Fundamentalsatz ausdrückt, dass
+die Konstruktion der Zahlensysteme mit $\mathbb{C}$ abgeschlossen ist,
+soweit damit die Lösbarkeit beliebiger Gleichungen angestrebt ist.
+
+\subsubsection{Quaternionen und Octonionen}
+Die komplexen Zahlen ermöglichen eine sehr effiziente Beschreibung 
+geometrischer Abbildungen wie Translationen, Spiegelungen und 
+Drehstreckungen in der Ebene.
+Es drängt sich damit die Frage auf, ob sich $\mathbb{C}$ so erweitern
+lässt, dass man damit auch Drehungen im dreidimensionalen Raum
+beschreiben könnte.
+Da Drehungen um verschiedene Achsen nicht vertauschen, kann eine solche
+Erweiterung nicht mehr kommutativ sein.
+
+William Rowan Hamilton propagierte ab 1843 eine Erweiterung von $\mathbb{C}$
+mit zwei zusätzlichen Einheiten $j$ und $k$ mit den nichtkommutativen
+Relationen
+\begin{equation}
+i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1.
+\label{buch:zahlen:eqn:quaternionenregeln}
+\end{equation}
+Er nannte die Menge aller Linearkombinationen 
+\[
+\mathbb{H} = \{ a_0+a_1i+a_2j+a_3k\;|\; a_l\in \mathbb{R}\}
+\]
+die {\em Quaternionen}, die Einheiten $i$, $j$ und $k$ heissen auch
+\index{Quaternionen}%
+Einheitsquaternionen.
+\index{Einheitsquaternionen}%
+Konjugation, Betrag und Division können ganz ähnlich wie bei den
+komplexen Zahlen definiert werden und machen $\mathbb{H}$ zu einer
+sogenannten {\em Divisionsalgebra}.
+\index{Divisionsalgebra}%
+Alle Rechenregeln mit Ausnahme der Kommutativität der Multiplikation
+sind weiterhin gültig und durch jede von $0$ verschiedene Quaternion
+kann auch dividiert werden.
+
+Aus den Regeln für die Quadrate der Einheiten in
+\eqref{buch:zahlen:eqn:quaternionenregeln} folgt zum Beispiel
+$i^{-1}=-i$, $j^{-1}=-j$ und $k^{-1}=-k$.
+Die letzte Bedingung liefert daraus
+\[
+ijk=-1
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\left\{
+\quad
+\begin{aligned}
+ij
+&=
+ijkk^{-1}=-1k^{-1}=k
+\\
+i^2jk&=-i=-jk
+\\
+-j^2k&=-ji=k
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+Aus den Relationen~\eqref{buch:zahlen:eqn:quaternionenregeln}
+folgt also insbesondere auch, dass $ij=-ji$.
+Ebenso kann abgeleitet werden, dass $jk=-kj$ und $ik=-ki$.
+Man sagt, die Einheiten sind {\em antikommutativ}.
+\index{antikommutativ}%
+
+Die Beschreibung von Drehungen mit Quaternionen ist in der
+Computergraphik sehr beliebt, weil eine Quaternion mit nur vier
+Komponenten $a_0,\dots,a_3$ vollständig beschrieben ist.
+Eine Transformationsmatrix des dreidimensionalen Raumes enthält
+dagegen neun Koeffizienten, die vergleichsweise komplizierte 
+Abhängigkeiten erfüllen müssen.
+Quaternionen haben auch in weiteren Gebieten interessante Anwendungen,
+zum Beispiel in der Quantenmechanik, wo antikommutierende Operatoren
+bei der Beschreibung von Fermionen eine zentrale Rolle spielen.
+
+Aus rein algebraischer Sicht kann man die Frage stellen, ob es eventuell
+auch noch grössere Divisionsalgebren gibt, die $\mathbb{H}$ erweitern.
+Tatsächlich hat Arthur Cayley 1845 eine achtdimensionale Algebra,
+die Oktonionen $\mathbb{O}$, mit vier weiteren Einheiten beschrieben.
+\index{Cayley, Arthur}%
+Allerdings sind die Oktonionen nur beschränkt praktisch anwendbar.
