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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex index 78cddad..33169bd 100755 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex @@ -60,7 +60,7 @@ u = \begin{pmatrix}u_1&u_2&\dots&u_m\end{pmatrix} \in \Bbbk^m. \end{definition} Für Vektoren gleicher Dimension sind zwei Rechenoperationen definiert. -Die {\em Addition von Vektoren} $a,a\in\Bbbk^n$ und die Multiplikation +Die {\em Addition von Vektoren} $a,b\in\Bbbk^n$ und die Multiplikation \index{Addition von Vektoren}% eines Vektors mit einem Skalar $\lambda\in\Bbbk$ erfolgt elementweise: \[ @@ -89,22 +89,21 @@ Die üblichen Rechenregeln sind erfüllt, nämlich & a+b&=b+a && -&&\forall a,b\in V +&&\forall a,b\in \Bbbk^n \\ &\text{Assoziativgesetze:} & (a+b)+c&=a+(b+c) & (\lambda\mu)a&=\lambda(\mu a) -&&\forall a,b,c\in V,\; \lambda,\mu\in\Bbbk +&&\forall a,b,c\in \Bbbk^n,\; \lambda,\mu\in\Bbbk \\ &\text{Distributivgesetze:} & \lambda(a+b)&=\lambda a + \lambda b & (\lambda+\mu)a&=\lambda a + \mu a -&&\forall a,b\in V,\; \lambda,\mu\in\Bbbk. -\\ +&&\forall a,b\in \Bbbk^n,\; \lambda,\mu\in\Bbbk. \end{aligned} \label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vrgesetze} \end{equation} @@ -120,8 +119,8 @@ des dreidimensionalen Raumes, es gibt keine Entsprechung dafür in anderen Dimensionen. \subsubsection{Standardbasisvektoren} -\index|{Standardbasisvektor}% -In $\Bbbk^n$ findet man eine Menge von speziellen Vektoren, durch die +\index{Standardbasisvektor}% +In $\Bbbk^n$ findet man die folgenden speziellen Vektoren, durch die man alle anderen Vektoren ausdrücken kann. Mit den sogenannten {\em Standardbasisvektoren} \[ @@ -210,8 +209,9 @@ Eigenschaften eine grosse Zahl sehr verschiedenartiger mathematischer Objekte beschreiben kann. Alle Erkenntnisse, die man ausschliesslich aus Vektorraumeigenschaften gewonnen hat, sind auf alle diese Objekte übertragbar. -Im folgenden werden wir alle Aussagen für einen Vektorraum $V$ formulieren, -wenn wir die Darstellung als Tupel $\Bbbk^n$ nicht brauchen. +Im Folgenden werden wir danach streben, Aussagen für einen +abstrakten Vektorraum $V$ zu formulieren, +wenn wir die Darstellung als Tupel in $\Bbbk^n$ nicht brauchen. \subsubsection{Gleichungssysteme in Vektorform} Die Vektorraum-Operationen erlauben nun auch, lineare Gleichungssysteme @@ -305,7 +305,7 @@ x_1'a_1 &+& \dots &+& x_n'a_n &=& b \\ \end{equation} Die Frage, ob ein Gleichungssystem genau eine Lösung hat, hängt also damit zusammen, ob es Zahlen $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ gibt, für -die die Gleichung~\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:linabhkomb} +die die Gleichung~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:linabhkomb} erfüllt ist. \begin{definition} @@ -317,7 +317,7 @@ $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\Bbbk$ gibt, die nicht alle $0$ sind, so dass \end{equation} Die Vektoren heissen linear abhängig, wenn aus \eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:linabhdef} -folgt, dass alle $\lambda_1,\dots,\lambda_n=0$ sind. +folgt, dass alle $\lambda_1=0,\dots,\lambda_n=0$ sind. \end{definition} Lineare Abhängigkeit der Vektoren $a_1,\dots,a_n$ bedeutet auch, dass @@ -337,14 +337,15 @@ man sagt $a_1,\dots,a_n$ sind (untereinander) linear abhängig. \subsubsection{Basis} Ein lineares Gleichungssystem fragt danach, ob und wie ein Vektor $b$ als Linearkombination der Vektoren $a_1,\dots,a_n$ ausgedrückt werden kann. -Wenn dies eindeutig möglich ist, dann haben die Vektoren $a_1,\dots,a_n$ +Wenn dies immer eindeutig möglich ist, dann haben die Vektoren $a_1,\dots,a_n$ offenbar eine besondere Bedeutung. \begin{definition} \index{Basis}% \index{Dimension}% Eine linear unabhängig Menge von Vektoren -$\mathcal{B}=\{a_1,\dots,a_n\}\subset V$ +$\mathcal{B}=\{a_1,\dots,a_n\}\subset V$, +mit der sich jeder Vektor von $V$ linear kombinieren lässt, heisst {\em Basis} von $V$. