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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex index 4e3454d..23d16a8 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex @@ -590,6 +590,16 @@ die zu $A$ {\em inverse Matrix}. \index{inverse Matrix} Sie wird auch $C=A^{-1}$ geschrieben. +Die Definition der inversen Matrix stellt sicher, dass $AA^{-1}=E$ gilt, +daraus folgt aber noch nicht, dass auch $A^{-1}A=E$ ist. +Die Eigenschaften der Matrizenmultiplikation stellen jedoch sicher, +dass die Menge der invertierbaren Matrizen eine Struktur bilden, +die man Gruppe nennt, die in Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} +genauer untersucht wird. +In diesem Zusammenhang wird dann auf +Seite~\pageref{buch:vektorenmatrizen:satz:gruppenregeln} +die Eigenschaft $A^{-1}A=E$ ganz allgemein gezeigt. + \subsubsection{Determinante} % @@ -839,7 +849,7 @@ Das Bild einer $m\times n$-Matrix $A$ ist die Menge Zwei Vektoren $a,b\in\operatorname{im}$ haben Urbilder $u,w\in V$ mit $f(u)=a$ und $f(w)=b$. -Für Summe und Skalarprodukt folgt +Für Summe und Multiplikation mit Skalaren folgt \[ \begin{aligned} a+b&= f(u)+f(v)=f(u+v) &&\Rightarrow a+b\in\operatorname{im}f\\ |