+Grund dafür ist die Tatsache, dass die Multiplikation in $\mathbb{O}$
+nicht mehr assoziativ ist.
+Das Produkt von mehr als zwei Faktoren aus $\mathbb{O}$ ist von der
+Reihenfolge der Ausführung der Multiplikationen abhängig.
+
+
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
new file mode 100644
index 0000000..f378aaf
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
@@ -0,0 +1,276 @@
+%
+% natuerlich.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+% !TeX spellcheck = de_CH
+\section{Natürliche Zahlen
+\label{buch:section:natuerliche-zahlen}}
+\rhead{Natürliche Zahlen}
+Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen wir zählen.
+\index{natürliche Zahlen}%
+\index{$\mathbb{N}$}%
+Sie abstrahieren das Konzept der Anzahl der Elemente einer endlichen
+Menge.
+Da die leere Menge keine Elemente hat, muss die Menge der natürlichen
+Zahlen auch die Zahl $0$ enthalten.
+Wir schreiben
+\[
+\mathbb{N}
+=
+\{
+0,1,2,3,\dots
+\}.
+\]
+
+\subsubsection{Peano-Axiome}
+Man kann den Zählprozess durch die folgenden Axiome von Peano beschreiben:
+\index{Peano-Axiome}%
+\begin{enumerate}
+\item $0\in\mathbb N$.
+\item Jede Zahl $n\in \mathbb{N}$ hat einen {\em Nachfolger}
+$n'\in \mathbb{N}$.
+\index{Nachfolger}%
+\item $0$ ist nicht Nachfolger einer Zahl.
+\item Wenn zwei Zahlen $n,m\in\mathbb{N}$ den gleichen Nachfolger haben,
+$n'=m'$, dann sind sie gleich $n=m$.
+\item Enthält eine Menge $X$ die Zahl $0$ und mit jeder Zahl auch ihren
+Nachfolger, dann ist $\mathbb{N}\subset X$.
+\end{enumerate}
+
+\subsubsection{Vollständige Induktion}
+Es letzte Axiom formuliert das Prinzip der vollständigen Induktion.
+Um eine Aussage $P(n)$ für alle natürlichen Zahlen $n$
+mit vollständiger Induktion zu beweisen, bezeichnet man mit
+$X$ die Menge aller Zahlen, für die $P(n)$ wahr ist.
+Die Induktionsverankerung beweist, dass $P(0)$ wahr ist, dass also $0\in X$.
+Der Induktionsschritt beweist, dass mit einer Zahl $n\in X$ auch der
+Nachfolger $n'\in X$ ist.
+Nach dem letzten Axiom ist $\mathbb{N}\subset X$, oder anders ausgedrückt,
+die Aussage $P(n)$ ist wahr für jede natürliche Zahl.
+
+\subsubsection{Addition}
+Aus der Nachfolgereigenschaft lässt sich durch wiederholte Anwendung
+die vertrautere Addition konstruieren.
+\index{Addition!in $\mathbb{N}$}%
+Um die Zahl $n\in\mathbb{N}$ um $m\in\mathbb{N}$ zu vermehren, also
+$n+m$ auszurechnen, kann man rekursive Regeln
+\begin{align*}
+n+0&=n\\
+n+m'&=(n+m)'
+\end{align*}
+festlegen.
+Nach diesen Regeln ist
+\[
+5+3
+=
+5+2'
+=
+(5+2)'
+=
+(5+1')'
+=
+((5+1)')'
+=
+((5+0')')'
+=
+(((5)')')'.
+\]
+Dies ist genau die Art und Weise, wie kleine Kinder Rechnen lernen.
+Sie Zählen von $5$ ausgehend um $3$ weiter.
+Der dritte Nachfolger von $5$ heisst üblicherweise $8$.
+
+Die algebraische Struktur, die hier konstruiert worden ist, heisst
+eine Halbgruppe.
+Allerdings kann man darin zum Beispiel nur selten Gleichungen
+lösen, zum Beispiel hat $3+x=1$ keine Lösung.
+Die Addition ist nicht immer umkehrbar.