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in $V$ heisst {\em Dimension} von $V$. @@ -404,14 +405,14 @@ M_{m,n}(\Bbbk) = \{ A\;|\; \text{$A$ ist eine $m\times n$-Matrix}\}. \] -Falls $m=n$ gilt, heisst die Matrix $A$ auch {\em quadratisch} +Falls $m=n$ gilt, heisst die Matrix $A$ auch {\em quadratisch}. \index{quadratische Matrix}% Man kürzt die Menge der quadratischen Matrizen als $M_n(\Bbbk) = M_{n\times n}(\Bbbk)$ ab. \end{definition} Die $m$-dimensionalen Spaltenvektoren $v\in \Bbbk^m$ sind $m\times 1$-Matrizen -$v\in M_{n\times 1}(\Bbbk)$, die $n$-dimensionalen Zeilenvetoren $u\in\Bbbk^n$ +$v\in M_{n\times 1}(\Bbbk)$, die $n$-dimensionalen Zeilenvektoren $u\in\Bbbk^n$ sind $1\times n$-Matrizen $v\in M_{1\times n}(\Bbbk)$. Eine $m\times n$-Matrix $A$ mit den Koeffizienten $a_{i\!j}$ besteht aus den $n$ Spaltenvektoren @@ -476,9 +477,9 @@ c_{i\!j} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{k\!j}. Die Koeffizienten $a_{ik}$ kommen aus der Zeile $i$ von $A$, die Koeffizienten $b_{k\!j}$ stehen in der Spalte $j$ von $B$, die Multiplikationsregel -\eqref{buch:vektoren-unbd-matrizen:eqn:matrixmultiplikation} -besagt also, dass das Element $c_{i\!j}$ entsteht als das Produkt -der Zeile $i$ von $A$ mit der Spalte $j$ von $C$. +\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:matrixmultiplikation} +besagt also, dass das Element $c_{i\!j}$ als das Produkt +der Zeile $i$ von $A$ mit der Spalte $j$ von $C$ entsteht. \subsubsection{Einheitsmatrix} Welche $m\times m$-Matrix $I\in M_{m}(\Bbbk)$ hat die Eigenschaft, dass @@ -488,8 +489,9 @@ Die Bedingung $IA=A$ bedeutet \[ a_{i\!j} = \delta_{i1}a_{1j} + \dots + \delta_{im}a_{mj}, \] -Da auf der linken Seite nur $a_{i\!j}$ vorkommt, müssen alle Terme auf der -rechten Seite verschwinden ausser dem Term mit $a_{i\!j}$, dessen +Da auf der linken Seite nur $a_{i\!j}$ vorkommt, müssen +auf der rechten Seite alle Terme +verschwinden ausser dem Term mit $a_{i\!j}$, dessen Koeffizient $\delta_{ii}=1$ sein muss. Die Koeffizienten sind daher \[ @@ -497,7 +499,7 @@ Die Koeffizienten sind daher = \begin{cases} 1&\qquad i=j\\ -0&\qquad\text{sonst} +0&\qquad\text{sonst.} \end{cases} \] Die Zahlen $\delta_{i\!j}$ heissen auch das {\em Kronecker-Symbol} oder @@ -563,9 +565,9 @@ a_{m1}x_1 &+& \dots &+& a_{mn}x_n &=& 0 \end{linsys} \label{buch:grundlagen:eqn:homogenessystem} \end{equation} -eine nichttriviale Lösung haben muss. +nur die Nulllösung haben kann. Das Gleichungssystem $Ax=b$ ist also genau dann eindeutig lösbar, wenn -das homogene Gleichungssystem $Ax=0$ nur die Nulllösung hat. +das Gleichungssystem $Ax=0$ mit gleichen Koeffizienten nur die Nulllösung hat. \subsubsection{Inhomogene und homogene Gleichungssysteme} Ein Gleichungssystem mit $0$ auf der rechten Seite ist also bereits @@ -580,7 +582,7 @@ Ein homogenes Gleichungssytem $Ax=0$ hat immer mindestens die Lösung $x=0$, man nennt sie auch die {\em triviale} Lösung. \index{triviale Lösung}% Eine Lösung $x\ne 0$ heisst auch eine nichttriviale Lösung. -Die Lösungen eines inhomgenen Gleichungssystem $Ax=b$ ist also nur dann +Die Lösungen eines inhomogenen Gleichungssystem $Ax=b$ ist also nur dann eindeutig, wenn das zugehörige homogene