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index b044bcd..c7fc9e9 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
@@ -15,7 +15,7 @@ p(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1} + \cdots a_2X^2 + a_1X + a_0.
Ursprünglich stand das Symbol $X$ als Platzhalter für eine Zahl.
Die Polynomgleichung $Y=p(X)$ drückt dann einen Zusammenhang zwischen
den Grössen $X$ und $Y$ aus.
-Zum Beispiel drückt
+Zum Beispiel drückt
\begin{equation}
H = -\frac12gT^2 + v_0T +h_0 = p(T)
\label{buch:eqn:polynome:beispiel}
@@ -53,14 +53,14 @@ gelten.
In dieser algebraischen Sichtweise können je nach den gewählten algebraischen
Rechenregeln für $X$ interessante rechnerische Strukturen abgebildet werden.
\index{algebraische Sichtweise}%
-Ziel dieses Kapitels ist zu zeigen, wie man die Rechenregeln für $X$
+Ziel dieses Kapitels ist zu zeigen, wie man die Rechenregeln für $X$
mit Hilfe von Matrizen allgemein darstellen kann.
Diese Betrachtungsweise wird später in Anwendungen ermöglichen,
-handliche Realisierungen für das Rechnen mit Grössen zu finden,
+handliche Realisierungen für das Rechnen mit Grössen zu finden,
die polynomielle Gleichungen erfüllen.
Ebenso sollen in späteren Kapiteln die Regeln
\eqref{buch:eqn:polynome:basic}
-erweitert werden oder abgelöst werden um weitere Anwendungen zu erschliessen.
+erweitert oder abgelöst werden um weitere Anwendungen zu erschliessen.
Bei der Auswahl der zusätzlichen algebraischen Regeln muss man sehr
vorsichtig vorgehen.
@@ -71,7 +71,7 @@ Aber auch eine Regel wie $X^2 \ge 0$, die für alle reellen Zahlen gilt,
würde die Anwendungsmöglichkeiten zu stark einschränken.
Es gibt zwar keine reelle Zahl, die man in das Polynom $p(X)=X^2+1$
einsetzen könnte, so dass es den Wert $0$ annimmt.
-Man könnte $X$ aber als ein neues Objekt ausserhalb von $\mathbb{R}$
+Man könnte $X$ aber als ein neues Objekt ausserhalb von $\mathbb{R}$
betrachten, welches die Gleichung $X^2+1=0$ erfüllt.
In den komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ gibt es mit der imaginären
Einheit $i\in\mathbb{C}$ tatsächlich ein Zahl mit der Eigenschaft
@@ -80,7 +80,8 @@ verletzt.
Für das Symbol $X$ sollen also die ``üblichen'' Rechenregeln gelten.
Dies ist natürlich nur sinnvoll, wenn man auch mit den Koeffizienten
-$a_0,\dots,a_n$ rechnen kann, sind müssen also Elemente einer
+$a_0,\dots,a_n$ rechnen kann.
+Sie müssen also Elemente einer
algebraischen Struktur sein, in der mindestens die Addition und die
Multiplikation definiert sind.
Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ kommen dafür in Frage, aber auch