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diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex index 7ffef0b..1d4a9c9 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex @@ -80,14 +80,14 @@ Beim Rechnen mit Resten modulo $n$ können Vielfache von $n$ ignoriert werden. Zum Beispiel gilt \[ \begin{aligned} -48&\equiv -1\mod 7& 48&=-1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$} +48&\equiv -1\mod 7&&\Leftrightarrow& 48&=-1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$} \\ -3\cdot 5=15&\equiv 1\mod 7 & 3\cdot 5&=1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$.} +3\cdot 5=15&\equiv\phantom{-}1\mod 7&&\Leftrightarrow & 3\cdot 5&=\phantom{-}1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$.} \end{aligned} \] Das Beispiel zeigt, dass man mindestens in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ mit Resten ganz ähnlich rechnen kann wie in $\mathbb{Q}$. -In $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ scheinen $3$ und $5$ multiplikative inverse +In $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ scheinen $3$ und $5$ multiplikative Inverse zu sein. Tatsächlich kann man auf den Restklassen eine Ringstruktur definieren. @@ -97,7 +97,6 @@ Der Rest $a$ kann jede Zahl der Form $a+kn$ darstellen. Ebenso kann der Rest $b$ jede Zahl der Form $b+ln$ darstellen. Deren Summe ist $a+b+(k+l)n\equiv a+b\mod n$. Der Repräsentant des Restes hat also keinen Einfluss auf die Summe. - Ebenso ist das Produkt der beiden Repräsentaten $(a+kn)\cdot(b+ln) = ab + (al+bk)n + kln^2=ab + (al+bk+kln)n\equiv ab\mod n$ für jede Wahl von $k$ und $l$. @@ -105,7 +104,7 @@ Auch die Multiplikation ist also unabhängig vom gewählten Repräsentanten. \begin{definition} Die Menge $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ist ein Ring, -heisst der {\em Restklassenring modulo $n$}. +er heisst der {\em Restklassenring modulo $n$}. \end{definition} \subsubsection{Division in $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$} @@ -288,7 +287,7 @@ Primzahl ist. Wir betrachten dazu die Menge der nicht einfarbigen, geschlossenen Perlenketten der Länge $p$ mit $a$ Farben. Einge dieser Perlenketten unterscheiden sich nur durch eine -Drehung um einzelne Perlen. +Drehung um eine gewisse Anzahl Perlen. Sei $G$ die Menge der nicht einfarbigen, geschlossenen Perlenketten, die sich nicht nur um eine Drehung unterscheiden. @@ -362,14 +361,11 @@ $(p-1)!\equiv -1\mod p$. \begin{proof}[Beweis] Wenn $p$ keine Primzahl ist, dann lässt sich $p$ in Faktoren -$p=n_1\cdot n_2=p$ zerlegen. -Beide Faktoren kommen in der Liste $1,2,\dots,p-1$ vor. -Insbesondere haben $p=n_1n_2$ und $(p-1)!$ mindestens einen -der Faktoren $n_1$ oder $n_2$ gemeinsam, wir können annehmen, -dass $n_1$ dieser Faktor ist. -Es folgt, dass der grösste gemeinsame Teiler von $p$ und $(p-1)!$ -grösser als $n_1$ ist, auch $(p-1)!$ ein Vielfaches von $n_1$ in -$\mathbb{F}_p$. +$p=n_1\cdot n_2$ zerlegen. +Dies bedeutet auch, dass $n_1$ und $n_2$ Nullteiler sind in +$\mathbb{F}_p$, es ist also $n_1n_2=0\in\mathbb{F}_p$. +Beide Faktoren kommen in der Liste der Zahlen $1,2,\dots,p-1$ vor. +Daher muss auch $1\cdot2\cdot\dots\cdot(p-1)=(p-1)!=0\in\mathbb{F}_p$ sein. Insbesondere kann $(p-1)!$ nicht $-1\in\mathbb{F}_p$ sein. Ist andererseits $p$ eine Primzahl, dann sind die Zahlen $1, 2,\dots,p-1$ @@ -382,7 +378,7 @@ Daher ist auch $(a+1)(a-1)=0$, in $\mathbb{F}_p$ muss daher einer der Faktoren $0$ sein, also $a=-1$ oder $a=1$ in $\mathbb{F}_p$. Zu jeder Zahl $a\in\{2,\dots,p-2\}$ liegt die Inverse $a^{-1}$ -ebenfalls in diesen Bereich und ist verschieden von $a$: $a^{-1}\ne a$. +ebenfalls in diesem Bereich und ist verschieden von $a$: $a^{-1}\ne a$. Das Produkt der Zahlen $2\cdot 3 \cdot\ldots\cdot (p-2)$ besteht also aus zueinander inversen Paaren. @@ -467,7 +463,7 @@ Ein Körper mit Charakteristik $0$ enthält