Gleichungssystem eine nichttriviale Lösung hat. @@ -600,7 +602,7 @@ a_{m1}&\dots &a_{mn}&b_m \\ \hline \end{tabular} \] -geschrieben. +eingetragen. Die vertikale Linie erinnert an die Position des Gleichheitszeichens. Das Tableau beinhaltet alle Informationen zur Durchführung des Algorithmus. Der Algorithmus is so gestaltet, dass er nicht mehr Speicher als @@ -683,11 +685,11 @@ Im Idealfall wird ein Tableau der Form \hline \end{tabular} \] -erreicht, was natürlich nur $m=n$ möglich ist. +erreicht, was natürlich nur für $m=n$ möglich ist. Interpretiert man die Zeilen dieses Tableaus wieder als Gleichungen, dann liefert die Zeile $i$ den Wert $x_i=u_i$ für die Variable mit Nummer $i$. -Der Lösungsvektor kann also in der Spalte rechts abgelesen werden. +Der Lösungsvektor kann also in der Spalte ganz rechts abgelesen werden. \begin{figure} \centering @@ -839,7 +841,7 @@ Insbesondere ist die Lösungsmenge $k$-dimensional. Zu jeder quadratischen Matrix $A\in M_n(\Bbbk)$ kann man versuchen, die Gleichungen \[ -Ac_1 = e_1,\quad Ac_2 = e_2, \dots, Ac_n = e_n +Ac_1 = e_1,\quad Ac_2 = e_2, \quad\dots, \quad Ac_n = e_n \] mit den Standardbasisvektoren $e_i$ als rechten Seiten zu lösen, wobei die $c_i$ Vektoren in $\Bbbk^n$ sind. @@ -937,7 +939,7 @@ Kapitel~2 des Skripts \cite{buch:linalg}. Die Determinante der Einheitsmatrix ist $\det(I)=1$. \item Sind zwei Zeilen einer Matrix gleich, dann tritt beim Gauss-Algorithmus -eine Nullzweile auf, die Matrix kann also nicht regulär sein und die +eine Nullzeile auf, die Matrix kann also nicht regulär sein und die Determinante ist $0$. \item \label{buch:linear:determinante:vorzeichen} @@ -945,7 +947,7 @@ Vertauscht man zwei Zeilen einer Matrix, dann kehrt das Vorzeichen der Determinante. \item Addiert man ein Vielfaches einer Zeile der Matrix zu einer anderen Zeile, -dann ändert der Wert der Determinante nicht. +dann ändert der Wert der Determinanten nicht. \item Wird eine Zeile der Matrix mit einer Zahl $\lambda$ multipliziert, dann wird auch der Wert der Determinanten mit $\lambda$ multipliziert. @@ -1067,7 +1069,7 @@ Die Inverse der $n\times n$-Matrix $A$ ist gegeben durch \label{buch:linalg:inverse:formel} \end{equation} Die Transponierte der Matrix auf der rechten Seite (ohne den Vorfaktor -$1/\det(A)$ +$1/\det(A)$) heisst die {\em Adjunkte} $\operatorname{adj}A$ von $A$. \index{Adjunkte}% \end{satz} @@ -1177,7 +1179,9 @@ dass die Produktregel \det (AB) = \det(A) \cdot \det(B) \] gilt. -Daraus folgt auch, dass $\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}$. +Daraus folgt auch, dass $\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}$ +(Details in \cite{buch:linalg}). + % % Lineare Abbildungen @@ -1191,7 +1195,7 @@ und die Darstellung als Matrix mit Hilfe einer Basis eingeführt. \subsubsection{Definition} -Eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen muss so gestaltet sein, +Eine lineare Abbildung zwischen $\Bbbk$-Vektorräumen muss so gestaltet sein, dass die Operationen des Vektorraums erhalten bleiben. Dies wird von der folgenden Definition erreicht. @@ -1213,7 +1217,7 @@ Lineare Abbildungen sind in der Mathematik weit verbreitet, wie die folgenden Beispiele zeigen. \begin{beispiel} -Sie $V=C^1([a,b])$ die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen +Sei $V=C^1([a,b])$ die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall $[a,b]$ und $U=C([a,b])$ die Menge der stetigen Funktion auf $[a,b]$. Die Ableitung $\frac{d}{dx}$ macht aus einer Funktion $f(x)$ die @@ -1285,10 +1289,10 @@ den Basen $\mathcal{B}$ bzw.