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--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
@@ -3,6 +3,7 @@
%
% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
+% !TeX spellcheck = de_CH
\section{Wurzeln
\label{buch:section:wurzeln}}
\rhead{Wurzeln}
@@ -68,7 +69,7 @@ Koeffizienten in $\Bbbk$ ist, dessen Nullstelle $\alpha$ hinzugefügt
werden sollen.
Das Ziel ist natürlich, dass diese Erweiterung vollständig beschrieben
werden kann durch das Polynom, ganz ohne Bezug zum Beispiel auf einen
-numerischen Wert der Nullstelle, der ohnehin nur in $\mathbb(C)$ sinnvoll
+numerischen Wert der Nullstelle, der ohnehin nur in $\mathbb{C}$ sinnvoll
wäre.
Nehmen wir jetzt an, dass sich das Polynom $f$ faktorisieren lässt.
@@ -80,7 +81,7 @@ verschwinden, also $g(\alpha)=0$ oder $h(\alpha)=0$.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass
$g(\alpha)=0$.
Die Operation des Hinzufügens der Nullstelle $\alpha$ von $f$
-muss also genauso gut mit $g$ ausgeführt werden.
+muss also genauso gut mit $g$ ausgeführt werden können.
Indem wir diese Überlegung auf $g$ anwenden können wir schliessen,
dass es ein Polynom $m\in\Bbbk[X]$ kleinstmöglichen Grades geben muss,
welches $\alpha$ als Nullstelle hat.
@@ -105,7 +106,7 @@ positiven zu unterscheiden.
Das Polynom kann in $\mathbb{Q}$ nicht faktorisiert werden, denn die
einzig denkbare Faktorisierung ist $(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})$, die
Faktoren sind aber keine Polynome in $\mathbb{Q}[X]$.
-Also ist ein irreduzibles Polynom über $X^2-2$.
+Also ist $f(X) = X^2 - 2$ ein irreduzibles Polynom über $\mathbb Q$.
Man kann das Polynom aber auch als Polynom in $\mathbb{F}_{23}[X]$
betrachten.
@@ -201,7 +202,7 @@ a_0 + a_1\alpha + a_2\alpha^2 + \dots a_k\alpha^k
gebildet werden.
Aus der Bedingung $m(\alpha)=0$ folgt aber, dass
\begin{equation}
-\alpha^n = -a_{n-1}\alpha^{n-1} -\dots - a_2\alpha^2 - a_1\alpha-a_0.
+\alpha^n = -m_{n-1}\alpha^{n-1} -\dots - m_2\alpha^2 - m_1\alpha - m_0.
\label{buch:endlichekoerper:eqn:reduktion}
\end{equation}
Alle Potenzen mit Exponenten $\ge n$ in
@@ -214,9 +215,9 @@ Als Menge ist daher
\Bbbk(\alpha)
=
\{
-a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2+\dots+a_{n-1}\alpha^{n-1}\;|\; a_i\in\Bbbk\}.
-\}
+a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2+\dots+a_{n-1}\alpha^{n-1}\;|\; a_i\in\Bbbk\}
\]
+ausreichend.
Die Addition von solchen Ausdrücken und die Multiplikation mit Skalaren
aus $\Bbbk$ machen $\Bbbk(\alpha)\cong \Bbbk^n$ zu einem Vektorraum,
die Operationen können auf den Koeffizienten komponentenweise ausgeführt
@@ -227,8 +228,8 @@ Die schwierige Operation ist die Multiplikation mit $\alpha$.
Dazu stellen wir zusammen, wie die Multiplikation mit $\alpha$ auf den
Basisvektoren von $\Bbbk(\alpha)$ wirkt:
\[
-\alpha\cdot\colon
-\Bbbk^n\to\Bbbk
+\alpha\colon
+\Bbbk^n\to\Bbbk^n
:
\left\{
\begin{aligned}
@@ -249,12 +250,12 @@ M_{\alpha}
0 & & & & &-m_0 \\
1 & 0 & & & &-m_1 \\
& 1 & 0 & & &-m_2 \\
- & & 1 &\ddots& &-m_3 \\
- & & &\ddots& 0 &\vdots \\
- & & & & 1 &-m_{n-2}\\
- & & & & &-m_{n-1}
-\end{pmatrix}
+ & & 1 &\ddots& &\vdots \\
+ & & &\ddots& 0 &-m_{n-2}\\
+ & & & & 1 &-m_{n-1}
+\end{pmatrix}.
