diff options
Diffstat (limited to 'buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex')
| -rw-r--r-- | buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex | 25 |
1 files changed, 15 insertions, 10 deletions
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex index 433f1e9..ac64fa6 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex @@ -42,7 +42,7 @@ für beliebige Elemente $a,b,c\in R$. Die Distributivgesetze stellen sicher, dass man in $R$ beliebig ausmultiplizieren kann. -Man kann also so rechnen kann, wie man sich das gewohnt ist. +Man kann also so rechnen, wie man sich das gewohnt ist. Es stellt auch sicher, dass die Multiplikation mit $0$ immer $0$ ergibt, denn es ist \[ @@ -101,10 +101,10 @@ bestehend aus den Folgen, die nur für endlich viele Folgenglieder von $0$ verschieden sind. Für eine Folge $a\in c_0(\mathbb{Z})$ gibt es eine Zahl $N$ derart, dass $a_n=0$ für $n\ge N$. -Die konstante Folge $u_n=1$, die in $c(\mathbb{Z})$ erfüllt diese +Die konstante Folge $u_n=1$, die in $c(\mathbb{Z})$ liegt, erfüllt diese Bedingung nicht, die Eins des Ringes $c(\mathbb{Z})$ ist also nicht in $c_0(\mathbb{Z})$. -$c_0(\mathbb{Z})$ ist immer noch ein Ring, aber er hat kein Eins. +$c_0(\mathbb{Z})$ ist immer noch ein Ring, aber er hat keine Eins. \end{beispiel} \begin{beispiel} @@ -195,7 +195,7 @@ $U(R)$ ist eine Gruppe, die sogenannte {\em Einheitengruppe}. \begin{beispiel} Die Menge $M_2(\mathbb{Z})$ ist ein Ring mit Eins, die Einheitengruppe besteht aus den invertierbaren $2\times 2$-Matrizen. -Aus der Formel für +Die Formel für \[ \begin{pmatrix} a&b\\ @@ -216,9 +216,10 @@ $U(M_n(\Bbbk))=\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$. \end{beispiel} \subsubsection{Nullteiler} -Ein möglicher Grund, warum ein Element $r\in R$ nicht invertierbar -ist, kann sein, dass es ein Element $s\in R$ mit $rs=0$ gibt. -Wäre nämlich $t$ ein inverses Element, dann wäre $0=t0 = t(rs) = (tr)s=s$. +Ein möglicher Grund, warum ein Element $r\in R^*$ nicht invertierbar +ist, kann sein, dass es ein Element $s\in R^*$ mit $rs=0$ gibt. +Wäre nämlich $t$ ein inverses Element, dann wäre $0=t0 = t(rs) = (tr)s=s$, +also $s\not\in R^*$, ein Widerspruch. \begin{definition} \label{buch:grundlagen:def:nullteiler} @@ -230,7 +231,7 @@ Ein Ring ohne Nullteiler heisst {\em nullteilerfrei}. \index{nullteilerfrei}% In $\mathbb{R}$ ist man sich gewohnt zu argumentieren, dass wenn ein -Produkt $ab=0$ ist, dann muss einer der Faktoren $a=0$ oder $b=0$ sein. +Produkt $ab=0$ ist, auch einer der Faktoren $a=0$ oder $b=0$ sein muss. Dieses Argument funktioniert nur, weil $\mathbb{R}$ ein nullteilerfreier Ring ist. In $M_2(\mathbb{R})$ ist dies nicht mehr möglich. @@ -318,10 +319,14 @@ $r_2I\subset I$ ist. Ein Unterring $I\subset R$ heisst ein {\em Ideal}, wenn für jedes $r\in R$ gilt $rI\subset I$ und $Ir\subset I$ gilt. \index{Ideal}% -Die Faktorgruppe $R/I$ erhält eine natürliche Ringstruktur, $R/I$ +\end{definition} + +\begin{satz} +Für ein Ideal $I\subset R$ +erhält die Faktorgruppe $R/I$ eine natürliche Ringstruktur, $R/I$ heisst der {\em Quotientenring}. \index{Quotientenring}% -\end{definition} +\end{satz} \begin{beispiel} Die Menge $n\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}$ besteht aus den durch $n$ teilbaren |