diff options
Diffstat (limited to 'buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex')
| -rw-r--r-- | buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex | 35 |
1 files changed, 19 insertions, 16 deletions
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex index 3c541d8..659a972 100644 --- a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex +++ b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex @@ -74,7 +74,7 @@ Ein Polynom heisst {\em normiert} oder auch {\em monisch}, wenn der \index{normiertes Polynom}% \index{Polynom!monisch}% \index{normiertes Polynom} -höchste Koeffizient oder auch {\em Leitkoeffizient} des Polynomus $1$ ist, +höchste Koeffizient oder auch {\em Leitkoeffizient} des Polynoms $1$ ist, also $a_n=1$. \index{Leitkoeffizient}% Wenn man in $R$ durch $a_n$ dividieren kann, dann kann man aus dem Polynom @@ -84,7 +84,7 @@ $p(X)=a_nX^n+\dots$ mit Leitkoeffizient $a_n$ das normierte Polynom X^n + \frac{a_{n-1}}{a_n}X^{n-1} + \dots + \frac{a_0}{a_n} \] machen. -Man sagt auch, das Polynom $p(X)$ wurde normiert. +Man sagt auch, das Polynom $p(X)$ wurde {\em normiert}. Wenn $R$ ein Körper ist, ist die Normierung immer möglich. Die Tatsache, dass zwei Polynome nicht gleich viele von $0$ verschiedene Koeffizienten haben müssen, @@ -136,7 +136,7 @@ p(X)q(X)r(X) = p(X)(q(X)r(X)) \end{align*} -für die Multiplikation besagt, das es keine Rolle spielt, in welcher +für die Multiplikation besagen, dass es keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge man die Additionen oder Multiplikationen ausführt. % @@ -155,7 +155,7 @@ p(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1}+\dots a_1X + a_0 \] hat den Grad $n$, wenn $a_n\ne 0$ ist. Der Grad von $p$ wird mit $\deg p$ bezeichnet. -Konstante Polynome $p(X)=a_0$ mit $a_0\ne 0$ hat den Grad $0$. +Das konstante Polynom $p(X)=a_0$ mit $a_0\ne 0$ hat den Grad $0$. Der Grad des Nullpolynoms $p(X)=0$ ist definiert als $-\infty$. \end{definition} @@ -196,24 +196,23 @@ p(X) &= a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X + a_0&&\Rightarrow&\deg p&=n\\ q(X) &= b_mX^m + b_{m-1}X^{m-1} + \dots + b_1X + b_0&&\Rightarrow&\deg q&=m. \end{aligned} \] -Dann kann der höchste Koeffizient in der Summe $p+q$ nicht weiter oben +Dann kann der höchste Koeffizient in der Summe $p+q$ nicht ``weiter oben'' sein als die grössere von den beiden Zahlen $n$ und $m$ angibt, dies beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradsumme}. Ebenso kann der höchste Koeffizient im Produkt nach der -Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung} nicht weiter oben als bei +Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung} nicht ``weiter oben'' als bei $n+m$ liegen, dies beweist beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradprodukt}. In einem Ring mit Nullteilern (Siehe Definition~\ref{buch:grundlagen:def:nullteiler}) könnte es passieren, dass $a_nb_m=0$ ist, d.~h.~es ist durchaus möglich, dass der Grad kleiner ist. -Schliesslich kann der höchsten Koeffizient von $\lambda p(X)$ nicht grösser +Schliesslich kann der höchste Koeffizient von $\lambda p(X)$ nicht grösser als der höchste Koeffizient von $p(X)$ sein, was \eqref{buch:eqn:polynome:gradskalar} beweist. \end{proof} -In einem nullteilerfreien Ring gelten die Rechenregeln für den Grad -jetzt exakt: +In einem nullteilerfreien Ring gelten die Rechenregeln für den Grad exakt: \begin{lemma} Sei $R$ ein nullteilerfreier Ring und $p$ und $q$ Polynome über $R$ @@ -338,7 +337,7 @@ a &= a_nX^{n} + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X^{1} + a_0 \\ b &= b_mX^{n} + b_{m-1}X^{n-1} + \dots + b_1X^{1} + b_0, \end{align*} -mit dem einzigen Unterschied, dass statt $X$ mit der festen Zahl $X=10$ +mit dem einzigen Unterschied, dass statt mit $X$ mit der festen Zahl $X=10$ gearbeitet wird. Der Divisionsalgorithmus für Polynome lässt sich aber leicht rekonstruieren. @@ -399,15 +398,16 @@ Fall, weil der führende Koeffizient $1$ war. Für beliebige Polynome $b\in R[X]$ ist dies aber nur dann immer der Fall, wenn die Koeffizienten in Tat und Wahrheit einem Körper entstammen. +\begin{beispiel} Im Folgenden betrachten wir daher nur noch Polynomringe mit Koeffizienten in einem Körper $\Bbbk$. In $\mathbb{Q}[X]$ ist die Division $a:b$ für die Polynome \begin{equation} \begin{aligned} a(X) &= X^4 - X^3 -7X^2 + X + 6\\ -b(X) &= X^2+X+1, +b(X) &= 2X^2+X+1, \end{aligned} -\label{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe} +\label{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe2} \end{equation} problemlos durchführbar: \[ @@ -424,8 +424,9 @@ X^4&-& X^3&-& 7X^2&+& X&+& 6&:&2X^2&+&X&+&1&=&\ \end{array} \] Der Algorithmus funktioniert selbstverständlich genauso in $\mathbb{R}[X]$ -oder $\mathbb{C}[X]$, und ebenso in den in +oder $\mathbb{C}[X]$ und ebenso in den in Kapitel~\ref{buch:chapter:endliche-koerper} studierten endlichen Körpern. +\end{beispiel} \subsubsection{Euklidische Ringe und Faktorzerlegung} Der Polynomring $\Bbbk[X]$ hat noch eine weitere Eigenschaft, die ihn @@ -462,7 +463,8 @@ kann auf eindeutige Art und Weise in ein Produkt von Primfaktoren zerlegt werden. \subsubsection{Irreduzible Polynome} -Das Konzept der Primzahl lässt sich wie folgt in den Polynomring übertragen. +Das Konzept der Primzahl lässt sich wie folgt in die Welt der Polynomringe +übertragen. \index{Primzahl}% \begin{definition} @@ -479,16 +481,17 @@ Sei jetzt $f=X^2+bX+c$ ein quadratisches Polynom in $\mathbb{Q}[X]$. Wenn es faktorisierbar sein soll, dann müssen die Faktoren Polynome ersten Grades sein, also $f=(X-x_1)(X-x_2)$ mit $x_i\in\mathbb{Q}$. Die Zahlen $x_i$ die einzigen möglichen Lösungen für $x_i$ können mit -der Lösungsformel für die quadratische Gleichung +der Lösungsformel \[ x_i = -\frac{b}2\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c} \] +für die quadratische Gleichung gefunden werden. Die Faktorisierung ist also genau dann möglich, wenn $b^2/4-c$ ein Quadrat in $\mathbb{Q}$ ist. In $\mathbb{R}$ ist das Polynom faktorisierbar, wenn $b^2-4c\ge 0$ ist. In $\mathbb{C}$ gibt es keine Einschränkung, die Wurzel zu ziehen, -in $\mathbb{C}$ gibt es also keine irreduziblen Polynome im Grad $2$. +in $\mathbb{C}$ gibt es also keine irreduziblen Polynome vom Grad $2$. \end{beispiel} \subsubsection{Faktorisierung in einem Polynomring} |