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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex index 0ff1004..9848469 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex @@ -303,6 +303,36 @@ genauer untersucht. Das Beispiel suggeriert, dass man sich die Elemente von $G/H$ als Reste vorstellen kann. +\subsubsection{Darstellungen} +Abstrakt definierte Gruppen können schwierig zu verstehen sein. +Oft hilft es, wenn man eine geometrische Darstellung der Gruppenoperation +finden kann. +Die Gruppenelemente werden dann zu umkehrbaren linearen Operationen +auf einem geeigneten Vektorraum. + +\begin{definition} +\label{buch:vektorenmatrizen:def:darstellung} +Eine Darstellung einer Gruppe $G$ ist ein Homomorphismus +$G\to\operatorname{GL}_(\mathbb{R})$. +\index{Darstellung} +\end{definition} + +\begin{beispiel} +Die Gruppen $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$, +$\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ oder $\operatorname{SO}(n)$ +sind alle Teilmengen von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R}$. +Die Einbettungsabbildung $G\hookrightarrow \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ +ist damit automatisch eine Darstellung, sie heisst auch die +{\em reguläre Darstellung} der Gruppe $G$. +\index{reguläre Darstellung} +\end{beispiel} + +In Kapitel~\ref{buch:chapter:permutationen} wird gezeigt, +dass Permutationen einer endlichen eine Gruppe bilden und wie +sie durch Matrizen dargestellt werden können. + + + |