+
+\subsubsection{Multiplikation}
+Es ist klar, dass auch die Multiplikation definiert werden kann, 
+sobald die Addition definiert ist.
+Die Rekursionsformeln
+\begin{align}
+n\cdot 0 &= 0 \notag \\
+n\cdot m' &= n\cdot m + n
+\label{buch:zahlen:multiplikation-rekursion}
+\end{align}
+legen jedes Produkt von natürlichen Zahlen fest, zum Beispiel
+\[
+5\cdot 3
+=
+5\cdot 2'
+=
+5\cdot 2 + 5
+=
+5\cdot 1' + 5
+=
+5\cdot 1 + 5 + 5
+=
+5\cdot 0' + 5 + 5
+=
+5\cdot 0 + 5 + 5 + 5
+=
+5 + 5 + 5.
+\]
+Doch auch bezüglich der Multiplikation ist $\mathbb{N}$ unvollständig,
+die Beispielgleichung $3x=1$ hat keine Lösung in $\mathbb{N}$.
+
+\subsubsection{Rechenregeln}
+Aus den Definitionen lassen sich auch die Rechenregeln ableiten,
+die man für die alltägliche Rechnung braucht.
+Zum Beispiel kommt es nicht auf die Reihenfolge der Summanden
+oder Faktoren an. 
+Das {\em Kommutativgesetz} besagt
+\[
+a+b=b+a
+\qquad\text{und}\qquad
+a\cdot b = b\cdot a.
+\]
+\index{Kommutativgesetz}%
+Die Kommutativität der Addition werden wir auch in allen weiteren
+Konstruktionen voraussetzen.
+Die Kommutativität des Produktes ist allerdings weniger selbstverständlich
+und wird beim Matrizenprodukt nur noch für spezielle Faktoren zutreffen.
+
+Eine Summe oder ein Produkt mit mehr als zwei Summanden bzw.~Faktoren
+kann in jeder beliebigen Reihenfolge ausgewertet werden,
+\[
+(a+b)+c
+=
+a+(b+c)
+\qquad\text{und}\qquad
+(a\cdot b)\cdot c
+=
+a\cdot (b\cdot c)
+\]
+dies ist das Assoziativgesetz.
+Es gestattet auch eine solche Summe oder ein solches Produkt einfach
+als $a+b+c$ bzw.~$a\cdot b\cdot c$ zu schreiben, da es ja keine Rolle
+spielt, in welcher Reihenfolge man die Teilprodukte berechnet.
+
+Die Konstruktion der Multiplikation als iterierte Addition mit Hilfe
+der Rekursionsformel \eqref{buch:zahlen:multiplikation-rekursion}
+hat auch zur Folge, dass die {\em Distributivgesetze}
+\[
+a\cdot(b+c) = ab+ac
+\qquad\text{und}\qquad
+(a+b)c = ac+bc
+\]
+gelten.
+Bei einem nicht-kommutativen Produkt ist es hierbei notwendig,
+zwischen Links- und Rechts-Distributivgesetz zu unterscheiden.
+
+Die Distributivgesetze drücken die wohlbekannte Regel des
+Ausmultiplizierens aus.
+Ein Distributivgesetz ist also grundlegend dafür, dass man mit den
+Objekten so rechnen kann, wie man das in der elementaren Algebra 
+gelernt hat.
+Auch die Distributivgesetze sind daher Rechenregeln, die wir in
+Zukunft immer dann fordern werden, wenn Addition und Multiplikation
+definiert sind.
+Sie gelten immer für Matrizen.
+
+\subsubsection{Teilbarkeit}
+Die Lösbarkeit von Gleichungen der Form $ax=b$ mit $a,b\in\mathbb{N}$
+gibt Anlass zum sehr nützlichen Konzept der Teilbarkeit.
+\index{Teilbarkeit}%
+Die Zahl $b$ heisst teilbar durch $a$, wenn die Gleichung $ax=b$ eine
+Lösung in $\mathbb{N}$ hat.
+\index{teilbar}%
+Jede natürlich Zahl $n$ ist durch $1$ und durch sich selbst teilbar,
+denn $n\cdot 1 = n$.
+Andere Teiler sind dagegen nicht selbstverständlich.