immer unendliche viele Elemente. \subsubsection{Teilbarkeit von Binomialkoeffizienten} -Als Beispiel für die Auswrikung der Charakteristik auf die Arithmetik +Als Beispiel für die Auswirkung der Charakteristik auf die Arithmetik in einem endlichen Körper betrachten wir die Teilbarkeitseigenschaften der Binomialkoeffizienten. @@ -500,9 +496,10 @@ Rest bei Teilung durch $2$ der Binomialkoeffizienten. \index{Binomialkoeffizient}% Man kann daraus ablesen, dass $\binom{n}{m}\equiv 0\mod 2$ für $n=2^k$ und $0<m<n$. + Abbildung~\ref{buch:endliche-koerper:fig:binomial5} zeigt das Pascal-Dreieck auch noch für $p=5$. -Hier ist auch schön die Selbstähnlichkeit des Pascal-Dreiecks erkennbar. +Auch hier ist schön die Selbstähnlichkeit des Pascal-Dreiecks erkennbar. \index{Selbstähnlichkeit}% \index{Pascal-Dreieck}% Ersetzt man die ``5er-Dreiecke'' durch ein volles Dreieck mit der Farbe @@ -530,7 +527,7 @@ Für den Binomialkoeffizienten gilt = \frac{p\cdot (p-1)\cdot(p-2)\cdot\ldots\cdot (p-m+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot m}. \] -Für $m<p$ kann keiner der Faktoren im Nenner $p$ sein, der Faktor $p$ +Für $m<p$ kann keiner der Faktoren im Nenner die Zahl $p$ sein, der Faktor $p$ im Zähler kann also nicht weggekürzt werden, so dass der Binomialkoeffizient durch $p$ teilbar sein muss. @@ -569,6 +566,18 @@ Sei $p$ eine Primzahl, dann ist für $0<m<p^k$ \end{satz} +Die Aussage von Satz~\ref{buch:endliche-koerper:satz:binomk} kann man +auch im Körper $\mathbb{F}_p$ formulieren, in dem auch der Beweis +etwas eleganter formuliert werden kann: + +\begin{satz} +\label{buch:endliche-koerper:satz:binomFp} +In $\mathbb{F}_p$ gilt +\[ +\binom{p^k}{m}=0 +\] +für beliebige $k>0$ und $0<m<p^k$. +\end{satz} \begin{proof}[Beweis] Wir wissen aus Satz \ref{buch:endliche-koerper:satz:binom}, dass \begin{equation} @@ -601,17 +610,6 @@ Damit ist \eqref{buch:endliche-koerper:eqn:a+b^p^k} für alle $k$ bewiesen. \end{proof} -Die Aussage von Satz~\ref{buch:endliche-koerper:satz:binomk} kann man -auch im Körper $\mathbb{F}_p$ formulieren: - -\begin{satz} -\label{buch:endliche-koerper:satz:binomFp} -In $\mathbb{F}_p$ gilt -\[ -\binom{p^k}{m}=0 -\] -für beliebige $k>0$ und $0<m<p^k$. -\end{satz} \subsubsection{Frobenius-Automorphismus} Die Abbildung $x\mapsto x^n$ ist weit davon entfernt, sich mit den @@ -629,7 +627,7 @@ a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \dots + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + b^n gibt es zwischen den Termen an den Enden des Ausdrucks noch viele Zwischenterme, die normalerweise nicht verschwinden. -Ganz anders sieht die Situation aus, wenn $n=p$ ist. +Ganz anders sieht die Situation in $\mathbb{F}_p$ aus, wenn $n=p$ ist. Nach Satz~\ref{buch:endliche-koerper:satz:binomFp} verschwinden die Binomialkoeffizienten der Zwischenterme der Summe \eqref{buch:endliche-koerper:fig:binomischeformel} @@ -638,12 +636,17 @@ Daher gilt \index{Frobenius-Automorphismus}% \begin{satz}[Frobenius-Automorphismus] +\label{buch:endliche-koerper:satz:frobenius} In einem Körper $\Bbbk$ der Charakteristik $p$ ist die Abbildung $x\mapsto x^p$ ist ein Automorphismus, der den Primkörper $\mathbb{F}_p\subset\Bbbk$ fest lässt. \end{satz} -\begin{proof}[Beweis] +\begin{definition} +Der Automorphismus $x\mapsto x^p$ heisst {\em Frobenius-Automorphismus}. +\end{definition} + +\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{buch:endliche-koerper:satz:frobenius}] Wir müssen uns nur noch davon überzeugen, dass $\mathbb{F}_p\subset\Bbbk$ fest bleibt. Nach dem kleine Satz von Fermat~\ref{buch:endliche-koerper:satz:fermat} @@ -651,6 +654,3 @@ ist $a^p=a$ für alle $a\in\mathbb{F}_p$, der Frobenius-Automorphismus lässt also alle Elemente von $\mathbb{F}_p$ fest. \end{proof} -\begin{definition} -Der Automorphismus $x\mapsto x^p$ heisst {\em Frobenius-Automorphismus}. -\end{definition} |