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diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex index dd35cc6..6dfbaef 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex @@ -7,4 +7,28 @@ \label{buch:chapter:endliche-koerper}} \lhead{Endliche Körper} \rhead{} +Aus den ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ entsteht ein Körper, indem wir Brüche +bilden alle von $0$ verschiedenen Nenner zulassen. +Der Körper der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ enthält unendliche +viele Zahlen und hat zusätzlich die sogenannte archimedische Eigenschaft, +nämliche dass es zu zwei positiven rationalen Zahlen $a$ und $b$ immer eine +ganze Zahl $n$ gibt derart, dass $na>b$. +Dies bedeutet auch, dass es in den rationalen Zahlen beliebig grosse Zahlen +gibt. +Man kann aus den ganzen Zahlen aber auch eine Reihe von Körpern ableiten, +die diese Eigenschaft nicht haben. +Nicht überraschend werden die ersten derartigen Körper, die wir +in Abschnitt~\ref{buch:section:galoiskoerper} konstruieren werden, +endlich viele Elemente haben. +Zu diesen sogenannten Galois-Körpern können wir dann weitere Elemente +hinzufügen, wie das in Abschnitt ~\ref{buch:section:wurzeln} +gezeigt wird. +Diese Technik, die auch für den Körper $\mathbb{Q}$ funktioniert, erlaubt +dafür zu sorgen, dass in einem Körper gewisse algebraische Gleichungen +lösbar werden. + + +\input{chapters/30-endlichekoerper/galois.tex} +\input{chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex} + |