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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex index 787b0f5..ae91489 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex @@ -20,7 +20,7 @@ Im Folgenden werden wir $\Bbbk^n =M_{n\times 1}(\Bbbk)$ setzen und den Fall der Vektoren nicht mehr separat diskutieren. Die Addition und Multiplikation mit Skalaren ist in $M_{m\times n}(\Bbbk)$ komponentenweise definiert. -Wir können natürlich auch ein Produkt komponentenweise definieren, +Wir können natürlich auch ein Produkt von Matrizen komponentenweise definieren, dies ist das Hadamard-Produkt. \begin{definition} @@ -41,11 +41,12 @@ Dies ist jedoch nur interessant, wenn $M_{m\times n}(\Bbbk)$ mit diesem Produkt eine interessante algebraische Struktur erhält. Dazu müssen die üblichen Verträglichkeitsgesetze zwischen den Vektorraumoperationen von $M_{m\times n}(\Bbbk)$ und dem neuen Produkt -gelten, wir erhalten dann eine Algebra. +gelten, erst so erhalten wir eine Algebra. Da alle Operationen elementweise definiert sind, muss man auch alle Rechengesetze nur elementweise prüfen. Es gilt -\begin{align*} +\[ +\begin{aligned} A\odot(B\odot C) &= (A\odot B)\odot C &&\Leftrightarrow& a_{i\!j}(b_{i\!j}c_{i\!j}) &= (a_{i\!j}b_{i\!j})c_{i\!j} @@ -65,7 +66,8 @@ a_{i\!j}(b_{i\!j}+c_{i\!j}) &= a_{i\!j}b_{i\!j} + a_{i\!j}c_{i\!j} A\odot(\lambda B)&=\lambda(A\odot B) &&\Leftrightarrow& a_{i\!j}(\lambda b_{i\!j})&=\lambda(a_{i\!j}b_{i\!j}) -\end{align*} +\end{aligned} +\] für alle $i,j$. Das Hadamard-Produkt ist kommutativ, da die Multiplikation in $\Bbbk$ @@ -119,7 +121,7 @@ Funktion $1$ auf $[m]\times[n]$. \subsection{Hadamard-Produkt und Matrizenalgebra \label{buch:vektorenmatrizen:subsection:vertraeglichkeit}} -Es ist nur in Ausnahmefällen, Hadamard-Produkt und Matrizen-Produkt +Es ist nur in Ausnahmefällen sinnvoll, Hadamard-Produkt und Matrizen-Produkt gleichzeitig zu verwenden. Das liegt daran, dass die beiden Produkte sich überhaupt nicht vertragen. @@ -207,7 +209,7 @@ Matrizenprodukt der Diagonalmatrizen. Für die Hadamard-Matrix ist die Einbettung etwas komplizierter. Wir machen aus einer Matrix erst einen Vektor, den wir dann mit -dem $\operatorname{diag}$ in eine Diagonalmatrix umwandeln: +dem Operator $\operatorname{diag}$ in eine Diagonalmatrix umwandeln: \[ \begin{pmatrix} a_{11}&\dots&a_{1n}\\ @@ -224,7 +226,7 @@ a_{21}\\ a_{2n}\\ \vdots\\ a_{nn} -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. \] Bei dieser Abbildung geht die Hadamard-Multiplikation wieder in das gewöhnliche Matrizenprodukt über. |