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diff --git a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex index fd72a59..19f0221 100644 --- a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex +++ b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex @@ -33,7 +33,7 @@ In dieser eher arithmetischen Sichtweise ist es aber eigentlich egal, dass in \eqref{buch:eqn:polynome:polynom} nur einfache Multiplikationen und Additionen vorkommen. In einem Programm könnten ja auch beliebig komplizierte Operationen -verwendet werden, warum also diese Beschränkung. +verwendet werden, warum also diese Beschränkung? Für die nachfolgenden Betrachtungen stellen wir uns $X$ daher nicht mehr einfach als einen Platzhalter für eine Zahl vor, sondern als ein neues @@ -88,7 +88,8 @@ Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ kommen dafür in Frage, aber auch die rationalen oder reellen Zahlen $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{R}$. Man kann sogar noch weiter gehen: man kann als Koeffizienten auch Vektoren oder sogar Matrizen zulassen. -Polynome können addiert werden, indem die Koeffizienten addiert werden. +Polynome können addiert werden, indem die Koeffizienten addiert werden, +und sie können mit Skalaren aus dem Koeffizentenkörper multipliziert werden. Polynome können aber auch multipliziert werden, was auf die Faltung der Koeffizienten hinausläuft: \begin{align} @@ -103,15 +104,14 @@ a_{n}b_{m}X^{n+m} + (a_{n}b_{m-1}+a_{n-1}b_{m})X^{n+m-1} + -\dots -+ -\sum_{i + j = k}a_ib_j X^k -+ -\dots +\ldots + (a_1b_0+a_0b_1)X + a_0b_0 +\\ +&= +\sum_{i + j = k}a_ib_j X^k. \label{buch:eqn:polynome:faltung} \end{align} Dies ist aber nur möglich, wenn die Koeffizienten selbst miteinander |