+Die Zahlen
+\[
+\mathbb{P}
+=
+\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\dots\}
+\]
+haben keine weiteren Teiler. Sie heissen {\em Primzahlen}.
+\index{Primzahl}%
+Die Menge der natürlichen Zahlen ist die naheliegende Arena
+für die Zahlentheorie.
+\index{Zahlentheorie}%
+
+\subsubsection{Konstruktion der natürlichen Zahlen aus der Mengenlehre}
+Die Peano-Axiome postulieren, dass es natürliche Zahlen gibt.
+Es werden keine Anstrengungen unternommen, die natürlichen Zahlen
+aus noch grundlegenderen mathematischen Objekten zu konstruieren.
+Die Mengenlehre bietet eine solche Möglichkeit.
+
+Da die natürlichen Zahlen das Konzept der Anzahl der Elemente einer
+Menge abstrahieren, gehört die leere Menge zur Zahl $0$.
+Die Zahl $0$ kann also durch die leere Menge $\emptyset = \{\}$
+wiedergegeben werden.
+
+Der Nachfolger muss jetzt als eine Menge mit einem Element konstruiert
+werden.
+Das einzige mit Sicherheit existierende Objekt, das für diese Menge
+zur Verfügung steht, ist $\emptyset$.
+Zur Zahl $1$ gehört daher die Menge $\{\emptyset\}$, eine Menge mit
+genau einem Element.
+Stellt die Menge $N$ die Zahl $n$ dar, dann können wir die zu $n+1$
+gehörige Menge $N'$ dadurch konstruieren, dass wir zu den Elemente
+von $N$ ein zusätzliches Element hinzufügen, das noch nicht in $N$ ist,
+zum Beispiel $\{N\}$:
+\[
+N' = N \cup \{ N \}.
+\]
+
+Die natürlichen Zahlen existieren also, wenn wir akzeptieren, dass es
+Mengen gibt.
+Die natürlichen Zahlen sind dann nacheinander die Mengen
+\begin{align*}
+0 &= \emptyset 
+\\
+1 &= 0 \cup \{0\} = \emptyset \cup \{0\} = \{0\}
+\\
+2 &= 1 \cup \{1\} = \{0\}\cup\{1\} = \{0,1\}
+\\
+3 &= 2 \cup \{2\} = \{0,1\}\cup \{2\} = \{0,1,2\}
+\\
+&\phantom{n}\vdots
+\\
+n+1&= n \cup \{n\} = \{0,\dots,n-1\} \cup \{n\} = \{0,1,\dots,n\}
+\\
+&\phantom{n}\vdots
+\end{align*}
+
+\subsubsection{Natürliche Zahlen als Äquivalenzklassen}
+Im vorangegangenen Abschnitt haben wir die natürlichen Zahlen aus
+der leeren Menge schrittweise sozusagen ``von unten'' aufgebaut.
+Wir können aber auch eine Sicht ``von oben'' einnehmen.
+Dazu definieren wir, was eine endliche Menge ist und was es heisst,
+dass endliche Mengen gleiche Mächtigkeit haben.
+
+\begin{definition}
+Eine Menge $A$ heisst {\em endlich}, wenn es jede injektive Abbildung
+$A\to A$ auch surjektiv ist.
+\index{endlich}%
+Zwei endliche Mengen $A$ und $B$ heissen {\em gleich mächtig},
+\index{gleich mächtig}%
+in Zeichen $A\sim B$, wenn es eine Bijektion
+$A\to B$ gibt.
+\end{definition}
+
+Der Vorteil dieser Definition ist, dass sie die früher definierten 
+natürlichen Zahlen nicht braucht, diese werden jetzt erst konstruiert.
+Dazu fassen wir in der Menge aller endlichen Mengen die gleich mächtigen
+Mengen zusammen, bilden also die Äquivalenzklassen der Relation $\sim$.
+
+Der Vorteil dieser Sichtweise ist, dass die natürlichen Zahlen ganz
+explizit als die Anzahlen von Elementen einer endlichen Menge entstehen.
