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diff --git a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex index 0743592..e494477 100644 --- a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex +++ b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex @@ -108,7 +108,7 @@ b_0\\b_1\\\vdots\\b_m\\0\\\vdots \end{pmatrix} . \] -Die Moduln $R^{k+1}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber +Die Vektormengen $R^{k+1}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber alle auf konsistente Weise mit der Abbildung $\varphi$ in den Polynomring $R[X]$ abgebildet werden. \begin{center} @@ -165,10 +165,10 @@ der die Multiplikation mit $X$ beschreibt. Ist $p(X)$ ein Polynom, dann lässt sich die Multiplikation in von Polynome mit $R[X]$ ebenfalls als Operator schreiben. -Die Potenz $X^k$ wird durch $k$-fache Iteration des Operators +Die Potenz $X^k$ wirkt durch $k$-fache Iteration des Operators $X\cdot$. -Das Polynom $p(X)$ wird durch Linearkombination, entspricht -also dem Operator, den man durch Einsetzen von $X\cdot$ +Das Polynom $p(X)$ wirkt als Linearkombination der Operatoren $(X\cdot)^k$, +entspricht also dem Operator, den man durch Einsetzen von $X\cdot$ in das Polynom erhalten kann: \[ p(X\cdot) @@ -192,7 +192,7 @@ $(X\cdot)^k$ auch in Matrixform darstellen: 0&1&0&0&\dots\\ 0&0&1&0&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}, & (X\cdot)^k &= @@ -225,11 +225,14 @@ a_4 &a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & \dots \\ Da die Matrix-Operation als Produkt $\text{Zeile}\times\text{Spalte}$ ausgeführt wird, kann man erkennen, dass das Polynomprodukt auch auf -eine Faltung hinausläuft. +eine Faltung hinausläuft: +Die Multiplikation einer Zeile der Matrix $p(X\cdot)$ mit +einem Spaltenvektor $b$ multipliziert den gespiegelten und verschobenen +Vektor der Koeffizienten $a$ mit den Koeffizienten $b$. Die wichtigste Lehre aus obigen Ausführungen aber ist die Beobachtung, dass sich eine ganz allgemeine Algebra -wie die der Polynome auf sehr direkte Art und Weise auf +wie die der Polynome auf sehr direkte Art und Weise abbilden lässt in eine Algebra von Matrizen auf einem geeigneten Vektorraum. Im vorliegenden Fall sind das zwar ``undendliche'' |