\]
+%TODO: Was ist hier die Aussage?
Aufgrund der Konstruktion die Lineare Abbildung $m(M_\alpha)$,
die man erhält, wenn
man die Matrix $M_\alpha$ in das Polynom $m$ einsetzt, jeden Vektor
@@ -336,7 +337,7 @@ Körpers $\Bbbk(\alpha)$ in der Matrizenalgebra $M_n(\Bbbk)$.
\subsubsection{Inverse}
Im Moment wissen wir noch nicht, wie wir $\alpha^{-1}$ berechnen sollten.
-Wir können aber auch die Matrizendarstellung verwenden können.
+Wir können aber auch die Matrizendarstellung verwenden.
Für Matrizen wissen wir selbstverständlich, wie Matrizen invertiert
werden können.
Tatsächlich kann man die Matrix $M_\alpha$ direkt invertieren:
@@ -365,20 +366,19 @@ wie man durch Ausmultiplizieren überprüfen kann:
-1 & 0 & 0 & & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-0 & & & & &-m_0 \\
-1 & 0 & & & &-m_1 \\
- & 1 & 0 & & &-m_2 \\
- & & 1 &\ddots& &-m_3 \\
- & & &\ddots& 0 &\vdots \\
- & & & & 1 &-m_{n-2}\\
- & & & & &-m_{n-1}
+ 0 & & & & &-m_0 \\
+ 1 & 0 & & & &-m_1 \\
+ & 1 & 0 & & &-m_2 \\
+ & & 1 &\ddots& &\vdots \\
+ & & &\ddots& 0 &-m_{n-2}\\
+ & & & & 1 &-m_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&0&0&\dots&0&0\\
0&1&0&\dots&0&0\\
0&0&1&\dots&0&0\\
-\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
+\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&0&\dots&1&0\\
0&0&0&\dots&0&1
\end{pmatrix}
@@ -400,7 +400,7 @@ Aus den Einträgen der ersten Spalte kann man jetzt die Koeffizienten
\[
b_0=(B)_{11},
b_1=(B)_{21},
-b_2=(B)_{11},\dots,
+b_2=(B)_{31},\dots,
b_{n-1}=(B)_{n,1}
\]
ablesen und daraus das Element
@@ -433,7 +433,7 @@ Die Inverse kann man bestimmen, indem man den
Gauss-Algorithmus in $\mathbb{F}_{7}$ durchführt.
Die Arithmetik in $\mathbb{F}_{7}$ ist etwas ungewohnt, insbesondere
die Pivot-Division ist etwas mühsam, daher sind in
-Abbildung~\label{buch:endlichekoerper:fig:additionmultiplikation}
+Abbildung~\ref{buch:endlichekoerper:fig:additionmultiplikation}
die Additions- und Multiplikationstabellen zusammengestellt.
\begin{figure}
\begin{center}
@@ -679,7 +679,7 @@ Sei der Grad von $f$ mindestens so gross wie der von $m$, also
$l=\deg f\ge \deg m=n$.
Indem man mit $\alpha^{l-n}$ multipliziert, erhält man die Relation
\[
-\alpha^l + m_{n-1}\alpha^{l-1} + m_{n-2}\alpha^{l-2}+\dots +a_1\alpha^{l-n+1} + a_0\alpha^{-l-n} = 0.
+\alpha^l + m_{n-1}\alpha^{l-1} + m_{n-2}\alpha^{l-2}+\dots +a_1\alpha^{l-n+1} + a_0\alpha^{l-n} = 0.
\]
Ist $f_l$ der führende Koeffizient des Polynoms $f$, dann ist
@@ -714,7 +714,7 @@ gefunden haben.
Diese Form des Reduktionsalgorithmus ist besonders leicht durchzuführen
in einem Körper $\mathbb{F}_2$, da dort die Addition und die Subtraktion
-der Koeffizienten dasselbe ist.
+der Koeffizienten übereinstimmen.
Die Multiplikation mit $X$ ist nichts anders als ein Shift der
Koeffizienten.