+Eine natürlich Zahl ist also eine Äquivalenzklasse
+$\llbracket A\rrbracket$, die alle endlichen Mengen enthält,  die die
+gleiche Mächtigkeit wie $A$ haben.
+Zum Beispiel gehört dazu auch die Menge, die im vorangegangenen
+Abschnitt aus der leeren Menge aufgebaut wurde.
+
+Die Mächtigkeit einer endlichen Menge $A$ ist die Äquivalenzklasse, in der
+die Menge drin ist: $|A| = \llbracket A\rrbracket\in \mathbb{N}$ nach 
+Konstruktion von $\mathbb{N}$.
+Aus logischer Sicht etwas problematisch ist allerdings, dass wir 
+von der ``Menge aller endlichen Mengen'' sprechen ohne uns zu versichern,
+dass dies tatsächlich eine zulässige Konstruktion ist.
+
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex
new file mode 100644
index 0000000..9d2f59e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex
@@ -0,0 +1,177 @@
+%
+% rational.tex -- rationale Zahlen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+% !TeX spellcheck = de_CH
+\section{Rationale Zahlen
+\label{buch:section:rationale-zahlen}}
+\rhead{Rationale Zahlen}
+In den ganzen Zahlen sind immer noch nicht alle linearen Gleichungen
+lösbar, es gibt keine ganze Zahl $x$ mit $3x=1$.
+Die nötige Erweiterung der ganzen Zahlen lernen Kinder noch bevor sie
+die negativen Zahlen kennenlernen.
+
+Wir können hierbei denselben Trick anwenden,
+wie schon beim Übergang von den natürlichen zu den ganzen Zahlen.
+Wir kreieren wieder Paare $(z, n)$, deren Elemente nennen wir \emph{Zähler} und
+\emph{Nenner}, wobei $z, n \in \mathbb Z$ und zudem $n \ne 0$.
+Die Rechenregeln für Addition und Multiplikation lauten
+\[
+(a, b) + (c, d)
+=
+(ad + bc, bd)
+\qquad \text{und} \qquad
+(a, b) \cdot (c, d)
+=
+(ac, bd)
+.
+\]
+Die ganzen Zahlen lassen sich als in dieser Darstellung als
+$z \mapsto (z, 1)$ einbetten.
+
+Ähnlich wie schon bei den ganzen Zahlen ist diese Darstellung
+aber nicht eindeutig.
+Zwei Paare sind äquivalent, wenn sich deren beide Elemente um denselben Faktor
+unterscheiden,
+\[
+(a, b)
+\sim
+(c, d)
+\quad \Leftrightarrow \quad
+\exists \lambda \in \mathbb Z \colon
+\lambda a = c
+\wedge
+\lambda b = d
+.
+\]
+Dass es sich hierbei wieder um eine Äquivalenzrelation handelt, lässt sich
+einfach nachprüfen.
+
+Durch die neuen Regen gibt es nun zu jedem Paar $(a, b)$ mit $a \ne 0$
+ein Inverses $(b, a)$ bezüglich der Multiplikation,
+wie man anhand der folgenden Rechnung sieht,
+\[
+(a, b) \cdot (b, a)
+=
+(a \cdot b, b \cdot a)
+=
+(a \cdot b, a \cdot b)
+\sim
+(1, 1)
+.
+\]
+
+\subsubsection{Brüche}
+Rationale Zahlen sind genau die Äquivalenzklassen dieser Paare $(a, b)$ von
+ganzen Zahlen $a$ und $b\ne 0$.
+Da diese Schreibweise recht unhandlich ist, wird normalerweise die Notation
+als Bruch $\frac{a}{b}$ verwendet.
+Die Rechenregeln werden dadurch zu den wohlvertrauten
+\[
+\frac{a}{b}+\frac{c}{d}
+=
+\frac{ad+bc}{bd},
+\qquad\text{und}\qquad
+\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}
+=
+\frac{ac}{bd}
+\]
+und die speziellen Brüche $\frac{0}{b}$ und $\frac{1}{1}$ erfüllen die
+Regeln
+\[
+\frac{a}{b}+\frac{0}{d} = \frac{ad}{bd} \sim \frac{a}{b},
+\qquad
+\frac{a}{b}\cdot \frac{0}{c} = \frac{0}{bc}
+\qquad\text{und}\qquad
+\frac{a}{b}\cdot \frac{1}{1} = \frac{a}{b}.
