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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex index e1dda6d..1754ce6 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex @@ -11,10 +11,67 @@ sehr spezielle Algebren, man nennt sie Körper. In diesem Abschnitt sollen die wichtigsten Eigenschaften von Körpern zusammengetragen werden. +\begin{definition} +Ein Körper $K$ ist ein additive Gruppe mit einer multiplikativen +Verknüpfung derart, dass $K^* = K \setminus \{0\}$ eine Gruppe bezüglich +der Multiplikation ist. +Ausserdem gelten die Distributivgesetze +\[ +(a+b)c = ac+bc +\qquad a,b,c\in K. +\] +\end{definition} -XXX TODO +Ein Körper ist also ein Ring derart, dass die Einheitengruppe $K^*$ ist. +\begin{beispiel} +Die Menge $\mathbb{F}_2=\{0,1\}$ mit der Additions- und +Mutliplikationstabelle +\begin{center} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline ++&0&1\\ +\hline +0&0&1\\ +1&1&0\\ +\hline +\end{tabular} +\qquad +\qquad +\qquad +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +\cdot&0&1\\ +\hline +0&0&0\\ +1&0&1\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +ist der kleinste mögliche Körper. +\end{beispiel} +\begin{beispiel} +Die Menge der rationalen Funktionen +\[ +\mathbb{Q}(z) += +\biggl\{ +f(z) += +\frac{p(z)}{q(z)} +\, +\bigg| +\, +\begin{minipage}{5.5cm} +\raggedright +$p(z), q(z)$ sind Polynome mit rationalen Koeffizienten, $q(z)\ne 0$ +\end{minipage} +\, +\biggr\} +\] +ist ein Körper. +\end{beispiel} |