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diff --git a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex index 408587d..0743592 100644 --- a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex +++ b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex @@ -25,14 +25,14 @@ a_{n-1}\\ a_{n} \end{pmatrix} \in -R^n. +R^{n+1}. \] Diese Darstellung eines Polynoms gibt auch die Addition von Polynomen und die Multiplikation von Polynomen mit Skalaren aus $R$ korrekt wieder. Die Abbildung von Vektoren auf Polynome \[ \varphi -\colon R^n \to R[X] +\colon R^{n+1} \to R[X] : \begin{pmatrix}a_0\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} \mapsto @@ -52,7 +52,7 @@ Die Abbildung $\varphi$ ist also ein Isomorphismus \varphi \colon \{p\in R[X]\;|\; \deg(p) \le n\} -\overset{\equiv}{\to} +\overset{\cong}{\to} R^{n+1} \] zwischen der Menge @@ -93,7 +93,7 @@ mit der Eigenschaft, dass die Komponenten mit Indizes $m+1,\dots n$ verschwinden. Polynome vom Grad $m<n$ bilden einen Unterraum der Polynome vom Grad $n$. Wir können auch die $m+1$-dimensionalen Vektoren in den $n+1$-dimensionalen -Vektoren einbetten, indem wir die Vektoren durch ``auffüllen'' mit Nullen +Vektoren einbetten, indem wir die Vektoren durch ``Auffüllen'' mit Nullen auf die richtige Länge bringen. Es gibt also eine lineare Abbildung \[ @@ -108,25 +108,25 @@ b_0\\b_1\\\vdots\\b_m\\0\\\vdots \end{pmatrix} . \] -Die Moduln $R^{k}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber +Die Moduln $R^{k+1}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber alle auf konsistente Weise mit der Abbildung $\varphi$ in den Polynomring $R[X]$ abgebildet werden. \begin{center} -\begin{tikzcd} -\{0\}\ar[r] %\arrow[d,"\varphi"] - &R \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"] - &R^2 \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"] +\begin{tikzcd}[>=latex] +R \ar[r] \arrow[d, "\varphi"] + &R^2 \ar[r] \arrow[d, "\varphi"] + &R^3 \ar[r] \arrow[d, "\varphi"] &\dots \ar[r] - &R^k \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"] - &R^{k+1} \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"] + &R^k \ar[r] \arrow[d, "\varphi"] + &R^{k+1} \ar[r] \arrow[d, "\varphi"] &\dots \\ R^{(0)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[drrr,hook] &R^{(1)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[drr,hook] &R^{(2)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dr,hook] &\dots\arrow[r,hook] - &R^{(k)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dl,hook] - &R^{(k+1)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dll,hook] + &R^{(k-1)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dl,hook] + &R^{(k)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dll,hook] &\dots \\ & @@ -137,10 +137,115 @@ R^{(0)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[drrr,hook] & \end{tikzcd} \end{center} +In diesem Sinne können wir $R^m$ für $m<n$ als Teilmenge von $R^n$ betrachten +und $R^\infty$ als deren Vereinigung definieren. +Polynome in $R[X]$ sind also Vektoren beliebiger Länge mit Kompoenten +in $R$. + \subsection{Multiplikative Struktur \label{buch:subsection:polynome:multiplikativestruktur}} +Den Polynomring $R[X]$ aus den Vektoren $R^{k}$ aufzubauen, bedeutet, +dass wir die multiplikative Struktur ignorieren. +Augrund der Rechenregeln für das Symbol $X$ können wir $X$ als einen +Multiplikationsoperator +\[ +{X\cdot} +\colon R^{m} \to R^{n} +: +\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\\\vdots\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix}0\\a_0\\a_1\\\vdots\end{pmatrix} +\] +betrachten. +Diese Operatoren setzen sich zusammen zu einem Operator +\[ +{X\cdot} \colon R^\infty \to \infty, +\] +der die Multiplikation mit $X$ beschreibt. +Ist $p(X)$ ein Polynom, dann lässt sich die Multiplikation +in von Polynome mit $R[X]$ ebenfalls als Operator schreiben. +Die Potenz $X^k$ wird durch $k$-fache Iteration des Operators +$X\cdot$. +Das Polynom $p(X)$ wird durch Linearkombination, entspricht +also dem Operator, den man durch Einsetzen von $X\cdot$ +in das Polynom erhalten kann: +\[ +p(X\cdot) += +a_n(X\cdot)^n + a_{n-1}(X\cdot)^{n+1} + \dots + a_1(X\cdot) + a_0 +\colon +R^\infty \to R^\infty +: +q(X) +\mapsto +p(X)q(X). +\] +Man kann den Operator $X\cdot$ oder den iterierten Operator +$(X\cdot)^k$ auch in Matrixform darstellen: +\begin{align*} +{X\cdot} +&= +\begin{pmatrix} +0&0&0&0&\dots\\ +1&0&0&0&\dots\\ +0&1&0&0&\dots\\ +0&0&1&0&\dots\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots +\end{pmatrix} +& +(X\cdot)^k +&= +\begin{pmatrix} + 0 & 0 & 0 & 0 &\dots\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\vdots& \\ + 0 & 0 & 0 & 0 &\dots\\ + 1 & 0 & 0 & 0 &\dots\\ + 0 & 1 & 0 & 0 &\dots\\ + 0 & 0 & 1 & 0 &\dots\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots +\end{pmatrix}. +\end{align*} +In der Matrix für $(X\cdot)^k$ steht die erste $1$ auf der +$k+1$-ten Zeile. +Der zum Polynom $p(X)$ gehörige Operator $p(X\cdot)$ bekommt +damit die Matrix +\[ +p(X\cdot) += +\begin{pmatrix} +a_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots \\ +a_1 &a_0 & 0 & 0 & 0 & \dots \\ +a_2 &a_1 & a_0 & 0 & 0 & \dots \\ +a_3 &a_2 & a_1 & a_0 & 0 & \dots \\ +a_4 &a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & \dots \\ +\vdots &\vdots &\vdots&\vdots&\vdots&\ddots +\end{pmatrix}. +\] +Da die Matrix-Operation als Produkt +$\text{Zeile}\times\text{Spalte}$ ausgeführt wird, +kann man erkennen, dass das Polynomprodukt auch auf +eine Faltung hinausläuft. +Die wichtigste Lehre aus obigen Ausführungen aber ist +die Beobachtung, dass sich eine ganz allgemeine Algebra +wie die der Polynome auf sehr direkte Art und Weise auf +abbilden lässt in eine Algebra von Matrizen auf einem +geeigneten Vektorraum. +Im vorliegenden Fall sind das zwar ``undendliche'' +Matrizen, in zukünftigen Beispielen werden wir das +selbe Prinzip jedoch in Aktion sehen in Situationen, +wo eine Operation auf einem endlichen Vektorraum +und ``gewöhnliche'' Matrizen entstehen. +Die Möglichkeit, beliebige Polynome solcher Operatoren +zu berechnen, erlaubt uns, mehr über den Operator +herauszufinden - +Dies eröffnet vielfältige Möglichkeiten, auf einfachere +Art mit den Operatoren zu rechnen. +In Kapitel~\ref{buch:chapter:eigenwerte-und-eigenvektoren} +wird sich daraus eine Reihe von Normalformen einer Matrix +ergeben sowie die Möglichkeit, für viele Matrizen $A$ +die Matrix $f(A)$ für eine grosse Zahl von praktisch +interessanten Funktionen $f(z)$ zu berechnen. |