+\]
+Wir sind uns gewohnt, die Brüche $\frac{0}{b}$ mit der Zahl $0$ und
+$\frac{1}{1}$ mit der Zahl $1$ zu identifizieren.
+
+\subsubsection{Kürzen}
+Wie bei den ganzen Zahlen entstehen durch die Rechenregeln viele Brüche,
+denen wir den gleichen Wert zuordnen möchten.
+Zum Beispiel folgt
+\[
+\frac{ac}{bc} - \frac{a}{b} 
+=
+\frac{abc-abc}{b^2c}
+=
+\frac{0}{b^2c},
+\]
+wir müssen also die beiden Brüche als gleichwertig betrachten.
+Allgemein gelten die zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$
+als äquivalent, wenn $ad-bc= 0$ gilt.
+Dies ist gleichbedeutend mit der früher definierten Äquivalenzrelation
+und bestätigt, dass die beiden Brüche
+\[
+\frac{ac}{bc} 
+\qquad\text{und}\qquad
+\frac{a}{b}
+\]
+als gleichwertig zu betrachten sind.
+Der Übergang von links nach rechts heisst {\em Kürzen},
+\index{Kürzen}%
+der Übergang von rechts nach links heisst {\em Erweitern}.
+\index{Erweitern}%
+Eine rationale Zahl ist also eine Menge von Brüchen, die durch
+Kürzen und Erweitern ineinander übergeführt werden können.
+
+Die Menge der Äquivalenzklassen von Brüchen ist die Menge $\mathbb{Q}$
+der rationalen Zahlen.
+In $\mathbb{Q}$ sind Addition, Subtraktion und Multiplikation mit den
+gewohnten Rechenregeln, die bereits in $\mathbb{Z}$ gegolten haben,
+uneingeschränkt möglich.
+
+\subsubsection{Kehrwert}
+Zu jedem Bruch $\frac{a}{b}$ lässt sich der Bruch $\frac{b}{a}$,
+der sogenannte {\em Kehrwert}
+\index{Kehrwert}
+konstruieren.
+Er hat die Eigenschaft, dass
+\[
+\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}
+=
+\frac{ab}{ba}
+=
+1
+\]
+gilt.
+Der Kehrwert ist also das multiplikative Inverse, jede von $0$ verschiedene
+rationale Zahl hat eine Inverse.
+
+\subsubsection{Lösung von linearen Gleichungen}
+Mit dem Kehrwert lässt sich jetzt jede lineare Gleichung lösen.
+\index{lineares Gleichungssystem}%
+Die Gleichung $ax=b$ hat die Lösung
+\[
+ax = \frac{a}{1} \frac{u}{v} = \frac{b}{1}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\frac{1}{a}
+ \frac{a}{1} \frac{u}{v} = \frac{1}{a}\frac{b}{1} 
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\frac{u}{v} = \frac{b}{a}.
+\]
+Dasselbe gilt auch für rationale Koeffizienten $a$ und $b$.
+In der Menge $\mathbb{Q}$ kann man also beliebige lineare Gleichungen
+lösen.
+
+\subsubsection{Körper}
+$\mathbb{Q}$ ist ein Beispiel für einen sogenannten {\em Körper}, 
+\index{Körper}%
+in dem die arithmetischen Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation
+und Division möglich sind mit der einzigen Einschränkung, dass nicht durch
+$0$ dividiert werden kann.
+Körper sind die natürliche Bühne für die lineare Algebra, da sich lineare
+Gleichungssysteme ausschliesslich mit den Grundoperation lösen lassen.
+
+Wir werden im Folgenden für verschiedene Anwendungszwecke weitere Körper
+konstruieren, zum Beispiel die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die
+rationalen Zahlen $\mathbb{C}$.
+Wann immer die Wahl des Körpers keine Rolle spielt, werden wir den
+Körper mit $\Bbbk$ bezeichnen.