~$\mathcal{C}$. \index{Matrix einer linearen Abbildung}% Die Matrix einer linearen Abbildung macht Aussagen über eine lineare -Abbilung der rechnerischen Untersuchung zugänglich. +Abbildung der rechnerischen Untersuchung zugänglich. Allerdings hängt die Matrix einer linearen Abbildung von der Wahl der Basis ab. -Gleichzeitig ist dies eine Chance, durch Wahl einer geeigneten Basis +Gleichzeitig ist dies eine Chance: Durch Wahl einer geeigneten Basis kann man eine Matrix in eine Form bringen, die zur Lösung eines Problems optimal geeignet ist. @@ -1364,9 +1368,9 @@ in $U$ bzw.~$V$ gewählten Basen $\mathcal{B}$ bzw.~$\mathcal{C}$. Wechselt man die Basis und verwendet in $U$ die Basis $\mathcal{B}'$ und in $V$ die Basis $\mathcal{C}'$, dann gibt es Matrizen $T_U$ und $T_V$, die die Koordinaten in $U$ bzw.~$V$ von der gestrichenen -Basis in die gestrichen umzurechnen gestattet. +Basis in die ungestrichene umzurechnen gestattet. Ist $A$ die Matrix von $A$ in den Basen $\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$, -dann ist Matrix der gleichen Abbildung in den Basen $\mathcal{B}'$ +dann ist die Matrix der gleichen linearen Abbildung in den Basen $\mathcal{B}'$ und $\mathcal{C}'$ gegeben durch die Matrix \begin{equation} A' = T_VAT_U^{-1}. @@ -1374,12 +1378,14 @@ A' = T_VAT_U^{-1}. \end{equation} \subsubsection{Umkehrabbbildung} -Sei $f$ eine umkehrbare lineare Abbildung $U\to V$ und $g\colon V\to U$. +Sei $f$ eine umkehrbare lineare Abbildung $f\colon U\to V$ und $g\colon V\to U$. die zugehörige Umkehrabbildung. \index{Umkehrabbildung}% -Für zwei Vektoren $u$ und $w$ in $U$ gibt es daher Vektoren $a=g(u)$ -und $b=g(w)$ in $V$ derart, dass $f(a)=u$ und $f(b)=w$. -Weil $f$ linear ist, folgt daraus $f(a+b)=u+w$ und $f(\lambda a)=\lambda a$ +Für zwei Vektoren $u$ und $w$ in $U$ setzen wir $a=g(u)\in V$ +und $b=g(w)\in V$. +Da $g$ die Umkehrabbildung von $f$ ist, folgt $f(a)=u$ und $f(b)=w$. +Weil $f$ linear ist, folgt daraus +$f(a+b)=u+w$ und $f(\lambda a)=\lambda a$ für jedes $\lambda\in\Bbbk$. Damit kann man jetzt \begin{align*} @@ -1417,7 +1423,7 @@ Der Kern oder Nullraum der Matrix $A$ ist die Menge \[ \ker A = -\{ x\in\Bbbk^m \;|\; Ax=0\}. +\{ x\in\Bbbk^n \;|\; Ax=0\}. \] \end{definition} @@ -1455,8 +1461,8 @@ $f(u)=a$ und $f(w)=b$. Für Summe und Multiplikation mit Skalaren folgt \[ \begin{aligned} -a+b &= f(u)+f(v)=f(u+v) & \Rightarrow & a+b &\in\operatorname{im}f\\ -\lambda a &=\lambda f(u) = f(\lambda u) & \Rightarrow & \lambda a &\in\operatorname{im}f, +a+b &= f(u)+f(v)=f(u+v) && \Rightarrow & a+b &\in\operatorname{im}f\phantom{,}\\ +\lambda a &=\lambda f(u) = f(\lambda u) && \Rightarrow & \lambda a &\in\operatorname{im}f, \end{aligned} \] also ist auch das Bild $\operatorname{im}f$ ein Unterraum von $U$. @@ -1478,7 +1484,8 @@ Der {\em Rang} der Matrix $A$ ist die Dimension des Bildraumes von $A$: $\operatorname{rank}A=\dim\operatorname{im} A$. \index{Rang einer Matrix}% \index{rank@$\operatorname{rank}A$}% -Der {\em Defekt} der Matrix $A$ ist die Dimension des Kernes von $A$: +Der {\em Defekt} $\operatorname{def}A$ der Matrix $A$ ist die Dimension +des Kernes von $A$: $\operatorname{def}A=\dim\ker A$. \index{Defekt einer Matrix}% \end{definition} @@ -1586,6 +1593,6 @@ nach dem im vorangegangenen Abschnitt angesprochenen Basiswechsel. Die Pivotspalten beschreiben Vektoren, die durch die Abbildung {\em nicht} zu $0$ gemacht werden. Wendet man $A$ auf die Standardbasisvektoren ab, die zu den -Pivospalten gehören, erhält man also eine Basis für da Bild +Pivospalten gehören, erhält man also eine Basis für das Bild von $A$. |