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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex index aa0bf17..aa06501 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex @@ -71,7 +71,7 @@ f(x,y) = \frac12 \bigl(g(x,y)+g(x,y)\bigr) setzt. Dieser Prozess heisst auch {\em Symmetrisieren}. \index{symmetrisieren}% -Ist $g$ bereits symmetrische, dann ist $g(x,y)=f(x,y)$. +Ist $g$ bereits symmetrisch, dann ist $g(x,y)=f(x,y)$. \subsubsection{Positiv definite Bilinearformen und Skalarprodukt} Bilinearität allein genügt nicht, um einen Vektorraum mit einem @@ -315,7 +315,7 @@ Für die Norm $\|x\|_2^2=\langle x,x\rangle$ bedeutet dies jetzt \subsection{Orthonormalbasis \label{buch:subsection:orthonormalbasis}} \index{orthonormierte Basis}% -Sowohl die Berechnung von Skalarprodukten wie auch der Basis-Wechsel +Sowohl die Berechnung von Skalarprodukten wie auch der Basiswechsel werden besonders einfach, wenn die verwendeten Basisvektoren orthogonal sind und Länge $1$ haben. @@ -432,7 +432,7 @@ b_1&=\frac{a_1}{\|a_1\|_2}, \\ b_2&=\frac{a_2-b_1\langle b_1,a_2\rangle}{\|a_2-b_1\langle b_1,a_2\rangle\|_2}, \\ -b_3&=\frac{a_3-b_1\langle b_1,a_3\rangle-b_2\langle b_2,a_3\rangle}{\|a_3-b_1\langle b_1,a_3\rangle-b_2\langle b_2,a_3\rangle\|_2} +b_3&=\frac{a_3-b_1\langle b_1,a_3\rangle-b_2\langle b_2,a_3\rangle}{\|a_3-b_1\langle b_1,a_3\rangle-b_2\langle b_2,a_3\rangle\|_2}, \\ &\phantom{n}\vdots\\ b_n @@ -513,7 +513,7 @@ der folgenden Definition. Sei $A$ eine komplexe Matrix mit Einträgen $a_{i\!j}$, dann ist $\overline{A}$ die Matrix mit komplex konjugierten Elementen $\overline{a}_{i\!j}$. -Die {\em adjungierte} Matrix ist $A^*=\overline{A}^t$. +Die {\em hermitesch konjugierte} Matrix ist $A^*=\overline{A}^t$. \index{adjungiert}% Eine Matrix heisst {\em hermitesch}, wenn $A^*=A$. \index{hermitesch}% @@ -749,7 +749,7 @@ Das Orthogonalkomplement des Bildes von $f$ ist v\in V \,|\, \langle v, fu\rangle=0\forall u\in U -\} +\}. \end{align*} Ein Vektor $v$ ist genau dann in $(\operatorname{im}f)^\perp$ enthalten, wenn für alle $u$ @@ -796,7 +796,7 @@ Auch die $l^1$-Norm erfüllt die Dreiecksungleichung \|x\|_1 + \|y\|_1. \] -Die $l^1$-Norm kommt nicht von einem Skalarprodukt her. +Die $l^1$-Norm kommt in Dimension $n\ge 2$ nicht von einem Skalarprodukt her. Wenn es ein Skalarprodukt gäbe, welches auf diese Norm führt, dann müsste \[ @@ -819,7 +819,7 @@ bedeutet dies \langle e_1,\pm e_2\rangle = \frac12( 2^2 - 1^2 - 1^2) -=1 +=1. \] Die Linearität des Skalarproduktes verlangt aber, dass $1=\langle e_1,-e_2\rangle = -\langle e_1,e_2\rangle = -1$, @@ -829,6 +829,7 @@ ein Widerspruch. \begin{definition} Die $l^\infty$-Norm in $V=\mathbb{R}^n$ und $V=\mathbb{C}^n$ ist definiert +durch \[ \|v\|_\infty = @@ -863,7 +864,7 @@ Es ist \|e_1\pm e_2\|_\infty &= 1 \end{aligned} \right\} -\qquad\Rightarrow\qquad +\quad\Rightarrow\quad \langle e_1,\pm e_2\rangle = \frac12(\|e_1\pm e_2\|_\infty^2 - \|e_1\|_\infty^2 - \|e_2\|_\infty^2) @@ -985,7 +986,7 @@ Die $L^2$-Norm wird erzeugt von dem Skalarprodukt \qquad\Rightarrow\qquad \|f\|_2^2 = \frac{1}{b-a}\int_a^b |f(x)|^2\,dx. \] -Die $L^1$-Norm ist dagegen definiert als. +Die $L^1$-Norm ist dagegen definiert als \[ \|f\|_1 = @@ -994,7 +995,7 @@ Die $L^1$-Norm ist dagegen definiert als. Die drei Normen stimmen nicht überein. Beschränkte Funktionen sind zwar immer integrierbar und quadratintegrierbar. Es gibt aber integrierbare Funktionen, die nicht quadratintegrierbar sind, zum -Beispiel ist die Funktion $f(x)=1/\sqrt{x}$ auf dem Interval $[0,1]$ +Beispiel ist die Funktion $f(x)=1/\sqrt{x}$ auf dem Interval $[0,1]$: \begin{align*} \|f\|_1 &= |