+\index{$\Bbbk$}%
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
new file mode 100644
index 0000000..d5a193f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
@@ -0,0 +1,88 @@
+%
+% reell.tex -- reelle Zahlen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Reelle Zahlen
+\label{buch:section:reelle-zahlen}}
+\rhead{Reelle Zahlen}
+In den rationalen Zahlen lassen sich algebraische Gleichungen höheren
+Grades immer noch nicht lösen.
+Dass die Gleichung $x^2=2$ keine rationale Lösung hat, ist schon den
+Pythagoräern aufgefallen.
+Die geometrische Intuition der Zahlengeraden führt uns dazu, nach
+Zahlen zu suchen, die gute Approximationen für $\sqrt{2}$ sind.
+Wir können zwar keinen Bruch angeben, dessen Quadrat $2$ ist, aber
+wenn es eine Zahl $\sqrt{2}$ mit dieser Eigenschaft gibt, dann können
+wir dank der Ordnungsrelation feststellen, dass sie in all den folgenden,
+kleiner werdenden Intervallen
+\[
+\biggl[1,\frac32\biggr],\;
+\biggl[\frac75,\frac{17}{12}\biggr],\;
+\biggl[\frac{41}{29},\frac{99}{70}\biggr],\;
+\biggl[\frac{239}{169},\frac{577}{408}\biggr],\;
+\dots
+\]
+enthalten sein muss\footnote{Die Näherungsbrüche konvergieren sehr
+schnell, sie sind mit der sogenannten Kettenbruchentwicklung der
+Zahl $\sqrt{2}$ gewonnen worden.}.
+Jedes der Intervalle enthält auch das nachfolgende Intervall, und
+die intervalllänge konvergiert gegen 0.
+Eine solche \emph{Intervallschachtelung} beschreibt also genau eine Zahl,
+aber möglicherweise keine, die sich als Bruch schreiben lässt.
+
+Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann man auch als Menge
+aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ betrachten.
+Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn es für jedes $\varepsilon>0$
+eine Zahl $N(\varepsilon)$ gibt derart, dass $|a_n-a_m|<\varepsilon$
+für $n,m>N(\varepsilon)$.
+Ab einer geeigneten Stelle $N(\varepsilon)$ sind die Folgenglieder also
+mit Genauigkeit $\varepsilon$ nicht mehr unterscheidbar.
+
+Nicht jede Cauchy-Folge hat eine rationale Zahl als Grenzwert.
+Da wir für solche Folgen noch keine Zahlen als Grenzwerte haben,
+nehmen wir die Folge als eine mögliche Darstellung der Zahl.
+Die Folge kann man ja auch verstehen als eine Vorschrift, wie man
+Approximationen der Zahl berechnen kann.
+
+Zwei verschiedene Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ und
+$(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ 
+können den gleichen Grenzwert haben.
+So sind 
+\[
+\begin{aligned}
+a_n&\colon&&
+1,\frac32,\frac75,\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\frac{239}{169},
+\frac{577}{408},\dots
+\\
+b_n&\colon&&
+1,1.4,1.41,1.412,1.4142,1.41421,1.414213,1.4142135,\dots
+\end{aligned}
+\]
+beide Folgen, die die Zahl $\sqrt{2}$ approximieren.
+Im Allgemeinen tritt dieser Fall ein, wenn $|a_n-b_n|$ eine
+Folge mit Grenzwert $0$ oder Nullfolge ist.
+Eine reelle Zahl ist also die Menge aller rationalen Cauchy-Folgen,
+deren Differenzen Nullfolgen sind.
+
+Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann man also ansehen
+als bestehend aus Mengen von Folgen, die alle den gleichen Grenzwert
+haben.
+Die Rechenregeln der Analysis 
+\[
+\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n)
+=
+\lim_{n\to\infty} a_n +
+\lim_{n\to\infty} b_n
+\qquad\text{und}\qquad
+\lim_{n\to\infty} a_n \cdot b_n
+=
+\lim_{n\to\infty} a_n \cdot
+\lim_{n\to\infty} b_n 
+\]
+stellen sicher, dass sich die Rechenoperationen von den rationalen
+Zahlen auf die reellen Zahlen übertragen lassen.
+
+
+
+